中考數(shù)學(xué) 知識點(diǎn)聚焦 第十六章 對稱、平移與旋轉(zhuǎn)

專題六 圖形與變換第十六章 對稱、平移與旋轉(zhuǎn)考情分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.軸對稱圖形的識別35分2.軸對稱的性質(zhì)3.直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的軸對稱4.平移的性質(zhì)及作圖5.平移與坐標(biāo)變化6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)7.旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化8.中心對稱圖形9.中心對稱的性質(zhì)知能圖譜第36講 軸對稱知識能力解讀知能解讀（一）軸對稱圖形的概念如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫作軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.注意（1）一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只要一條，如圖（b）（c）中各有兩條，如圖1-36-1（d）中有4條.（2）軸對稱圖形需注意：一個圖形；沿一條直線對折，對折的兩部分能完全重合（即重合到自身上）；對稱軸是一條直線.知能解讀（二）軸對稱的概念把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫作對稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫作對稱點(diǎn)（如圖所示）.注意兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：名稱兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱軸對稱圖形圖形區(qū)別（1）兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個圖形；（2）只有一條對稱軸（1）軸對稱圖形是指一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言；（2）至少有一條對稱軸聯(lián)系把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形.把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條對稱軸成軸對稱知能解讀（三）軸對稱的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.（2）如果兩圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.注意全等的圖形不一定是成軸對稱的，成軸對稱的圖形一定是全等的，所以成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.知能解讀（四）軸對稱作（畫）圖1畫圖形的對稱軸（1）如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，因此我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這個圖形的對稱軸.（2）對于軸對稱圖形，只要找到任意一對對應(yīng)點(diǎn)，作出對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸.注意找對稱點(diǎn)時，所找對稱點(diǎn)最好是圖形的頂點(diǎn)或拐點(diǎn)，這樣作出的圖形更準(zhǔn)確.2畫軸對稱圖形（1）由一個平面圖形可以得到與它關(guān)于一條直線對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)；連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分.（2）幾何圖形都可以看作是由點(diǎn)組成.對于某些圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.（3）畫軸對稱圖形的步驟；確定原圖形的特殊點(diǎn)；作出所有特殊點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)；按原圖形的順序順次連接相應(yīng)的對稱點(diǎn).注意“特殊點(diǎn)”是指能確定圖形形狀、大小及位置的關(guān)鍵點(diǎn).如果是多邊形，這些點(diǎn)就是指所有的頂點(diǎn)；如果是線段，這些點(diǎn)就是指線段的兩個端點(diǎn)等.知能解讀（五）設(shè)計軸對稱圖案應(yīng)用軸對稱知識，設(shè)計美觀大方的圖形，有利于增強(qiáng)對軸對稱知識的理解，提高審美能力和創(chuàng)作設(shè)計能力.以圖中的（a）為例進(jìn)行說明.步驟如下：（1）準(zhǔn)備一張圓形紙片；（2）在圓形紙片上畫兩條互相垂直的直徑，如圖（b）；（3）如圖（c），在其中畫出四邊形；（4）如圖（d），在其中畫出四邊形關(guān)于鉛直對稱軸的對稱四邊形；（5）如圖（e），畫出圖（d）中的圖形關(guān)于水平對稱軸的對稱圖形；（6）在圖（e）中圖上顏色.這樣就完成這幅軸對稱圖案了.知能解讀（六）關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是；關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；（1）關(guān)于軸（橫軸）對稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即“橫同縱反”；（2）關(guān)于軸（縱軸）對稱的點(diǎn)：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即“縱同橫反”.方法技巧歸納方法技巧（一）軸對稱圖形及其對稱軸的識別方法判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，可以用折紙的方法按照軸對稱圖形的概念，看是否能找到一條直線，將圖形沿其折疊，使直線兩旁的部分能夠完全重合（即用軸對稱圖形的定義進(jìn)行識別）.點(diǎn)撥識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是找到作為對稱軸的直線，沿直線折疊后兩邊的部分能夠重合，有時這樣的直線能夠找到多條，說明這個軸對稱圖形有多條對稱軸.方法技巧（二）利用軸對稱圖形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長的方法由于軸對稱圖形沿對稱軸翻折后兩邊互相重合，而重合的邊或角存在相等關(guān)系，所以根據(jù)這一特點(diǎn)可以進(jìn)行線段或角的計算.點(diǎn)撥解此類題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊后重合的角、重合的邊，利用存在的相等關(guān)系解決問題.點(diǎn)撥利用軸對稱的性質(zhì)時，關(guān)鍵是找對應(yīng)點(diǎn)，這樣問題就能化解難為易，化繁為簡.方法技巧（三）軸對稱作圖利用軸對稱的性質(zhì)時，可以確定成軸對稱的圖形的對稱軸，也可以作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形.