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高中數(shù)學 第二章 平面向量章末分層突破學案 北師大版必修

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高中數(shù)學 第二章 平面向量章末分層突破學案 北師大版必修

【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第二章 平面向量章末分層突破學案 北師大版必修4自我校對單位向量坐標表示數(shù)乘向量坐標夾角公式_平面向量的線性運算1.向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算通常叫作向量的線性運算2向量線性運算的結(jié)果仍是一個向量因此對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意大小、方向兩個方面3向量共線定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心,是向量線性運算的關(guān)鍵所在,常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點問題4題型主要有證明三點共線、兩直線平行、線段相等、求點或向量的坐標等已知OAB中,延長BA到C,使ABAC,D是將OB分成21的一個分點,DC和OA交于E,設(shè)a,b(如圖21),圖21(1)用a,b表示向量,;(1)若,求實數(shù)的值【精彩點撥】(1)根據(jù)平行四邊形法則求解(2)結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理求解【規(guī)范解答】(1)A為BC的中點,(),22ab,2abb2ab.(2)若,則a(2ab)(2)ab.與共線,存在實數(shù)m,使得m,即(2)abm,(2m2)ab0.a,b不共線,解得.再練一題1(1)若a,b是不共線的兩個向量,且a與b的起點相同,則實數(shù)t為何值時,a,tb,(ab)三個向量的終點在一條直線上?(2)已知A(1,1),B(1,5),C(x,5),D(4,7),與共線,求x的值【解】(1)由題易知,存在唯一實數(shù).使得atbab,t,即當t時,三向量共線(2)(2,4),(4x,12),2124(4x),x2.向量的夾角、垂直及長度問題1.求夾角問題求向量a,b夾角的步驟:(1)求|a|,|b|,ab;(2)求cos (夾角公式);(3)結(jié)合的范圍0,確定的大小因此求向量的夾角先轉(zhuǎn)化為求向量夾角的余弦值,再結(jié)合夾角的范圍確定夾角的大小若a(x1,y1),b(x2,y2),則cos .2垂直問題這類問題主要考查向量垂直的條件:若向量a(x1,y1),b(x2,y2),則abab0x1x2y1y20.3向量的模(1)|a|2a2,|a|.(2)若a(x,y),則a2x2y2,|a|.(1)已知向量a與b的夾角為120,|a|3,|ab|,則|b|_.(2)已知向量a,b滿足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,則a與b的夾角為_(3)若|a|1,|b|,(2ab)b,求a與b的夾角【精彩點撥】(1)利用模與數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化求解(2)結(jié)合已知條件利用向量的夾角公式計算(3)利用垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積運算求解【規(guī)范解答】(1)因為|ab|,所以|ab|213,即(ab)213,|a|22ab|b|213.又因為a與b的夾角為120,|a|3,所以923|b|cos 120|b|213,|b|23|b|40,解得|b|4或|b|1(舍)(2)設(shè)a與b的夾角為,依題意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6,所以cos ,因為0,所以.【答案】(1)4(2)(3)由(2ab)b,則(2ab)b0,即2abb20,所以2|a|b|cos |b|20,即2cos 20,所以cos .又0,.再練一題2已知cmanb,c(2,2),ac,b與c的夾角為,bc4,|a|2,求實數(shù)m,n的值及a與b的夾角.【解】c(2,2),|c|4.ac,ac0.bc|b|c|cos |b|44.|b|2.cmanb,c2macnbc,16n(4),因此n4.在cmanb兩邊同乘以a,得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b,得mab12.由,得m,ab2,cos .0,或.