中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第二十章 圓

第二十章圓考情分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.垂徑定理1220分2.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系3.圓周角定理4.圓內(nèi)接四邊形5.三角形的外接圓與內(nèi)切圓6.切線的判定及性質(zhì)7.切線長(zhǎng)及切線長(zhǎng)定理8.正多邊形的有關(guān)計(jì)算9.弧長(zhǎng)及扇形面積公式10.圓錐的側(cè)面積及全面積知能圖譜第47講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)知識(shí)能力解讀知能解讀（一）圓的概念1概念（1）在描述性定義：如圖所示，在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫作圓。其固定的端點(diǎn)叫作圓心，線段叫作半徑。（2）集合性定義：圓心為、半徑為的圓可以看成是所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。2圓的表示方法以點(diǎn)為圓心的圓，記作，讀作“圓”。3圓的特征（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）；（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。點(diǎn)撥（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長(zhǎng)，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。記憶口訣：圓有兩要素，半徑和圓心；半徑定大小，圓心定位置。知能解讀（二）圓的有關(guān)概念名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點(diǎn)的 線段叫作弦，如右圖 中“弦”直徑是圓中最長(zhǎng)的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點(diǎn)間的部 分叫作圓弧，簡(jiǎn)稱弧。 圓的任意一條直徑的 兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩 條弧，每一條弧都叫 作半圓；大于半圓的 弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中 的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過(guò)來(lái)，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān)等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長(zhǎng)度相等的孤不一定是等孤知能解讀（三）圓的對(duì)稱性圓既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。將圓周繞圓心旋轉(zhuǎn)180能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心。將圓周周繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。經(jīng)過(guò)圓心畫任意一條直線，并沿此直線將圓對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，所以圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸，所以圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。知能解讀（四）垂直定理及其推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，是的直徑，是的弦，交于點(diǎn)，若，則注意（1）垂徑定理中的垂徑可以是直徑、半徑或過(guò)圓心的直線或線段，其本質(zhì)是“過(guò)圓心”。（2）垂徑定理中的“弦”為直徑時(shí)，結(jié)論仍成立。（2）垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖1-47-2，是非直徑的弦，是直徑，若則。注意垂徑定理的推論中，被平分的弦不能是直徑，如果弦是直徑，兩直徑互相平分，結(jié)論就不成立，如圖所示，直徑平分直徑，但不垂直于。（1）垂直定理是證明線段相等、弧相等的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了思考的方法和理論依據(jù)。（2）一條直線如果具有：經(jīng)過(guò)圓心，垂直于弦，平分弦（被平分的弦不是直徑），平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，平分弦所對(duì)的劣弧，這五條中的任意兩條，那么必然具備其余三條。知能解讀（五）圓心角的定義及與弧、弦之間的關(guān)系1圓心角的定義頂點(diǎn)在圓心的角叫作圓心角。2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系（1）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。如圖所示，在中，若，則有，。（2）推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等。（3）推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別相等。以上三個(gè)關(guān)系可總結(jié)為：在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。注意圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)，不能說(shuō)圓心角等于它所對(duì)的弧。知能解讀（六）圓周角的定義及性質(zhì)1.圓周角的概念頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角。圓周角具備兩個(gè)特征：（1）角的頂點(diǎn)在圓上；（2）角的兩邊在圓內(nèi)部的線段都是圓的弦。2.圓周角定理及推論（1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（2）推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。（3）推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。點(diǎn)撥（1）若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論就不一定成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類，它們一般不相等。（2）推論2給出了圓中一種常見的作輔助線的方法：若有直徑，通常作直徑所對(duì)的圓周角；反過(guò)來(lái)，若有的圓周角，通常作直徑。知能解讀（七）圓內(nèi)接多邊形（1）圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫作圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫作這個(gè)多邊形的外接圓。（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。拓展：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，其四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上。方法技巧歸納方法技巧（一）運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行解題的方法在應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：。根據(jù)此公式，在，三個(gè)量中，知道任意兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量。 