點(diǎn)撥點(diǎn)在對稱軸上時，它關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)也在對稱軸上；點(diǎn)在對稱軸一側(cè)時，它關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)在對稱軸的另一側(cè).方法技巧（四）生活中的軸對稱解決平面內(nèi)最短（最?。┚嚯x問題，可以利用軸對稱對作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解決.易混易錯辨析易混易錯知識1.軸對稱與軸對稱圖形區(qū)別：軸對稱是對兩個圖形來說的，它是兩個全等圖形之間的一種位置關(guān)系，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的，它是一個圖形所具備的一種特征.2.判斷成軸對稱時，誤以為只要兩個圖形就可以.易混易錯 找成軸對稱的圖形時，由于對稱軸對稱的概念理解不正確而致誤中考試題研究中考命題規(guī)律中考中對稱軸對稱的考查主要以識別軸對稱圖形和點(diǎn)在坐標(biāo)系中的軸對稱為主，也考查利用軸對稱求最短路線的應(yīng)用，題型以填空題、選擇題為主，也有作圖題.中考試題（一）識別軸對稱圖形點(diǎn)撥利用軸對稱圖形的定義判斷，沿某條直線折疊看直線兩旁的部分能否完全重合.中考試題（二）點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)中考試題（三）用軸對稱求最短路線問題第37講 平移與旋轉(zhuǎn)知識能力解讀知能解讀（一）平移的概念和特征1平移的概念把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動，叫作平移.點(diǎn)撥（1）圖形平移的兩個要素：一是平移的方向；二是平移的距離；（2）圖形平移的方向不限于是水平的.2平移的特征（1）平移后得到的新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.（2）新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或在同一條直線上）且相等.注意（1）由平移性質(zhì)可知：連接對應(yīng)點(diǎn)線段的長度就是圖形平移的距離.（2）區(qū)分對應(yīng)點(diǎn)的連續(xù)和對應(yīng)線段，在平移過程中對應(yīng)線段和對應(yīng)點(diǎn)的連線都有可能在同一條直線上.知能解讀（二）畫平移后的圖形的步驟方法（1）確定平移的方向；（2）確定平移的距離；（3）畫出決定圖形大小和形狀的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)角或?qū)?yīng)線段；（4）按原來圖形的連接方式補(bǔ)充完整圖形.知能解讀（三）平面直角坐標(biāo)系匯總的平移一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右或左平移個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)或；將點(diǎn)向上或下平移個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)或.一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果把一個圖形各個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個正數(shù)，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移個單位長度；如果把它各個點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上（或減去）一個正數(shù)，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移個單位長度. 知能解讀（四）旋轉(zhuǎn)的概念和特征1旋轉(zhuǎn)的概念把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫作旋轉(zhuǎn)角.如圖形上的點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化點(diǎn)，那么這兩個點(diǎn)叫作這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn).如圖所示，是繞定點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，其中點(diǎn)與點(diǎn)叫作對應(yīng)點(diǎn)，線段與線段叫作對應(yīng)線段，與叫作對應(yīng)角，點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，（或）的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定.點(diǎn)撥圖形旋轉(zhuǎn)的三要素是旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.2旋轉(zhuǎn)的特征（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.注意（1）旋轉(zhuǎn)角與對應(yīng)角不同，旋轉(zhuǎn)角是指圖形旋轉(zhuǎn)過的角，而不是圖形中的角；對應(yīng)角是指圖形旋轉(zhuǎn)前后能夠重合的角，它是圖形中的角.（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離與對應(yīng)線段的長度不同，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離是圖形上的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離；對應(yīng)線段則是圖形上的線段.3旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法（1）確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；（2）找出圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）連接圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（4）按原圖的順序連接這些對應(yīng)點(diǎn)，即得旋轉(zhuǎn)后的圖形.知能解讀（五）平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱的關(guān)系 變換異同平 移旋 轉(zhuǎn)對稱軸不同點(diǎn)平移變換前后，兩個圖形的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上），對應(yīng)角的兩邊分別平行（或在同一條直線上）且方向一致旋轉(zhuǎn)變換前后，兩個圖形后，兩個圖形的任意一個對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都是旋轉(zhuǎn)角若成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)線段或其延長線段相交，則其交點(diǎn)在對稱軸上；成軸對稱的兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)所連線段被稱對稱軸垂直平分相同點(diǎn)（1）都是在平面進(jìn)行的圖形變換；（2）都是只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即變換前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，兩圖形全等；（3）都是把一個已知圖形變換后得到另一個圖形知能解讀（六）中心對稱與中心對稱圖形的概念1中心對稱把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個U形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫作對稱中心（簡稱中心）.