高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析4 數(shù)列、不等式練習(xí) 理

4.數(shù)列、不等式1等差數(shù)列及其性質(zhì)(1)等差數(shù)列的判定：an1and(d為常數(shù))或an1ananan1 (n2)(2)等差數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)公差d0時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項和Snna1dn2(a1)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d0，則為常數(shù)列當(dāng)mnpq時，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有aman2ap.Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列問題1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1012，S2017，則S30為()A15 B20 C25 D30答案A2等比數(shù)列及其性質(zhì)(1)等比數(shù)列的判定：q(q為常數(shù)，q0)或(n2)(2)等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)mnpq時，則有amanapaq，特別地，當(dāng)mn2p時，則有amana.問題2(1)在等比數(shù)列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10_.(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a69，則log3a1log3a2log3a10_.答案(1)512(2)103求數(shù)列通項的常見類型及方法(1)已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，可采用歸納、猜想法(2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫出通項公式(3)若已知數(shù)列的遞推公式為an1anf(n)，可采用累加法(4)數(shù)列的遞推公式為an1anf(n)，則采用累乘法(5)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an求an.(6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式問題3已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立數(shù)列an滿足anf(2n)(nN*)，且a12，則數(shù)列an的通項公式為an_.答案n2n解析令x2，y2n1，則f(xy)f(2n)2f(2n1)2n1f(2)，即an2an12n，1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得1(n1)1n，即ann2n.4數(shù)列求和的方法(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項法如：；.(6)并項法數(shù)列求和時要明確：項數(shù)、通項，并注意根據(jù)通項的特點選取合適的方法問題4數(shù)列an滿足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n項和，則S21的值為_答案5如何解含參數(shù)的一元二次不等式解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：二次項系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；判別式，它決定根的情形，一般分>0、0、<0三種情況；在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況在解一元二次不等式時，一定要畫出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合問題5解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0 (a>0)解原不等式化為(x)(x1)<0.當(dāng)0<a<1時，不等式的解集為x|1<x<；當(dāng)a>1時，不等式的解集為x|<x<1；當(dāng)a1時，不等式的解集為.6處理二次不等式恒成立的常用方法(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實數(shù)時，一般應(yīng)用此法(2)從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零(3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來(4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進行分析，從整體上把握圖形問題6如果kx22kx(k2)<0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A1k0 B1k<0C1<k0 D1<k<0答案C解析當(dāng)k0時，原不等式等價于2<0，顯然恒成立，所以k0符合題意當(dāng)k0時，由題意得，解得1<k<0.所以1<k0.7利用基本不等式求最值必須滿足三個條件才可以進行，即“一正，二定，三相等”常用技巧：(1)對不能出現(xiàn)定值的式子進行適當(dāng)配湊(2)對已知條件的最值可代入(常數(shù)代換法)或消元(3)當(dāng)題中等號條件不成立，可考慮從函數(shù)的單調(diào)性入手求最值問題7若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()772 74，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號8解絕對值不等式的常用方法(1)基本公式法：a>0時，有|x|<ax2<a2a<x<a.|x|>ax2>a2x>a或x<a.(2)零點分段法：含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解(3)平方法：通過兩邊平方去絕對值符號需要注意的是不等號兩邊為非負(fù)值(4)絕對值的幾何意義問題8不等式|x1|x5|<2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)答案A解析當(dāng)x1，原不等式可化為1x(5x)<2，4<2，不等式恒成立，x1.當(dāng)1<x<5時，原不等式可化為x1(5x)<2，x<4，1<x<4.當(dāng)x5時，原不等式可化為x1(x5)<2，該不等式不成立綜上，原不等式的解集為(，4)9解決線性規(guī)劃問題有三步(1)畫：畫出可行域(有圖象)(2)變：將目標(biāo)函數(shù)變形，從中抽象出截距或斜率或距離(3)代：將合適的點代到原來目標(biāo)函數(shù)中求最值利用線性規(guī)劃思想能解決的幾類值域(最值)問題：(1)截距型：如求zyx的取值范圍(2)條件含參數(shù)型：已知x，y滿足約束條件且zyx的最小值是4，則實數(shù)k2，已知x，y滿足約束條件且存在無數(shù)組(x，y)使得zyax取得最小值，則實數(shù)a.(3)斜率型：如求的取值范圍(4)距離型(圓半徑平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范圍問題9已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于()A3 B2C2 D3答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗知x2，y0符合題意，所以2a04，此時a2.易錯點1忽視等比數(shù)列中q的范圍例1設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S6S9，則數(shù)列an的公比q_.易錯分析沒有考慮等比數(shù)列求和公式Sn中q1的條件，本題中q1恰好符合題目條件解析當(dāng)q1時，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立當(dāng)q1時，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易錯點2忽視分類討論例2若等差數(shù)列an的首項a121，公差d4，求：Sn|a1|a2|a3|an|.