方法技巧（二）利用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系解題在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角及其所對(duì)的兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，對(duì)應(yīng)的另外兩組量也分別相等。點(diǎn)撥在圓中證明弧相等時(shí)往往要證明弧所對(duì)的圓心角或弦相等，在證明圓心角或弦相等時(shí)常由相應(yīng)的半徑、弦的一半、圓心與弦中點(diǎn)的連線段構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等來(lái)解決。方法技巧（三）利用圓周角的性質(zhì)進(jìn)行解題的方法在求圓周角或圓心角的度數(shù)時(shí)，通常要找出或構(gòu)造出同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角或圓心角。若題目中有直徑，常常添加輔助線，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，利用垂徑定理或直角三角形求解。注意在圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角相等是一個(gè)隱含條件，注意其在證明過(guò)程中的應(yīng)用。方法技巧（四）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角的度數(shù)利用“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”可以求一些不易求得的圓周角的度數(shù)。方法技巧（五）圓中兩條線段長(zhǎng)度之和最小的問(wèn)題在圓中求兩條線段長(zhǎng)度之和最小的問(wèn)題，通常通過(guò)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用垂徑定理和兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決，考查靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.直徑與弦的關(guān)系。直徑是弦，但弦不一定是直徑，只是過(guò)圓心的弦才是直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦。2.在同一個(gè)圓中，一條弦所對(duì)的圓周角有兩種情況，但解題時(shí)常因考慮不周漏解。3.應(yīng)用垂徑定理的推論時(shí)，對(duì)條件的理解不透致錯(cuò)。在應(yīng)用垂徑定理的推論時(shí)，平分弦作條件時(shí)，必須指出被平分的弦是非直徑的弦，否則命題不一定成立。易混易錯(cuò)（一）求平行弦之間的距離出現(xiàn)錯(cuò)誤易混易錯(cuò)（二）求一條弦所對(duì)的圓周角易漏解中考試題研究中考命題規(guī)律垂徑定理，圓周角定理以及圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，常在圓的半徑、弦長(zhǎng)的計(jì)算中運(yùn)用。圓周角的知識(shí)常與其他的知識(shí)綜合在一起考查，題型有選擇題、填空題及簡(jiǎn)單的解答題或證明題，屬中、低檔題。中考試題（一）利用圓的相關(guān)概念求解中考試題（二）利用圓的相關(guān)概念推理證明第48講 點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)能力解讀知能解讀（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)撥（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長(zhǎng)，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。知能解讀（二）確定圓的條件 條件 類別過(guò)一點(diǎn)作圓過(guò)兩點(diǎn)作圓過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓理論依據(jù)經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)作圓時(shí)，只要以點(diǎn)以外任意一點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到點(diǎn)的距離為半徑就能作出一個(gè)圓，這樣的圓能作出無(wú)數(shù)多個(gè)經(jīng)過(guò)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，作圓，由于圓心到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，所以圓心在線段的垂直平分線上，這樣的圓心有無(wú)數(shù)多個(gè)，這樣的圓能作出無(wú)數(shù)多個(gè)經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，作圓，圓心到這三個(gè)點(diǎn)的距離相等。因此，圓心是線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以（或，）為半徑可作出經(jīng)過(guò)，三點(diǎn)的圓，這樣的圓只有一個(gè)圓形結(jié)論不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓注意（1）“不在同一條直線上”這個(gè)條件不可忽略。（2）“確定”一詞理解為“有且只有”，說(shuō)明這樣的圓是存在的，并且是唯一的。知能解讀（三）三角形的外接圓與外心（1）三角形外接圓的相關(guān)概念：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫作這個(gè)三角形的外心。（2）三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓的半徑。拓展銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形的外心在三角形的外部，即三角形的外心隨三角形的形狀變化其位置也發(fā)生變化，如圖所示。（1）“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系，而“內(nèi)”“外”是相對(duì)的概念，以一個(gè)圖為準(zhǔn)，說(shuō)明另一個(gè)圖在它里面或外面。（2）任何一個(gè)三角形的外心均是其兩邊中垂線的交點(diǎn)，只要三角形確定，其外心和外接圓就唯一確定。知能解讀（四）直線與圓的位置關(guān)系直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離。直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離定義直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系公共點(diǎn)名稱直線名稱交點(diǎn)割線切點(diǎn)切線點(diǎn)撥（1）設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為則有：直線和相交；直線和相切；直線和相離。（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系有兩種方法：一是根據(jù)定義即可公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判定；二是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判定。知能解讀（五）切線的判定與性質(zhì)（1）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點(diǎn)撥切線必須滿足兩個(gè)條件：（1）經(jīng)過(guò)半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個(gè)條件缺一不可。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)點(diǎn)的半徑。