高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯(cuò)分析7 概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí) 理

7概率與統(tǒng)計(jì)1隨機(jī)抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會相等，且是不放回抽樣問題1某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為_答案24解析由抽樣比例可知，則x24.2對于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)對于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了問題2(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139,151上的運(yùn)動員人數(shù)是_答案4解析由題意知，將135號分成7組，每組5名運(yùn)動員，落在區(qū)間139,151的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名3在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題3某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶滿意度的評分制成頻率分布直方圖(如下)，則該地區(qū)滿意度評分的平均值為_答案77.5解析由直方圖估計(jì)評分的平均值為550.05650.2750.35850.25950.1577.5.4變量間的相關(guān)關(guān)系假設(shè)我們有如下一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)線性回歸方程x，其中問題4回歸直線x必經(jīng)過點(diǎn)_答案(，)5互斥事件的概率公式P(AB)P(A)P(B)(1)公式適合范圍：事件A與B互斥(2)P()1P(A)問題5拋擲一枚骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)，P(B)，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率之和為_答案6古典概型P(A)(其中，n為一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，m為事件A在試驗(yàn)中包含的基本事件個(gè)數(shù))問題6(2015廣東)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A0.4 B0.6 C0.8 D1答案B解析5件產(chǎn)品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產(chǎn)品中任取2件，結(jié)果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種恰有一件次品的結(jié)果有6種，則其概率為p0.6.7幾何概型一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為P(A).此處D的度量不為0，其中“度量”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的度量分別為長度、面積和體積等即P(A).問題7在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A. B1C. D1答案B解析記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A，P(A)1.8解排列組合問題的常用策略相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果問題84個(gè)不同的小球放入編號為1、2、3、4的4個(gè)盒中，則恰有1個(gè)空盒的放法共有_種答案144解析把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分的小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有種最后將三組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，有分配方法數(shù)A種，因此，放法共有A144(種)9二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：CC(k0,1,2，n)(2)系數(shù)和：CCC2n，CCCCCC2n1.(3)最值：n為偶數(shù)時(shí)，n1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第(1)項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為；n為奇數(shù)時(shí)，(n1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大為第項(xiàng)及第1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為問題9已知()n展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列(1)求n；(2)求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及該項(xiàng)的系數(shù)解(1)前三項(xiàng)系數(shù)為1，C，C，成等差數(shù)列，所以2C1C，即n29n80，得n1(舍)或n8.(2)由n8可知其通項(xiàng)公式為Tk1C()8k()k所以第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C28，第三項(xiàng)系數(shù)為()2C7.10條件概率P(A|B).問題10設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為，則事件A發(fā)生的概率為_答案11離散型隨機(jī)變量的均值、方差(1)離散型隨機(jī)變量的均值、方差：E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值，D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差(2)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)問題11若隨機(jī)變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xx答案解析根據(jù)概率之和為1，求出x，則E()02x13x5x40x.12一般地，如果對于任意實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作N(，2)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為XN(，2)滿足正態(tài)分布的三個(gè)基本概率的值是P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.997 4.問題12已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(<4)0.8，則P(0<<2)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2答案C解析P(<4)0.8，P(>4)0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x2，P(<0)P(>4)0.2，P(0<<4)1P(<0)P(>4)0.6.P(0<<2)P(0<<4)0.3.易錯(cuò)點(diǎn)1抽樣方法理解不準(zhǔn)例1一個(gè)總體中100個(gè)個(gè)體的編號為0,1,2,3，99，并依次按其分為10個(gè)小組，組號為0,1,2，9.要用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果第0組(號碼09)隨機(jī)抽取的號碼為l，那么依次錯(cuò)位地抽取后面各組的號碼，即第k組中抽取的號碼的個(gè)位數(shù)為lk或lk10(如果lk10)若l6，則所抽取的第5組的號碼是_易錯(cuò)分析本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：一是忽視題中對組號的描述，誤以為第一個(gè)號碼6為第一組的號碼導(dǎo)致錯(cuò)誤；二是忽視系統(tǒng)抽樣號碼抽樣法則的制定，誤以為組距為10，所以每組抽取號碼的個(gè)位數(shù)都為6.所以解決此類問題，一定要根據(jù)題中的條件準(zhǔn)確進(jìn)行編號與抽樣解析由題意，第0組抽取的號碼為6，則第一組抽取的號碼的個(gè)位數(shù)為617，所以選17.因?yàn)?18，第二組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為8，故選28.因?yàn)?19，第三組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為9，故選39.因?yàn)?11010,91100，第四組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為0，故選40.因?yàn)?11，第五組抽取號碼的個(gè)位數(shù)為1，故選51.