向量的實際應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用,向量的加減運算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數(shù)乘運算和線段平行之間、數(shù)量積運算和垂直、夾角、距離問題之間聯(lián)系密切,因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題2向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要利用向量平行與垂直的坐標條件求直線的方程3在物理中的應(yīng)用,主要解決力向量、速度向量等問題已知e1(1,0),e2(0,1),今有動點P從P0(1,2)開始,沿著與向量e1e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|e1e2|;另一動點Q從Q0(2,1)開始,沿著與向量3e1e2相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e12e2|,設(shè)P,Q在t0 s時分別在P0,Q0處,問當時,所需的時間為多少?【精彩點撥】求出t s后,P,Q兩點坐標由數(shù)量積為0建立方程求解【規(guī)范解答】e1e2(1,1),|e1e2|,其單位向量為;3e12e2(3,2),|3e12e2|,其單位向量為,如圖依題意,|t,|t,|(t,t),|(3t,2t)由P0(1,2),Q0(2,1),得P(t1,t2),Q(3t2,2t1),(1,3),(2t1,t3)由于,0,即2t13t90,解得t2,即當時,所需時間為2 s.再練一題3.已知ABC是等腰直角三角形,B90,D是BC邊的中點,BEAD,垂足為E,延長BE交AC于F,連接DF,求證:ADBFDC.圖22【證明】如圖,以B為原點,BC所在直線為x軸建立直角坐標系,設(shè)A(0,2),C(2,0),則D(1,0),(2,2)設(shè),則(0,2)(2,2)(2,22)又因為(1,2),由題設(shè),所以0,所以22(22)0,所以,所以,所以.又因為(1,0),所以cosADB,cosFDC.又因為ADB,F(xiàn)DC(0,),所以ADBFDC.待定系數(shù)法在向量中的應(yīng)用1.待定系數(shù)法是數(shù)學中一種非常重要的方法,對于一些數(shù)學問題,若已知所求結(jié)果具有的某種形式,則可引入一些尚待確定的系數(shù)(參數(shù))來表示該結(jié)果,通過變形比較,建立含有參數(shù)(待定字母)的方程(組)進行求解2待定系數(shù)法在向量中有著廣泛的應(yīng)用,如兩向量平行,垂直或平面向量基本定理等就是這種形式的體現(xiàn)如圖23,在ABC中,M是BC的中點,N在AC上且AN2NC,AM與BN交于點P,求APPM的值圖23【精彩點撥】本題主要考查三角形法則、平面向量共線基本定理,適當選取基底表示出,因為點A,P,M共線,若有,則為APPM的值【規(guī)范解答】設(shè)e1,e2,3e2e1,2e1e2.A,P,M與B,P,N共線,(e13e2),(2e1e2),(2e1e2)(e13e2)2e13e2,APPM41.再練一題4設(shè)平面內(nèi)給定的三個向量a(3,2),b(1,2),c(4,1),求滿足ambnc的實數(shù)m,n的值【解】ambnc,(3,2)m(1,2)n(4,1)(4nm,2mn),解得1(2015陜西高考)對任意向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2【解析】根據(jù)ab|a|b|cos ,又cos 1,知|ab|a|b|,A恒成立當向量a和b方向不相同時,|ab|>|a|b|,B不恒成立根據(jù)|ab|2a22abb2(ab)2,C恒成立根據(jù)向量的運算性質(zhì)得(ab)(ab)a2b2,D恒成立【答案】B2(2015安徽高考)ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足2a,2ab,則下列結(jié)論正確的是()A|b|1BabCab1 D(4ab)【解析】在ABC中,由2ab2ab,得|b|2.又|a|1,所以ab|a|b|cos 1201,所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40,所以(4ab),故選D.【答案】D3(2015福建高考)已知,|,|t.若點P是ABC所在平面內(nèi)的一點,且,則的最大值等于()A13 B15C19 D21【解析】,故可以A為原點,AB,AC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系,不妨設(shè)B,C(t,0),則(4,1),故點P的坐標為(4,1).(t4,1)4t171721713.當且僅當4t,即t時(負值舍去)取得最大值13.【答案】A4(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60.動點E和F分別在線段BC和DC上,且,則的最小值為_【解析】在等腰梯形ABCD中,由ABDC,AB2,BC1,ABC60可得ADDC1.建立平面直角坐標系如圖所示,則A(0,0),B(2,0),C,D,(2,0),(1,0),E.,F(xiàn).2.當且僅當,即時取等號,符合題意的最小值為.【答案】

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