（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第6講 立體幾何中的計(jì)算練習(xí)

第6講 立體幾何中的計(jì)算A級高考保分練1若圓錐底面半徑為1，高為2，則圓錐的側(cè)面積為_解析：由題意，得圓錐的母線長l，所以S圓錐側(cè)rl×1×.答案：2已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為_cm3.解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x cm，由題意得6x×672，所以x2，于是其體積V×22×6×636 (cm)3.答案：363(2019·南京學(xué)情調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB2，AA13，則四棱錐A1­B1C1CB的體積是_解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連結(jié)A1E，易證A1E平面BB1C1C，所以A1E為四棱錐A1B1C1CB的高，所以V四棱錐A1­B1C1CBS矩形BB1C1C×A1E×(2×3)×2.答案： 24(2019·常州期末)已知圓錐SO，過SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為_解析：設(shè)圓錐底面半徑為2r，高為2h，則圓柱底面圓半徑為r，高為h，所以.答案：5(2019·蘇州期末)如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為_解析：正三棱錐的底面正三角形的邊長為2×2×cos 30°2，底面正三角形的面積S×2×2×sin 60°3，三棱錐的高h(yuǎn)2.所以正三棱錐的體積V×3×22.答案：26已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為_解析：將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以正方體的棱長為2.因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R2，則球O的體積VR3.答案：7(2019·姜堰中學(xué)檢測)已知矩形ABCD，AB1，AD，E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，CE將ABE，DCE翻折，使點(diǎn)A，D重合，記為點(diǎn)P，則幾何體PBCE的外接球表面積為_解析：在幾何體PBCE中，PBPC，PBPE，PCPE，即三棱錐可以補(bǔ)成以PB，PC，PE為邊的長方體，其對角線為外接球的直徑，即2r，故r，外接球的表面積為4××.答案： 8已知圓柱的軸截面的對角線長為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為_解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則l，0<r<1.圓柱的側(cè)面積為S2rl2r·42r2(1r2)2，當(dāng)且僅當(dāng)r21r2，即r時(shí)取“”，所以這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為2.答案：29有一個(gè)體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為a，b,1.現(xiàn)將它的長增加1，寬增加2，且體積不變，則所得新長方體高的最大值為_解析：設(shè)所得新長方體的高為h.根據(jù)題意，得所以h，當(dāng)且僅當(dāng)2ab，即a1，b2時(shí)取等號故所得新長方體高的最大值為.答案：10.(2019·蘇州期末)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留)解析：設(shè)球形容器的最小半徑為R，則“十字立方體”的24個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為R的球面上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長方體的八個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)球面上球的直徑就是長方體的體對角線的長度，所以2R，得4R230.從而S球面4R230.答案：3011已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積解：設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h(yuǎn)2r.因?yàn)镾S側(cè)2S底2rh2r26r2，所以r，所以內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a2rsin 45°r，所以內(nèi)接正四棱柱的體積VS底·h(r)2·2r4r3.12.如圖，在五面體ABCDFE中，底面ABCD為矩形，EFAB，BCFD，過BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)證明：PQ平面ABCD；(2)若CDBE，EFEC1，CD2EFBC，求五面體ABCDFE的體積解：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以ADBC.又AD平面ADF，BC平面ADF，所以BC平面ADF.又BC平面 BCPQ，平面BCPQ平面ADFPQ，所以BCPQ.又PQ平面ABCD，BC平面ABCD，所以PQ平面ABCD.(2)由CDBE，CDCB，易證CDCE.由BCCD，BCFD，易證BC平面CDFE，所以CBCE，即CD，CE，CB兩兩垂直如圖，連接FB，F(xiàn)C，因?yàn)镋FEC1，CD2EFBC，所以CD2，BC3，V四棱錐F­ABCD×(2×3)×12，V三棱錐F­BCE××1，所以VABCDFEV四棱錐F­ABCDV三棱錐F­BCE2.B級難點(diǎn)突破練1已知底面半徑為1，高為的圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為_解析：如圖，ABC為圓錐的軸截面，O為其外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，連接OB，OA，并延長AO交BC于點(diǎn)D，則ADBC，由題意知，AOBOR，BD1，AD，則在RtBOD中，有R2(R)212，解得R，所以外接球O的表面積 S4R2.答案：2. 底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為 cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水_cm3.解析：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，O1O2O3O4為正四面體，棱O1O2到棱O3O4的距離為，所以注水高為1.故應(yīng)注水體積為4××3.答案：3如圖所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90°，CD為ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4.如圖所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)(1)求證：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B­DEG的體積解：(1)證明：在題圖中，因?yàn)锳C6，BC3，ABC90°，所以ACB60°.因?yàn)镃D為ACB的平分線，所以BCDACD30°，所以CD2.又因?yàn)镃E4，DCE30°，所以DE2.則CD2DE2CE2，所以CDE90°，即DECD.在題圖中，因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在題圖中，因?yàn)镋F平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，所以EFBG.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，所以AEEGCG2.過點(diǎn)B作BHCD交于點(diǎn)H.因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.由條件得BH.又SDEGSACD×AC·CD·sin 30°，所以三棱錐B­DEG的體積為VSDEG·BH××.4.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD.(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC，三棱錐E­ACD的體積，求該三棱錐E­ACD的側(cè)面積解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD.因?yàn)锽E平面ABCD，AC平面ABCD，所以BEAC.因?yàn)锽DBEB，BD 平面BED，BE 平面BED，所以AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐E­ACD的體積V三棱錐E­ACD·AC·GD·BEx3，故x2.從而可得AEECED.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E­ACD的側(cè)面積為32.- 7 -