山東省臨沂市2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合運用課件.ppt

第七節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點一線段、周長問題例1(2017東營中考)如圖，直線yx分別與x軸、y軸交于B，C兩點，點A在x軸上，ACB90，拋物線yax2bx經(jīng)過A，B兩點,(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MHBC于點H，作MDy軸交BC于點D，求DMH周長的最大值,【分析】(1)由直線解析式可求得B，C坐標(biāo)，再利用相似三角形可求得OA，從而可求出A點坐標(biāo)；(2)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)根據(jù)題意可推出當(dāng)MD取得最大值時，DMH的周長最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值,【自主解答】(1)直線yx分別與x軸、y軸交于B，C兩點，點B的坐標(biāo)為(3，0)，點C的坐標(biāo)為(0，)ACOBCO90，ACOCAO90，CAOBCO.AOCCOB90，AOCCOB，點A的坐標(biāo)為(1，0),(2)拋物線yax2bx經(jīng)過A，B兩點，拋物線的解析式為y,(3)由題意知，DMH為直角三角形，且M30，當(dāng)MD取得最大值時，DMH的周長最大,1(2014臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點A(1，0)和點B(1，0)，直線y2x1與y軸交于點C，與拋物線交于點C，D.(1)求拋物線的解析式；(2)求點A到直線CD的距離；,(3)平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當(dāng)以G，P，Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標(biāo),解：(1)直線y2x1，當(dāng)x0時，y1，則點C坐標(biāo)為(0，1)設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc.點A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)在拋物線上，拋物線的解析式為yx21.,(2)直線y2x1，當(dāng)y0時，x.如圖，過點A作AFCD于點F.設(shè)直線CD交x軸于點E，則E(，0),在RtOCE中，OC1，OE，由勾股定理得CE.設(shè)OEC，則sin，cos.則AFAEsin(OAOE)sin(1)，點A到直線CD的距離為.,(3)平移后拋物線的頂點P在直線y2x1上，設(shè)P(t，2t1)，則平移后拋物線的解析式為y(xt)22t1.聯(lián)立化簡得x2(2t2)xt22t0，解得x1t，x2t2，即點P，Q的橫坐標(biāo)相差2，PQ,GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：,若點P為直角頂點，如圖1，則PGPQ2.CGOGCGOC1019，G(0，9),若點Q為直角頂點，如圖2，則QGPQ2.同理可得G(0，9)若點G為直角頂點，如圖3，分別過點P，Q作y軸的垂線，垂足分別為點M，N.此時PQ2，則GPGQ.易證RtPMGRtGNQ，,GNPM，GMQN.在RtQNG中，由勾股定理得GN2QN2GQ2，即PM2QN210.點P，Q橫坐標(biāo)相差2，NQPM2，PM2(PM2)210，解得PM1，NQ3.直線y2x1，當(dāng)x1時，y1，,P(1，1)，即OM1，OGOMGMOMNQ134，G(0，4)綜上所述，符合條件的點G有兩個，其坐標(biāo)為(0，4)或(0，9),考點二圖形面積問題例2(2015臨沂中考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，直線y2x1與y軸交于點A，與直線yx交于點B，點B關(guān)于原點的對稱點為C.(1)求過A，B，C三點的拋物線的解析式；(2)P為拋物線上一點，它關(guān)于原點的對稱點為Q.,當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(biāo)；若點P的橫坐標(biāo)為t(1<t<1)，當(dāng)t為何值時，四邊形PBQC面積最大，并說明理由,【分析】(1)聯(lián)立兩直線解析式可求得B點坐標(biāo)，由關(guān)于原點對稱可求得C點坐標(biāo)，由直線y2x1可求得A點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，可知PQBC，則可求得直線PQ的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)；過點P作PDy軸，交直線yx于點D，分別過點B，C作BEPD，CFPD，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)D(t，t)，則可用t表示出S四邊形PBQC，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值即可,【自主解答】(1)解方程組點B的坐標(biāo)為(1，1)點C和點B關(guān)于原點對稱，點C的坐標(biāo)為(1，1)又點A是直線y2x1與y軸的交點，點A的坐標(biāo)為(0，1),設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc，拋物線的解析式為yx2x1.,(2)如圖，,點P在拋物線上，可設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，m2m1)當(dāng)四邊形PBQC是菱形時，O為菱形的中心，PQBC，即點P，Q在直線yx上，mm2m1，解得m1.點P的坐標(biāo)為(1，1)或(1，1),如圖，設(shè)點P的坐標(biāo)為(t，t2t1)過點P作PDy軸，交直線yx于點D，分別過點B，C作BEPD，CFPD，垂足分別為E，F(xiàn).,則D(t，t)PDt(t2t1)t21，BECF2，SPBCPDBEPDCFPD(BECF)(t21)2t21，S四邊形PBQC2t22，當(dāng)t0時，S四邊形PBQC有最大值2.,2(2018遂寧中考)如圖，已知拋物線yax2x4的對稱軸是直線x3，且與x軸相交于A，B兩點(B點在A點右側(cè))，與y軸交于C點(1)求拋物線的解析式和A，B兩點的坐標(biāo)；(2)若點P是拋物線上B，C兩點之間的一個動點(不與B，C重合)，則是否存在一點P，使PBC的面積最大若存在，請求出PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；,(3)若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當(dāng)MN3時，求M點的坐標(biāo),解：(1)拋物線yax2x4的對稱軸是直線x3，3，解得a，拋物線的解析式為yx2x4.