中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第六章 二次根式

第六章 二次根式高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1二次根式有意義的條件2二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)3最簡(jiǎn)二次根式4二次根式的乘除法37分5二次根式的加減法6二次根式的混合運(yùn)算7二次根式的化簡(jiǎn)求值知能圖譜二次根式的有關(guān)概念二次根式二次根式的性質(zhì)二次根式的乘除二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算二次根式的乘法二次根式的除法二次根式的加減二次根式的混合運(yùn)算第13講 二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)知識(shí)能力解讀知能解讀 (一)二次根式一般地，形如的式子叫作二次根式，“”稱為二次根號(hào)其中叫作被開方數(shù)，為整式或分式，如，等注意：對(duì)定義的理解要注意三點(diǎn)：(1)從形式上看必須含有二次根號(hào)“”；(2)在二次根式中，被開方數(shù)必須滿足，且可以是一個(gè)數(shù)，也可以是含字母的代數(shù)式；(3)二次根式表示非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根(二)最簡(jiǎn)二次根式滿足下列兩個(gè)條件的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式化去根號(hào)內(nèi)的分母將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的步驟：如果根號(hào)內(nèi)的分母是一個(gè)平方數(shù)(式)，可直接利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，分子、分母分別開方；如果分母不能開得盡方，則被開方數(shù)中的分子、分母同乘個(gè)適當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)(式)，使分母成為一個(gè)平方數(shù)(式)，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì)(三)同類二次根式(拓展)幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式注意：(1)同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)，如和是同類二次根式，和也是同類二次根式(2)定義中強(qiáng)調(diào)在化成最簡(jiǎn)二次根式后，要滿足“兩相同”，即根指數(shù)是2，被開方數(shù)相同，這一定義的應(yīng)用很廣(3)幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同，如，等都是同類二次根式，判斷的關(guān)鍵是能熟練地化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式(四)二次根式的性質(zhì)(1)；(2)；(3)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；(4)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：注意：對(duì)性質(zhì)的理解和應(yīng)用注意以下幾點(diǎn)：1性質(zhì)的應(yīng)用：可把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成平方的形式，即可逆用如，故因式分解可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行，如也可以用平方運(yùn)算去掉根號(hào)2這一性質(zhì)的主要應(yīng)用：(1)正向應(yīng)用于二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算；(2)逆向應(yīng)用時(shí)可將根號(hào)外的非負(fù)因式移到根號(hào)內(nèi)，如3積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)是化簡(jiǎn)二次根式的重要依據(jù)(1)該表達(dá)式有兩個(gè)特點(diǎn)：這個(gè)性質(zhì)是針對(duì)算術(shù)平方根而言的；等式左邊是兩個(gè)非負(fù)數(shù)，的積的算術(shù)平方根，右邊是這兩個(gè)非負(fù)數(shù)，的算術(shù)平方根的積(2)對(duì)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)的理解：這個(gè)性質(zhì)是針對(duì)算術(shù)平方根而言的；等式左邊是兩個(gè)非負(fù)數(shù)(除數(shù)不為0)的商的算術(shù)平方根，右邊是被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根；在實(shí)際解題時(shí)，若不考慮，的正、負(fù)，得是錯(cuò)誤的，如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義方法技巧歸納方法技巧 (一)二次根式概念問題的解題方法1二次根式的識(shí)別方法2二次根式有意義的條件是(二)利用二次根式的性質(zhì)解決問題的方法1性質(zhì)與的應(yīng)用，正用該性質(zhì)，可以計(jì)算形如的式子，如，；逆用該性質(zhì)，可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成它的算術(shù)平方根的平方，如，用它可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)多項(xiàng)式分解因式在化簡(jiǎn)時(shí)，一定要明確被開方數(shù)的底數(shù)是非負(fù)數(shù)還是負(fù)數(shù)：若是非負(fù)數(shù)，則等于它本身，即；若是負(fù)數(shù)，則等于的相反數(shù)，即2性質(zhì)和的應(yīng)用(三)最簡(jiǎn)二次根式的識(shí)別方法判斷斷一個(gè)二次根式是否為最簡(jiǎn)二次根式的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：一是被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；二是被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式(四)用同類二次根式的概念解題(拓展)(五)二次根式中的化簡(jiǎn)技巧易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1與的異同 式子異同點(diǎn)不同點(diǎn)意義 表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方表示一個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平方根取值 