高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修1-1

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)8 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 新人教A版選修1-1 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1點(diǎn)A(a,1)在橢圓1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()AaBa或aC2a2D1a1【解析】點(diǎn)A(a,1)在橢圓1內(nèi)部，1.則a22，a.【答案】A2已知直線ykx1和橢圓x22y21有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()Ak或kBkCk或kDk【解析】由得(2k21)x24kx10.直線與橢圓有公共點(diǎn)16k24(2k21)0，則k或k.【答案】C3(2016重慶高二檢測(cè))過(guò)橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)F作垂直于長(zhǎng)軸的弦，則此弦長(zhǎng)為()A.B3C2 D.【解析】因?yàn)镕(1,0)，所以過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的弦與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以弦長(zhǎng)為3.【答案】B4直線yx1被橢圓1所截得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B.C. D.【解析】聯(lián)立方程消去y，得3x24x20.設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)x1x2，x0，y0x01，中點(diǎn)坐標(biāo)為.【答案】C5經(jīng)過(guò)橢圓y21的右焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160041】A3BC或3D【解析】橢圓右焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)l：yx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把yx1代入y21，得3x24x0.A(0，1)，B，.【答案】B二、填空題6直線l過(guò)定點(diǎn)A(3,0)，則過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)【解析】A(3,0)為橢圓長(zhǎng)軸一個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A作橢圓切線時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)(即切點(diǎn))；當(dāng)過(guò)點(diǎn)A作與橢圓相交的直線時(shí)，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，故填1或2.【答案】1或27已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，|1，且PA0，則|P|的最小值是_【解析】易知點(diǎn)A(3,0)是橢圓的右焦點(diǎn)PA0，AP.|P|2|A|2|A|2|A|21，橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，故|A|min2，|P|min.【答案】8過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_(kāi)【解析】由題意知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，直線的方程為y2(x1)，將其與1聯(lián)立，消去y，得3x25x0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x20，所以|AB|x1x2|.設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，則d.所以SOAB|AB|d.【答案】三、解答題9已知橢圓1，直線l：y4x，若橢圓上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線PQ的方程【解】法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則kPQ.設(shè)PQ所在直線方程為yb.由消去y，得13x28bx16b2480.(8b)2413(16b248)0.解得b2，x1x2，設(shè)PQ中點(diǎn)為M(x0，y0)，則有x0，y0b.點(diǎn)M在直線y4x上，4，b.直線PQ的方程為yx，即2x8y130.法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中點(diǎn)則有兩式相減，得3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.x1x2，x1x22x0，y1y22y0，kPQ.kPQ，y03x0.代入直線y4x，得x0，y0，則直線PQ的方程為y，即2x8y130.10設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與E相交A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求|AB|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值【解】(1)由橢圓定義知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|.(2)直線l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡(jiǎn)得(1b2)x22cx12b20.則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|x1x2|，即|x1x2|.所以(x1x2)24x1x2，即，解得b2或b2(舍去)，又b0，b.能力提升1已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，A(a,0)，B(0，b)為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，若點(diǎn)F到AB的距離為，則橢圓的離心率為()A.B.C. D.【解析】直線AB的方程是1，即bxayab0.因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，所以，化簡(jiǎn)，得8c214ac5a20，兩端同除以a2，得8e214e50，解得e.【答案】C2已知橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，直線l：x2，點(diǎn)Al，線段AF交橢圓C于點(diǎn)B，若F3F，則|A|()A.B2C.D3【解析】設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21知a22，b21，c21，即c1，右焦點(diǎn)F(1,0)由F3F，得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0.x0，y0n.將x0，y0代入y21，得221.解得n21，|A|.【答案】A3若直線ykx1與曲線x有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_【解析】由x，得x24y21(x0)，又直線ykx1過(guò)定點(diǎn)(0,1)，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)(0,1)的直線與橢圓在y軸右側(cè)的部分有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與橢圓(右側(cè)部分)相切時(shí)，k，則相交時(shí)k.【答案】4設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60，A2F.(1)求橢圓C的離心率； 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160042】(2)如果|AB|，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0，y2>0.(1)直線l的方程為y(xc)，其中c.聯(lián)立，得消去x，得(3a2b2)y22b2cy3b40.解得y1，y2因?yàn)锳2F，所以y12y2，即2，得離心率e.(2)因?yàn)閨AB|y2y1|，所以.由，得ba，所以a，所以a3，b.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.