當(dāng)y0時，x2x40，解得x12，x28，點A的坐標(biāo)為(2，0)，點B的坐標(biāo)為(8，0),(2)當(dāng)x0時，yx2x44，點C的坐標(biāo)為(0，4)設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0)將B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得直線BC的解析式為yx4.,假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，x2x4)如圖，過點P作PDy軸，交直線BC于點D，,則點D的坐標(biāo)為(x，x4)，PDx2x4(x4)x22x，SPBCPDOB8(x22x)x28x(x4)216.10，當(dāng)x4時，PBC的面積最大，最大面積是16.0x8，存在點P，使PBC的面積最大，最大面積是16.,(3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m，m2m4)，則點N的坐標(biāo)為(m，m4)，MN|m2m4(m4)|m22m|.又MN3，|m22m|3.當(dāng)0m8時，有m22m30，解得m12，m26，,點M的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4)當(dāng)m0或m8時，有m22m30，解得m342，m442，點M的坐標(biāo)為(42，1)或(42，1)綜上所述，M點的坐標(biāo)為(42，1)，(2，6)，(6，4)或(42，1),考點三動點、存在點問題例3(2016臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y2x10與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)是(8，4)連接AC，BC.(1)求過O，A，C三點的拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；,(2)動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動設(shè)運動時間為ts，當(dāng)t為何值時，PAQA;,(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由,【分析】(1)先確定出點A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，用勾股定理的逆定理判斷出ABC是直角三角形；(2)設(shè)運動時間為ts時，OP2t，CQ10t，在RtAOP和RtACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PAQA求得t的值即可；(3)分三種情況，用平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點間的距離公式計算即可,【自主解答】(1)在直線y2x10上，令y0得x5，令x0得y10，即A(5，0)，B(0，10)點A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在拋物線yax2bxc上，,拋物線的解析式為yx2x.AC2(85)24225，BC282(104)2100，AB252102125，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形,(2)設(shè)運動時間為ts時，OP2t，BQt，則CQ10t.當(dāng)點P運動到端點時，t5，當(dāng)t5時，BQ510，t的取值范圍是0t5.在RtAOP和RtACQ中，PA2OA2OP2254t2，,QA2QC2AC225(10t)2t220t125.PAQA，PA2QA2，即t220t125254t2，解得t110(舍去)，t2，即運動時間為s時，PAQA.,(3)拋物線與x軸交于O(0，0)，A(5，0)兩點，對稱軸為x.設(shè)存在點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)M(，y)，AM2(5)2y2y2，BM2()2(10y)2y220y100.,當(dāng)AMAB時，則AM2AB2，即y2125，解得y1，y2，此時點M的坐標(biāo)為(，)或(，),當(dāng)BMAB時，則BM2AB2，即y220y100125.解得y110，y210，此時點M的坐標(biāo)為(，10)或(，10),當(dāng)AMBM時，則AM2BM2，即y2y220y100，解得y5，此時點M的坐標(biāo)為(，5)，恰好是點AB的中點，不能構(gòu)成三角形，故舍去綜上所述，存在點M使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形，此時點M的坐標(biāo)為,3(2018臨沂中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，點B的坐標(biāo)為(1，0)，拋物線yx2bxc經(jīng)過A，B兩點(1)求拋物線的解析式；(2)點P是直線AB上方拋物線上的一點過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PEDE.,求點P的坐標(biāo)；在直線PD上是否存在點M，使ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標(biāo)；若不存在請說明理由,解：(1)在RtABC中，由點B的坐標(biāo)可知OB1.OC2OB，OC2，則BC3.又tanABC2，AC2BC6，則點A的坐標(biāo)為(2，6)把點A，B的坐標(biāo)代入拋物線yx2bxc中得該拋物線的解析式為yx23x4.,(2)由點A(2，6)和點B(1，0)的坐標(biāo)易得直線AB的解析式為y2x2.,如圖，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，m23m4)，則點E的坐標(biāo)為(m，2m2)，點D的坐標(biāo)為(m，0)，則PEm2m2，DE2m2.