易錯分析要去掉|an|的絕對值符號，要考慮an的符號，對n不討論或討論不當(dāng)容易導(dǎo)致錯誤解an214(n1)254n.當(dāng)n6時，Sk|a1|a2|an|a1a2an2n223n；當(dāng)n7時，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.所以Sn易錯點3已知Sn求an時忽略n1例3數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an12Sn(nN*)，求數(shù)列an的通項an.易錯分析anSnSn1成立的條件是n2，若忽略對n1時的驗證則出錯解因為an12Sn，所以Sn13Sn，所以3.因為S1a11，所以數(shù)列Sn是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn3n1 (nN*)所以當(dāng)n2時，an2Sn123n2(n2)，所以an易錯點4數(shù)列最值問題忽略n的限制例4已知數(shù)列an的通項公式為an(n2)()n(nN*)，則數(shù)列an的最大項是()A第6項或第7項 B第7項或第8項C第8項或第9項 D第7項易錯分析求解數(shù)列an的前n項和Sn的最值，無論是利用Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因為數(shù)列中可能出現(xiàn)零項，所以在利用不等式(組)求解時，不能漏掉不等式(組)中的等號，避免造成無解或漏解的失誤解析因為an1an(n3)()n1(n2)()n()n，當(dāng)n7時，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時，an1an0，即an1an；當(dāng)n7時，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此數(shù)列的最大項是第7項或第8項，故選B.答案B易錯點5裂項法求和搞錯剩余項例5在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項和為()A. B.C. D.易錯分析裂項相消后搞錯剩余項，導(dǎo)致求和錯誤一般情況下剩余的項是對稱的，即前面剩余的項和后面剩余的項是對應(yīng)的解析由已知得an(12n)，從而bn4()，所以數(shù)列bn的前n項和為Sn4(1)()() ()4(1).故選D.答案D易錯點6線性規(guī)劃問題最優(yōu)解判斷錯誤例6P(x，y)滿足|x|y|1，求axy的最大值及最小值易錯分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號忽視參數(shù)的符號變化，易導(dǎo)致最值錯誤解當(dāng)a<1時，直線yaxt分別過點(1,0)與(1,0)時，axy取得最大值與最小值，其值分別為a，a.當(dāng)1a1時，直線yaxt分別為(0,1)與(0，1)時，axy取得最大值與最小值，其值分別為1，1.當(dāng)a>1時，直線yaxt分別過點(1,0)與(1,0)時，axy取得最大值與最小值，其值分別為a，a.易錯點7運用基本不等式忽視條件例7函數(shù)y的最小值為_易錯分析應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍柍闪⒌臈l件不成立時，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時注意函數(shù)的定義域解y.設(shè)t，則t2，所以函數(shù)變?yōu)閒(t)t (t2)這時，f(t)在2，)上單調(diào)遞增，所以f(t)f(2)，所以函數(shù)y的最小值為.1等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么an的前7項和S7等于()A22 B24C26 D28答案D解析由已知得a44，S77a428.2在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若am1am12am (m2)，數(shù)列an的前n項積為Tn，若T2m1512，則m的值為()A4 B5 C6 D7答案B解析因為an是正項等比數(shù)列，所以am1am12ama，am2，又T2m1a1a2a2m1a，所以22m151229，m5.3數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為()A3 690 B3 660C1 845 D1 830答案D解析當(dāng)n2k時，a2k1a2k4k1；當(dāng)n2k1時，a2ka2k14k3.所以a2k1a2k12，所以a2k1a2k32，所以a2k1a2k3，所以a1a5a61.所以a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.4已知數(shù)列an的通項公式為anlog3(nN*)，設(shè)其前n項和為Sn，則使Sn4成立的最小自然數(shù)n為()A83 B82 C81 D80答案C解析anlog3log3nlog3(n1)，Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然數(shù)n的值為81.5已知曲線C：y(x>0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差數(shù)列Bx1，x2成等比數(shù)列Cx1，x3，x2成等差數(shù)列Dx1，x3，x2成等比數(shù)列答案A解析由題意，B1，B2兩點的坐標(biāo)分別為(x1，)，(x2，)，所以直線B1B2的方程為y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差數(shù)列6已知a，b都是負(fù)實數(shù)，則的最小值是()A. B2(1)C21 D2(1)答案B解析1112(1)7若關(guān)于x的不等式x2mx40在區(qū)間1,4上有解，則實數(shù)m的最小值是_答案3解析由題意知，原題等價于mx在區(qū)間1,4上有解，令f(x)x(x1,4)，則mf(x)min.因為f(x)x在區(qū)間1,4上單調(diào)遞減，所以f(x)minf(4)43，所以m3，故實數(shù)m的最小值是3.8不等式組表示的平面區(qū)域為，直線ykx1與區(qū)域有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_答案3，)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分直線ykx1顯然經(jīng)過定點M(0，1)，由圖形直接觀察知，當(dāng)直線ykx1經(jīng)過直線yx1和直線xy3的交點C(1,2)時，k最小，此時kCM3，因此k3.9已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且1<0.若Sn存在最大值，則滿足Sn>0的n的最大值為_答案19解析因為Sn有最大值，則數(shù)列an單調(diào)遞減，又<1，則a10>0，a11<0，且a10a11<0，所以S191919a10>0，S202010(a10a11)<0，故n的最大值為19.10已知關(guān)于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為_答案解析2x2(xa)2a22a42a.由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為.11已知函數(shù)f(x)(a，b為常數(shù))且方程f(x)x120有兩實根x13，x24.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)k1，解關(guān)于x的不等式f(x).解(1)將x13，x24分別代入方程x120，得所以f(x)(x2)(2)不等式即為，可化為0，即當(dāng)1k2時，解集為x1，k(2，)；當(dāng)k2時，解集為x1,2)(2，)；當(dāng)k>2時，解集為x1,2)k，)12已知數(shù)列an與bn滿足an1an2(bn1bn)(nN*)(1)若a11，bn3n5，求數(shù)列an的通項公式；(2)若a16，bn2n (nN*)且an>2nn2對一切nN*恒成立，求實數(shù)的取值范圍解(1)an1an2(bn1bn)，bn3n5，an1an6，an是等差數(shù)列an的首項為a11，公差為6，an6n5.(2)bn2n，an1an2(2n12n)2n1.當(dāng)n2時，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n2n12262n12.當(dāng)n1時，a16，符合上式，an2n12.由an>2nn2，得>.0，當(dāng)n1,2時，取最大值，的取值范圍為(，)