拓展推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直到切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個(gè)推論涉及一條直線滿足的三個(gè)條件：（1）垂直于切線；（2）過(guò)切點(diǎn)；（3）過(guò)圓心，如果一條直線滿足于以上三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足另外一個(gè)條件，也可簡(jiǎn)單地理解為“二推一”。知能解讀（六）切線長(zhǎng)（1）定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫作這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點(diǎn)撥切線長(zhǎng)定理包括線段相等和角相等的兩個(gè)結(jié)論及垂直關(guān)系等。知能解讀（七）三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫作三角形的內(nèi)心。（2）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三條邊的距離相等。點(diǎn)撥（1）設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為c，則它的內(nèi)切圓半徑；（2）三角形的頂點(diǎn)到其所在兩邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)的距離相等；（3）三角形的周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半等于這個(gè)三角形的面積，即其中為的內(nèi)切圓半徑，分別為的三邊長(zhǎng)。方法技巧歸納方法技巧（一）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別方法點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，主要依據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷：點(diǎn)與圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外；點(diǎn)與圓心的距離感等于半徑，點(diǎn)在圓上；點(diǎn)與圓心的距離小于半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，反之亦然。點(diǎn)撥確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法是計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離，與半徑比較大小，若知道點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判斷圓的半徑與點(diǎn)到圓心的距離的大小關(guān)系。方法技巧（二）三角形外接圓的應(yīng)用方法三角形的外接圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是求外接圓的半徑；二是利用外接圓性質(zhì)解決某些實(shí)際問(wèn)題。點(diǎn)撥直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓。方法技巧（三）直線和圓的位置關(guān)系的判別方法直線和圓的位置關(guān)系要依據(jù)圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，有相離、相切、相交三種情形。點(diǎn)撥根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系。當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交。方法技巧（四）切線的判定方法圓的切線的判定方法通常分為兩種情況：若題目給出直線和圓，但沒(méi)有給出公共點(diǎn)時(shí)，需“作垂直，證半徑”，利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判定；若題目給出直線和圓的公共點(diǎn)時(shí)，利用“連半徑，證垂直”的方法進(jìn)行判定。方法技巧（五）切線性質(zhì)的應(yīng)用方法當(dāng)題目中給出圓的切線時(shí)，通常要作出過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。點(diǎn)撥利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形是解決此類問(wèn)題常用的方法。方法技巧（六）切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用切線長(zhǎng)定理包括線段相等的角相等兩個(gè)結(jié)論，利用該定理可以證明線段相等、角相等、弧相等以及線段的垂直關(guān)系等。圖是切線長(zhǎng)定理的一個(gè)基本圖形，可以得出很多結(jié)論，如;等。注意本題中的兩個(gè)常識(shí)性結(jié)論請(qǐng)牢記，以后可以直接用于填空題和選擇題的計(jì)算中：一是三條切線（本題中的）圍成的三角形的周長(zhǎng)等于切線長(zhǎng)（或）的2倍，二是方法技巧（七）三角形內(nèi)切圓的應(yīng)用三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三條邊的距離相等。解決內(nèi)切圓的問(wèn)題，還應(yīng)利用“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”這一性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題。點(diǎn)撥本題不僅應(yīng)用了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，而且應(yīng)用了切線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用兩性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.三角形的外心與內(nèi)心混淆。三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，而內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。2.直線和圓的位置關(guān)系與線段和圓的位置關(guān)系混淆。易混易錯(cuò)（一）證明某直線是圓的切線時(shí)，無(wú)論直線是否經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，都連接圓心與直線上的一點(diǎn)而致錯(cuò)易混易錯(cuò)（二）混淆線段和圓有一個(gè)公共點(diǎn)與直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律本講的內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查直線和圓的位置關(guān)系、切線的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓及切線長(zhǎng)定理等內(nèi)容，題型有選擇題、填空題和證明題、多為中、低檔題。中考試題（一）與切線有關(guān)的求解問(wèn)題中考試題（二）與切線有關(guān)的推理論證問(wèn)題中考試題（三）創(chuàng)新問(wèn)題的求解點(diǎn)撥本題是閱讀理解題，解答閱讀理解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題中提供的方法與信息進(jìn)行解題。第49講與圓有關(guān)的計(jì)算知能解答（一）正多邊形及有關(guān)概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心（如圖1-49-1所示）。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑（如圖所示）。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角（1-49-1所示）。