由PEDE得m2m2(2m2)，解得m1.又2m1，m1，點P的坐標(biāo)為(1，6),M在直線PD上，且P(1，6)，設(shè)M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三種情況：()當(dāng)AMB90時，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3，M(1，3)或(1，3)；,()當(dāng)ABM90時，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()當(dāng)BAM90時，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y，M(1，),綜上所述，點M的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，),考點四二次函數(shù)綜合題百變例題(2018濟寧中考)如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)(1)求該拋物線的解析式；(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標(biāo)；,(3)若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由,【分析】(1)已知A，B兩點坐標(biāo)，可得ya(x3)(x1)，再將點C坐標(biāo)代入即可解得；(2)過點A作AMBC，利用全等三角形求出點N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，同理可求出直線BC的解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；(3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可,【自主解答】(1)拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又拋物線經(jīng)過點C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，拋物線的解析式為y(x3)(x1)，即yx22x3.,(2)如圖，過點A作AMBC，垂足為點M，AM交y軸于點N，,BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.,又BAMBCO，BOCAON90，AONCOB，ONOB1，N(0，1),設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為ykxb，把A(3，0)，N(0，1)代入得直線AM的函數(shù)解析式為yx1.同理可求直線BC的函數(shù)解析式為y3x3.解方程組得切點M的坐標(biāo)為,(3)存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形設(shè)Q(t，0)，P(m，m22m3)分兩種情況考慮：當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時，由B(1，0)，C(0，3)，根據(jù)平移規(guī)律得1m0t，0(m22m3)30，解得m1.,當(dāng)m1時，m22m3822233，即P(1，3)；當(dāng)m1時，m22m3822233，即P(1，3)當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時，由B(1，0)，C(0，3)，根據(jù)平移規(guī)律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.,當(dāng)m0時，P(0，3)(舍去)；當(dāng)m2時，P(2，3)綜上所述，存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標(biāo)為(1，3)或(1，3)或(2，3),變式1：若點D是拋物線的頂點，求ACD面積與ABC面積的比解：如圖，連接AC，AD，CD，作DLx軸于點L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC(34)124333，SABCABOC436，SACDSABC3612.,變式2：若E是x軸上一個動點，過E作射線EFBC交拋物線于點F，隨著E點的運動，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以B，E，F(xiàn)，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由,解：存在理由如下：,如圖，當(dāng)點F在x軸下方時，作FRx軸于點R.四邊形BCFE為平行四邊形，EF綊BC，ERFBOC，RFOC3，3x22x3，解得x2或x0(與C點重合，舍去)，F(xiàn)(2，3),如圖，當(dāng)F在x軸上方時，作FSx軸于點S.,四邊形BCEF為平行四邊形，EF綊BC，EFSBCO，F(xiàn)SOC3，3x22x3，解得x11，x21.綜上所述，F(xiàn)點為(2，3)或(1，3)或(1，3),變式3：如圖，若點G是線段AC上的點(不與A，C重合)，過G作GHy軸交拋物線于H，若點G的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示GH的長,解：設(shè)直線AC的解析式為ykx3，則有03k3，解得k1，故直線AC的解析式為yx3.已知點G的橫坐標(biāo)為m，則G(m，m3)，H(m，m22m3)，GHm3(m22m3)m23m(0<m<3),變式4：若對稱軸是直線l，在對稱軸l上是否存在點W，使WBC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點W的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由,解：存在點W的坐標(biāo)為(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1)提示：設(shè)對稱軸上的點W為(1，m)，BC，WBWCWBC為等腰三角形：當(dāng)BCWC時，,解得m0(m6時，W，B，C三點共線，舍去)；當(dāng)WBWC時，解得m1；當(dāng)BCWB時，解得m.綜上所述，點W的坐標(biāo)為(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1),