（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題五 數(shù)列 第23講 數(shù)列的遞推公式及等差、等比數(shù)列的判定與證明練習

第23講 數(shù)列的遞推公式及等差、等比數(shù)列的判定與證明A級高考保分練1已知數(shù)列an中，a11且(nN*)，則a10_.解析：，是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，(101)×134，故a10.答案：2設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：由已知得an1Sn1SnSn1Sn，兩邊同時除以Sn1Sn，得1，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則1(n1)n，所以Sn.答案：3已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，則log(a5a7a9)_.解析：因為log3an1log3an1，所以an13an，所以數(shù)列an是公比q3的等比數(shù)列，所以a2a4a6a2(1q2q4)9，所以a5a7a9a5(1q2q4)a2q3(1q2q4)9×3335，所以log(a5a7a9)log3355.答案：5 4設數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an13Sn1，則S4_.解析：an13Sn1，an3Sn11(n2)，得：an14an(n2)，又a11，a23a114，an是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，S485.答案：855(2019·宿遷期末)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，an12an1，a11，則S9_.解析：由an12an1，得an112(an1)，即2，所以數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，設bnan1的前n項和為Tn，則T91 022，S9T991 013.答案：1 0136設Sn為數(shù)列an的前n項和，且a14，an1Sn，nN*，則a5_.解析：法一：由an1Sn，得Sn1SnSn，則Sn12Sn，又S1a14，所以數(shù)列Sn是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn4·2n12n1，則a5S5S4262532.法二：當n2時，由an1Sn，得anSn1，兩式相減，得an1anan，即an12an，所以數(shù)列an是從第2項開始，公比為2的等比數(shù)列又a2S14，所以a5a2·234×2332.答案：327若數(shù)列an滿足a115，且3an13an2，則使ak·ak10的k值為_解析：因為3an13an2，所以an1an，所以數(shù)列an是首項為15，公差為的等差數(shù)列，所以an15·(n1)n，令ann0，得n23.5，所以使ak·ak10的k值為23.答案：238已知數(shù)列an滿足a11，a2，若an(an12an1)3an1·an1(n2，nN*)，則數(shù)列an的通項an_.解析：由an(an12an1)3an1·an1，得anan1an1an12an1·an12anan1，2，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以2·2n12n，所以2，4，2n1，所以2222n12n2，所以2n22n1，所以an.答案：9已知數(shù)列an中，a11，an1(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：因為an1(nN*)，所以1，設t3，所以3tt1，解得t，所以3，又1，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以×3n1，所以，所以an.答案：an10(2019·南通、泰州、揚州一調(diào))已知數(shù)列an是等比數(shù)列，有下列四個命題：數(shù)列|an|是等比數(shù)列；數(shù)列anan1是等比數(shù)列；數(shù)列是等比數(shù)列；數(shù)列l(wèi)g a是等比數(shù)列其中正確的命題有_個解析：設等比數(shù)列an的公比為q，對于中數(shù)列|an|，|q|，且首項|a1|0，所以為等比數(shù)列；對于中數(shù)列，q2，且首項a1a20，所以為等比數(shù)列；對于中數(shù)列，且首項0，所以為等比數(shù)列；對于中數(shù)列，若a11，則lg a10，所以不是等比數(shù)列故正確的命題有3個答案：311已知數(shù)列an，bn均為各項都不相等的數(shù)列，Sn為an的前n項和，an1bnSn1(nN*)(1)若a11，bn，求a4的值；(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，求證：存在實數(shù)，使得bn為等比數(shù)列解：(1)由a11，bn，知a24，a36，a48.(2)證明：因為an1bnSn1，所以當n2時，anbn1Sn11，得，an1bnanbn1an，由得，bnbn1bn1，所以bn.又bn0(否則bn為常數(shù)數(shù)列，與題意不符)，所以存在實數(shù)，使得bn為等比數(shù)列12已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a12，Snnanan1，其中n2，nN*，R.(1)若0，4，bnan12an(nN*)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)若a23，且，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列解：(1)證明：若0，4，則Sn4an1(n2)，所以an1Sn1Sn4(anan1)，即an12an2(an2an1)，所以bn2bn1.又由a12，a1a24a1，得a23a16，a22a120，即bn0，所以2，故數(shù)列bn是等比數(shù)列(2)證明：令n2，則S22a2a1，即a1a22a2a1.又a12，a23，得562.又，解得，1.所以Snanan1.令n3，則S3a3a2，即a1a2a3a3a2.由a12，a23，得5a3a33，所以a34，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列由Snanan1，得Sn1an1an，兩式相減得an1an1ananan1，即(n1)an1(n2)an2an10，所以nan2(n1)an12an0，兩式相減得nan22(n1)an1(n2)an2an2an10，所以n(an22an1an)2(an12anan1)0，所以an22an1an(an12anan1)(an2an1an2)(a32a2a1)因為a12a2a30，所以an22an1an0，即數(shù)列an是等差數(shù)列B級難點突破練1(2019·海安中學期末)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn_.解析：當n1時，S1a12a2，則a2.當n2時，Sn12an，則SnSn1an2an12an，所以，所以當n2時，數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，所以an所以Sn1××n21n1.答案：n12已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a12，Sn14an2，則a12_.解析：由S24a12，得a1a24a12，聯(lián)立a12，解得a28.又an2Sn2Sn14an14an，an22an12(an12an)，數(shù)列an12an是以a22a14為首項，以2為公比的等比數(shù)列，an12an4×2n12n1，1，1，數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，1(n1)n，ann·2n，a1212×21249 152.答案：49 1523已知等比數(shù)列an的公比為q，前n項和為Sn.(1)若S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列；(2)若am2是am1和am的等差中項，則Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列嗎？解：(1)證明：由S3，S9，S6成等差數(shù)列，得S3S62S9.若q1，則3a16a118a1，解得a10，這與an是等比數(shù)列矛盾，所以q1，于是有，整理得q3q62q9.因為q0且q1，所以q3，所以a8a2q6a2，a5a2q3a2，所以2a8a2a5，即a8a2a5a8，故a2，a8，a5成等差數(shù)列(2)依題意，得2am2am1am，則2a1qm1a1qma1qm1.在等比數(shù)列an中，a10，q0，所以2q2q1，解得q1或q.當q1時，SmSm1ma1(m1)a1(2m1)a1，Sm2(m2)a1.因為a10，所以2Sm2SmSm1，此時Sm，Sm2，Sm1不成等差數(shù)列當q時，Sm2 ，SmSm1，所以2Sm2SmSm1.故當q1時，Sm，Sm2，Sm1不成等差數(shù)列；當q時，Sm，Sm2，Sm1成等差數(shù)列4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn，cn滿足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若存在實數(shù)，使得對一切nN*，有bncn，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列解：(1)因為數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，所以ana12(n1)，a1n1.因為(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)證明：由(n1)bnan1，得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，兩式相減，并化簡得an2an1(n2)bn1nbn.從而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因為對一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1，(n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，則an1an2(n1)所以數(shù)列an是等差數(shù)列- 8 -