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距（如圖1-49-1所示）。知能解讀（二）正多邊形的有關(guān)計(jì)算（1）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（2）正邊形的每個(gè)中心角都等于（3）正邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長(zhǎng)面積點(diǎn)撥（1）由正邊形的內(nèi)角與外角互補(bǔ)，正邊形的中心角等于外角，可得正邊形的內(nèi)角與中心角互補(bǔ)。（2）正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑，正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍，正方形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍。知能解讀（三）弧長(zhǎng)的計(jì)算（1）弧長(zhǎng)公式：（2）公式推導(dǎo)：在半徑為的圓中，因?yàn)榈膱A心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)，所以的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是即于是的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為注意（1）在弧長(zhǎng)公式中，表示的圓心角的倍數(shù)，不帶單位。例如圓的半徑，計(jì)算的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)時(shí)，不要錯(cuò)寫成（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知，中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。知能解讀（四）扇形面積的計(jì)算（1）扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫作扇形。（2）扇形的面積：為扇形所在圓的半徑，為扇形的弧長(zhǎng)。（3）公式推導(dǎo)：在半徑為的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角是的扇形面積是于是圓心角為的扇形面積是即其中為扇形的弧長(zhǎng)，為半徑。點(diǎn)撥（1）扇形面積公式與三角形的面積公式有些類似，只需把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長(zhǎng)看成底，半徑看成高即可。（2）在求扇形面積時(shí)，可根據(jù)已知條件來(lái)確定是使用公式還是（3）已知四個(gè)量中任意兩個(gè)，都可以求出另外兩個(gè)。（4）公式中的“”與弧長(zhǎng)公式中的“”的意義是一樣的，表示“”的圓心角的倍數(shù)，參與計(jì)算時(shí)不帶單位。知能獬讀（五）圓錐的側(cè)面積與全面積（1）圓錐的有關(guān)概念：圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍面的幾何體（如圖所示）。連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫作圓錐的母線，連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫作圓錐的高。圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，故圓錐的母線、高、底面半徑恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，滿足。已知任意兩個(gè)量，可以求出第三個(gè)量。 （2）圓錐的側(cè)面展開圖（如圖1-49-4所示）：沿著圓錐的母線可把圓錐的側(cè)面展開，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)。（3）圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面圓的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的母線長(zhǎng)的扇形面積，其計(jì)算公式為圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積之和，其計(jì)算公式為。方法技巧歸納方法技巧（一）正多邊形的有關(guān)計(jì)算的技巧在解決正多邊形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，通過(guò)作正邊形的半徑和連接圓心與邊的中點(diǎn)的線段，把正邊形分成個(gè)直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算。方法技巧（二）利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算的方法在弧長(zhǎng)公式中，已知中的任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量。方法技巧（三）利用扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算的方法已知扇形面積，弧長(zhǎng)圓心角，半徑中的任意兩個(gè)量，可求出另外的兩個(gè)量。在利用扇形面積公式時(shí)，要根據(jù)條件靈活選用合適的公式計(jì)算。方法技巧（四）圓錐的側(cè)面積、全面積的求法圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，因而其面積是一個(gè)扇形的面積，扇形的半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)。在解決有關(guān)圓錐的計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是理清立體圖形與平面展開圖的聯(lián)系與區(qū)別，特別是不要混淆底面圓的半徑和展開圖扇形的半徑。點(diǎn)撥此題中扇形的面積就是圓錐的側(cè)面積。方法技巧（五）求圓錐側(cè)面上兩點(diǎn)之間的最短距離在圓錐側(cè)面上求最短距離，先把圓錐側(cè)面展開為平面，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求解。點(diǎn)撥圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)。本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，利用勾股定理解決問(wèn)題。易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1.對(duì)弧長(zhǎng)或扇形面積公式中的理解錯(cuò)誤。2.混淆弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式。3.混淆圓錐的底面半徑和扇形的半徑。圓錐的底面半徑是扇形是以扇形的弧長(zhǎng)為周長(zhǎng)的圓的半徑，而扇形的半徑是扇形圍成的圓錐的母線。易混易錯(cuò)（一）對(duì)弧長(zhǎng)或扇形面積公式中的理解錯(cuò)誤易混易錯(cuò)（二）不能正確區(qū)分圓錐的側(cè)面展開圖的扇形半徑和圓錐底面半徑，導(dǎo)致錯(cuò)誤中考試題研究中考命題規(guī)律利用圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓的面積、扇形的面積計(jì)算公式解決相關(guān)的幾何計(jì)算和簡(jiǎn)單幾何組合圖形的計(jì)算是中考的必考內(nèi)容之一，常以填空題、選擇題及解答題的形式出現(xiàn)，難度適中。計(jì)算圓錐的側(cè)面積、表面積這一部分知識(shí)，常與實(shí)際生活相聯(lián)系，是中考的熱點(diǎn)之一，既考查學(xué)生掌握知識(shí)的情況，又考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。中考試題（一）直接運(yùn)用公式求解中考試題（二）求陰影部分的面積中考試題（三）圓的綜合運(yùn)用