是非負(fù)數(shù)是任意實(shí)數(shù)結(jié)果 相同點(diǎn)與本身都是非負(fù)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，2忽略積、商的算術(shù)平方根公式中被開方數(shù)應(yīng)滿足的條件中易忽略，的條件；中易忽略，的條件易混易錯(cuò) (一)二次根式的概念理解不透(二)不能正確運(yùn)用積、商的算術(shù)平方根公式中的條件中考試題研究中考命題規(guī)律本講的主要考點(diǎn)是二次根式的概念、最簡(jiǎn)二次根式的概念及用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)，題型以填空題、選擇題為主，近幾年中考出現(xiàn)了估算、規(guī)律探究等新題型中考試題 (一)二次根式有意義的條件(二)二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)(三)最簡(jiǎn)二次根式第14講 二次根式的運(yùn)算知識(shí)能力解讀知能解讀 (一)二次根式的乘法法則：說(shuō)明：(1)此法則是積的算術(shù)平方根性質(zhì)的逆用(2)此法則可推廣到多個(gè)二次根式相乘，即(二)二次根式的除法法則：此法則是逆用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)得到的如果，是負(fù)數(shù)，那么，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義如果，那么，無(wú)意義(三)二次根式的加減二次根式進(jìn)行加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并注意：(1)與整式的加減類似，二次根式的加減，就是化簡(jiǎn)后合并被開方數(shù)相同的二次根式合并時(shí)只將二次根式中的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變?nèi)?2)二次根式中的系數(shù)不能寫成帶分?jǐn)?shù)如，而不能寫成(3)二次根式的加法也滿足加法交換律和結(jié)合律(四)二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)二次根式或整式有理數(shù)(式)中的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法、乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用如：(1)型，可用分配律化簡(jiǎn)，即原式(2)，即用平方差公式(3)，即用完全平方公式(4)型(五)分母有理化(拓展點(diǎn))有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，如和；和互為有理化因式二次根式的除法可以用化去分母中根號(hào)的方法來(lái)進(jìn)行，這種化去分母中根號(hào)的變形叫作分母有理化分母有理化的依據(jù)是：分式的基本性質(zhì)分母有理化的方法是：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)注意：分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡(jiǎn)便為宜，如的有理化因式是，的有理化因式是方法技巧歸納方法技巧 (一)二次根式乘法的解題方法二次根式相乘就是把各因式的“系數(shù)”的積作為積的“系數(shù)”，各被開方數(shù)的積作為被開方數(shù)，根指數(shù)不變，計(jì)算結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或整式(二)二次根式除法的解題方法商的算術(shù)平方根的性質(zhì)反過來(lái)就是二次根式的除法法則，與二次根式的乘法法則類似，要求能正、反應(yīng)用公式化簡(jiǎn)二次根式1法則的直接應(yīng)用2分母有理化的方法(拓展)把分母中的根號(hào)化去的過程稱為分母有理化，具體做法：；也可以通過類比分式中的“約分”進(jìn)行分母有理化，如(三)二次根式加減的解題方法二次根式加減的實(shí)質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式一般步驟：(1)將每一個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；(2)找出其中的被開方數(shù)相同的二次根式，再合并(四)二次根式的混合運(yùn)算技巧二次根式混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算一樣，使用運(yùn)算律可使計(jì)算簡(jiǎn)便(五)二次根式化簡(jiǎn)求值的技巧在二次根式的化簡(jiǎn)求值過程中，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)將某些含有字母的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便(六)根號(hào)外因式移到根號(hào)內(nèi)的技巧二次根式的化簡(jiǎn)就是把被開方數(shù)中能開得盡方的因式，用它的算術(shù)平方根代替，移到根號(hào)外邊反過來(lái)，根號(hào)外的因式要移到根號(hào)內(nèi)，該因式必須是非負(fù)因式，平方后移到根號(hào)內(nèi)即可若根號(hào)外的因式是負(fù)數(shù)或負(fù)因式，則變形為正數(shù)或正因式后再移動(dòng)易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)1忽視公式、法則成立的條件例如在中忽視，在中忽視，在化簡(jiǎn)時(shí)，分子、分母都乘，忽視了的可能情況，而出現(xiàn)的錯(cuò)誤解法正解解法應(yīng)該是：2因式內(nèi)移時(shí)，符號(hào)出錯(cuò)如把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，應(yīng)考慮本身的正負(fù)性，由知，故根號(hào)外的不能直接移到根號(hào)內(nèi)，即當(dāng)把個(gè)負(fù)數(shù)移入根號(hào)內(nèi)時(shí)，要把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外，把它的絕對(duì)值的平方移入根號(hào)內(nèi)，防止出現(xiàn)類似“”的錯(cuò)誤3做二次根式的加法時(shí)，不能合并的合并了如出現(xiàn)類似“”的錯(cuò)誤易混易錯(cuò) 不能運(yùn)用運(yùn)算律的，錯(cuò)用運(yùn)算律中考試題研究中考命題規(guī)律本講在中考中重點(diǎn)考查二次根式的計(jì)算、化簡(jiǎn)與求值，題型有填空題、選擇題、解答題，還常與分式、一元二次方程、函數(shù)結(jié)合出綜合題，近幾年規(guī)律探究題的考查呈上升趨勢(shì)，應(yīng)予以關(guān)注中考試題 (一)二次根式的運(yùn)算(二)二次根式的化簡(jiǎn)求值