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1、解答題專題練(三) 應用題
(建議用時：40分鐘)
1.(2019·南通密卷)如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉向東偏北α角方向的OB.位于該市的某大學M與市中心O的距離OM＝3 km，且∠AOM＝β.現要修筑一條鐵路L，在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經過大學M.其中tan α＝2，cos β＝，AO＝15 km.
(1)求大學M與站A的距離AM；
(2)求鐵路AB段的長AB.
2.(2019·連云港模擬)某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半
2、徑為10 cm的圓形包裝紙包裝．要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖所示．設正三棱錐的底面邊長為x cm，體積為V cm3.
(1)求V關于x的函數關系式；
(2)在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值．
3.(2019·宿遷模擬)如圖是一個半圓形湖面景點的平面示意圖．已知AB為直徑，且AB＝2 km，O為圓心，C為圓周上靠近A的一點，D為圓周上靠近B的一點，且CD∥AB.現在準備從A經過C到D建造一條觀光路線，其中A到C是圓弧，
3、C到D是線段CD.設∠AOC＝x rad，觀光路線總長為y km.
(1)求y關于x的函數解析式，并指出該函數的定義域；
(2)求觀光路線總長的最大值.
4．(2019·南通模擬)為了凈化空氣，某科研單位根據實驗得出，在一定范圍內，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：天)變化的函數關系式近似為
y＝
若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．
(
4、1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？
(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值(精確到0.1，參考數據：取1.4)．
解答題專題練(三)
1．解：(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cos β＝，OM＝3，
由余弦定理得，AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM
＝152＋(3)2－2×15×3×
＝15×15＋13×9－2×3×15×3
＝72.
所以AM＝6，即大學M與站A的距離AM
5、為6km.
(2)因為cos β＝，且β為銳角，所以sin β＝，
在△AOM中，由正弦定理得，＝，
即＝，所以sin∠MAO＝，
所以∠MAO＝，
所以∠ABO＝α－，因為tan α＝2，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin∠ABO＝sin＝， 又∠AOB＝π－α，所以sin∠AOB＝sin(π－α)＝，在△AOB中，AO＝15, 由正弦定理得，＝，
即＝，所以AB＝30，即鐵路AB段的長AB為30km.
2．解：(1)正三棱錐展開如圖所示．當按照底邊包裝時體積最大．
設正三棱錐側面的高為h0，高為h.
由題意得x＋h0＝10，解得h0＝10－x.
6、
則h＝＝
＝ ，x∈(0，10)．
所以，正三棱錐體積V＝Sh＝×x2×
＝x2.
(2)設y＝V2＝＝－，
求導得y′＝－，令y′＝0，得x＝8，
當x∈(0，8)時，y′>0，
所以函數y在(0，8)上單調遞增，
當x∈(8，10)時，y′<0，
所以函數y在(8，10)上單調遞減，
所以，當x＝8 cm時，y取得極大值也是最大值.
此時y＝15 360，所以Vmax＝32cm3.
故當底面邊長為8cm時，正三棱錐的最大體積為32cm3.
3．解：(1)由題意知，＝x×1＝x，CD＝2 cos
7、x，因為C為圓周上靠近A的一點， D為圓周上靠近B的一點，且CD∥AB，所以0
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