答案51易錯(cuò)點(diǎn)2誤解基本事件的等可能性例2若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_易錯(cuò)分析解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11(點(diǎn)數(shù)和等于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯(cuò)解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為6636，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3個(gè)，故先后擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P.故填.答案易錯(cuò)點(diǎn)3幾何概型中“測度”確定不準(zhǔn)例3在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AMAC的概率；(2)在ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AMAC的概率易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對事件的度量方式，不注意題中兩問中點(diǎn)M生成方式的差異，誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長度來度量造成錯(cuò)解解(1)如圖所示，ABAC.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.所以P(AMAC).(2)由于在ABC內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是ACB，所以P(AMAC).易錯(cuò)點(diǎn)4互斥事件概念不清例4對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈設(shè)A兩次都擊中飛機(jī)，B兩次都沒擊中飛機(jī)，C恰有一次擊中飛機(jī)，D至少有一次擊中飛機(jī)，其中彼此互為互斥事件的是_；互為對立事件的是_易錯(cuò)分析對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關(guān)系不清楚，就會出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷對立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生，但對立事件必有一個(gè)要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生所以兩個(gè)事件對立，則兩個(gè)事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件解析因?yàn)锳B，AC，BC，BD，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而BD，BD，故B與D互為對立事件答案A與B，A與C，B與C，B與DB與D易錯(cuò)點(diǎn)5排列、組合問題混淆例5如圖所示，A，B，C，D是海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？易錯(cuò)分析搞不清幾個(gè)元素之間有無順序，混淆排列與組合的區(qū)別解由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖：第一種：，第二種：對于第一種結(jié)構(gòu)，連接方式只需考慮中心位置的情況，共有C種方法對于第二種結(jié)構(gòu)，有CA種方法總共有CCA16(種)易錯(cuò)點(diǎn)6概率計(jì)算時(shí)是否有序理解不清例6袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)白球的概率為p.從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列易錯(cuò)分析注意題中的摸球是“有放回地”，另外條件“有3次摸到紅球即停止”在解題中要充分考慮解(1)C()2()2.(2)隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式Pn(k)Cpk(1p)nk，得P(0)C(1)5，P(1)C(1)4，P(2)C()2(1)3，P(3)1.隨機(jī)變量的分布列是0123P1某學(xué)校利用系統(tǒng)抽樣的方法，從學(xué)校高三年級全體1 000名學(xué)生中抽50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問卷調(diào)查現(xiàn)將1000名學(xué)生從1到1000進(jìn)行編號，共分50組在第一組中隨機(jī)抽取一個(gè)號，如果抽到的是17號，則第8組中應(yīng)取的號碼是()A177 B157C417 D367答案B解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣法的特點(diǎn)，可知抽取出的編號成首項(xiàng)為17，公差為20的等差數(shù)列，所以第8組的編號是17(81)20157.2如圖是2016年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為()A85,84 B84,85C86,84 D84,86答案A解析由圖可知，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87.平均數(shù)為85，眾數(shù)為84.3從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A. B. C. D.答案D解析如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選4個(gè)頂點(diǎn)，可以看作隨機(jī)選2個(gè)頂點(diǎn)，剩下的4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點(diǎn)即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為.4(2015福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B解析由圖形知C(1,2)，D(2,2)，S四邊形ABCD6，S陰31.P.5某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有1 000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛(注：分析時(shí)車速均取整數(shù))答案300解析由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標(biāo)出頻率，而小于90 km/h的都標(biāo)出了，故考慮對立事件由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.010.020.04)100.7，所以車速不小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為10.70.3.因此在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的車速不小于90 km/h的汽車有1 0000.3300(輛)6春節(jié)期間，某銷售公司每天銷售某種取暖產(chǎn)品的銷售額y(單位：萬元)與當(dāng)天的平均氣溫x(單位：)有關(guān)現(xiàn)收集了春節(jié)期間這個(gè)銷售公司4天的x與y的數(shù)據(jù)列于下表：平均氣溫()2356銷售額(萬元)20232730根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得y與x之間的線性回歸方程x的系數(shù)，則_.答案解析由表中數(shù)據(jù)可得4，25，所以線性回歸方程x過點(diǎn)(4,25)，代入方程得25(4)，解得.7如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學(xué)在期末考試中的六科成績，已知甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5，乙同學(xué)的六科成績的眾數(shù)為84，則x，y的值分別為_，_.答案64解析甲85，解得x6，由題圖可知y4.8從2男3女共5名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會均等)，這2名都是男生或都是女生的概率為_答案解析設(shè)2名男生為A，B,3名女生為a，b，c，則從5名同學(xué)中任取2名的方法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(b，c)，共10種，而這2名同學(xué)剛好是一男一女的有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6種，故所求概率為1.9已知某人投籃的命中率為，則此人投籃4次，至少命中3次的概率是_答案解析該人投籃4次，命中3次的概率為P1C3；該人投籃4次，命中4次的概率為P2C4，故至少命中3次的概率是P.10某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8，且nN*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”(1)若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求n的最大值；(2)當(dāng)n12時(shí)，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X)解(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為，則.化簡得n225n1440，解得9n16，故n的最大值為16.(2)由題意可得，X的可能取值為0,1,2.則P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列為X012PE(X)0121.