這兩個圖形再旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn).如圖，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，與完全重合，則稱和關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn).2中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對稱中心對稱圖形區(qū)別（1）是針對兩個圖形而言的.（2）是指兩個圖形的（位置）關(guān)系.（3）對稱點(diǎn)在兩個圖形上.（4）對稱中心在兩個圖形之間.（1）是針對一個圖形而言的.（2）是指具有某種性質(zhì)的一個圖形.（3）對稱點(diǎn)在一個圖形上.（4）對稱中心在圖形上.聯(lián)系（1）都是通過把圖形旋轉(zhuǎn)重合來定義的.（2）兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱知能解讀（七）中心對稱的性質(zhì)（1）中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；（2）中心對稱的兩個圖形是全等圖形.知能解讀（八）作中心對稱圖形的一般步驟（1）作出已知圖形各頂點(diǎn)（或決定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)）關(guān)于中心的對稱點(diǎn)連接關(guān)鍵點(diǎn)和中心，并延長一倍確定關(guān)鍵的對稱點(diǎn).（2）把各對稱點(diǎn)按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關(guān)于對稱中心對稱的圖形.知能解讀（九）找對稱中心的方法和步驟對于中心對稱圖形和關(guān)于某一點(diǎn)對稱的兩個圖形，它們的對稱中心非常重要，找不對稱中心是解決先關(guān)問題的關(guān)鍵.由中心對稱的特征可知，對稱中心為對應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)或兩組相對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，因此找對稱中心的步驟如下：方法1：連接兩個對應(yīng)點(diǎn)，取對應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則中點(diǎn)為對稱中心.方法2：連接兩個對應(yīng)點(diǎn)，在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)，兩組對應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為對稱中心.方法技巧歸納方法技巧（一）平移現(xiàn)象的識別方法識別時應(yīng)把握兩點(diǎn)：一是平移是沿直線進(jìn)行的；而是平移只改變位置，不敢變形狀和大小 .點(diǎn)撥（1）平移是由平移的方向和距離決定的（即平移的兩個要素）.（2）平移不改變圖形的形狀和大小，只改變位置.方法技巧（二）圖形的平移與坐標(biāo)將直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)向右（或向左）平移個單位長度，點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)增加（或減少）個單位.將直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)向上（或向下）平移個單位長度，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)增加（或減少）個單位.點(diǎn)撥圖形向左（或向右）平移，則橫坐標(biāo)減去（或加上）某一個數(shù)，縱坐標(biāo)不變；圖形向上（或向下）平移，則縱坐標(biāo)加上（或減去）某一個數(shù)，橫坐標(biāo)不變.方法技巧（三）選擇性質(zhì)的應(yīng)用技巧一個圖形旋轉(zhuǎn)后得到一個新圖形，只是位置發(fā)生改變，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，利用其性質(zhì)可進(jìn)行相關(guān)計算.方法技巧（四）中心對稱圖形的識別對中心對稱圖形的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）圍繞某點(diǎn)；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）與本身重合.這是判定一個圖形是不是中心對稱圖形的重要依據(jù).方法技巧（五）綜合運(yùn)用軸對稱、平移與宣戰(zhàn)作圖的方法首先要熟練掌握它們各自的作法，然后對照題目中的具體要求一步一步進(jìn)行操作.點(diǎn)撥平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱作圖時，只需把多邊形的各個頂點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)作出，再順次連成對變形即可.易混易錯辨析易混易錯知識中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別：（1）中心對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，而中心對稱圖形是指具有某種性質(zhì)的圖形；（2）成中心對稱的兩個圖形的對稱點(diǎn)分別在兩個圖形上，而中心非常圖形的對稱點(diǎn)在一個圖形上；（3）中心對稱圖個的對稱中心一定在這個圖形的內(nèi)部，而成中心對稱的兩個圖形的對稱中心可以在這兩個圖形的外部，也可以在這兩個圖形的內(nèi)部，還可以在它們的公共邊上.易混易錯（一）對平移的性質(zhì)理解不透而出錯易混易錯（二）旋轉(zhuǎn)方向不清楚易出現(xiàn)漏解中考試題研究中考命題規(guī)律近幾年來，平移與旋轉(zhuǎn)越來越受重視，因為它與“實際應(yīng)用”聯(lián)系密切，同時又非常簡單的證明方法.新課程標(biāo)準(zhǔn)又強(qiáng)化了對平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱等知識的考場，縱觀近兩年各地中考題，此類內(nèi)容所占比例大大增加.中考試題（一）軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別中考試題（二）平移與旋轉(zhuǎn)中的有關(guān)計算中考試題（三）平移或旋轉(zhuǎn)作圖