高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第27練 直線與圓 文

第27練直線與圓題型分析高考展望直線與圓是解析幾何的基礎，在高考中，除對本部分知識單獨考查外，更多是在與圓錐曲線結合的綜合題中對相關知識進行考查單獨考查時，一般為選擇題、填空題，難度不大，屬低中檔題直線的方程，圓的方程的求法及位置關系的判斷與應用是本部分的重點體驗高考1(2015廣東)平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析設所求直線方程為2xyc0，依題意有，解得c5，所以所求直線方程為2xy50或2xy50，故選A.2(2015課標全國)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|等于()A2B8C4D10答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，選C.3(2016課標全國甲)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a等于()ABC.D2答案A解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標為(1,4)，由點到直線的距離公式得d1，解之得a.4(2016上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy10，則l1，l2的距離為_答案解析d.5(2016課標全國丙)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|2，則|CD|_.答案4解析設AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y(x3)，BD的直線方程為y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.高考必會題型題型一直線方程的求法與應用例1(1)若點P(1,1)為圓(x3)2y29的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10(2)直線l過點(2,2)，且點(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40答案(1)D(2)C解析(1)由題意知圓心C(3,0)，kCP.由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直線的方程是2xy10.(2)由已知，設直線l的方程為y2k(x2)，即kxy22k0，所以，解得k3，所以直線l的方程為3xy40，故選C.點評(1)兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定兩直線平行與垂直的關系時，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況(2)求直線方程的常用方法直接法：直接選用恰當?shù)闹本€方程的形式，寫出結果；待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個條件設出直線方程，使方程中含有一個待定系數(shù)，再由題給的另一條件求出待定系數(shù)變式訓練1已知直線l經(jīng)過直線3x4y20與直線2xy20的交點P，且垂直于直線x2y10.(1)求直線l的方程；(2)求直線l關于原點O對稱的直線方程解(1)由解得所以點P的坐標是(2,2)，又因為直線x2y10，即yx的斜率為k，由直線l與x2y10垂直可得kl2，故直線l的方程為：y22(x2)，即2xy20.(2)直線l的方程2xy20在x軸、y軸上的截距分別是1與2，則直線l關于原點對稱的直線在x軸、y軸上的截距分別是1與2，所求直線方程為1，即2xy20.題型二圓的方程例2(1)(2015湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|2.圓C的標準方程為_圓C在點B處的切線在x軸上的截距為_答案(x1)2(y)221解析由題意，設圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)，則r22122，解得r.所以圓C的方程為(x1)2(y)22.方法一令x0，得y1，所以點B(0, 1)又點C(1, )，所以直線BC的斜率為kBC1，所以過點B的切線方程為y(1)x0，即yx(1)令y0，得切線在x軸上的截距為1.方法二令x0，得y1，所以點B(0，1)又點C(1，)，設過點B的切線方程為y(1)kx，即kxy(1)0.由題意，得圓心C(1，)到直線kxy(1)0的距離dr，解得k1.故切線方程為xy(1)0.令y0，得切線在x軸上的截距為1.(2)已知圓C經(jīng)過點A(2，1)，并且圓心在直線l1：y2x上，且該圓與直線l2：yx1相切求圓C的方程；求以圓C內(nèi)一點B為中點的弦所在直線l3的方程解設圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，則解得故圓C的方程為(x1)2(y2)22.由知圓心C的坐標為(1，2)，則kCB.設直線l3的斜率為k3，由k3kCB1，可得k32.故直線l3的方程為y2(x2)，即4x2y130.點評求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)變式訓練2已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設PQ的中點為N(x，y)，連接BN.在RtPBQ中，|PN|BN|.設O為坐標原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.題型三直線與圓的位置關系、弦長問題例3(1)(2015重慶)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，過點A(4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|等于()A2 B4C6 D2答案C解析根據(jù)直線與圓的位置關系求解由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，圓心C(2,1)在直線xay10上，2a10，a1，A(4，1)|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.(2)已知圓C：x2y22x4y40.寫出圓C的標準方程，并指出圓心坐標和半徑大?。皇欠翊嬖谛甭蕿?的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且OAOB(O為坐標原點)若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由解(1)圓C的標準方程為(x1)2(y2)29，則圓心C的坐標為(1，2)，半徑為3.(2)假設存在這樣的直線m，根據(jù)題意可設直線m：yxb.聯(lián)立直線與圓的方程得2x22(b1)xb24b40，因為直線與圓相交，所以>0，即b26b9<0，且滿足x1x2b1，x1x2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1x1b，y2x2b，由OAOB得x1x2y1y20，所以x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20，即b23b40得b4或b1，且均滿足b26b9<0，故所求的直線m存在，方程為yx4或yx1.點評研究直線與圓位置關系的方法(1)研究直線與圓的位置關系的最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題(2)與弦長有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長，構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理變式訓練3已知以點C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設直線y2x4與圓C交于點M，N，若|OM|ON|，求圓C的方程(1)證明圓C過原點O，且|OC|2t2.圓C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面積為定值(2)解|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，|OC|，此時C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，|OC|，此時C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，t2不符合題意，舍去圓C的方程為(x2)2(y1)25.高考題型精練1已知x，y滿足x2y50，則(x1)2(y1)2的最小值為()A.B.C.D.答案A解析(x1)2(y1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方由已知可得點P在直線l：x2y50上，所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值為d2.故選A.2“m3”是“直線l1：2(m1)x(m3)y75m0與直線l2：(m3)x2y50垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由l1l2得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要條件3若動點A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A3B2C3D4答案A解析依題意知AB的中點M的集合是與直線l1：xy70和l2：xy50的距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，設點M所在直線的方程為l：xym0，根據(jù)平行線間的距離公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根據(jù)點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為3.4(2016山東)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是()A內(nèi)切B相交C外切D相離答案B解析圓M：x2(ya)2a2，圓心坐標為M(0，a)，半徑r1a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圓N的圓心坐標N(1,1)，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，故選B.5已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2) D，2)答案C解析當|時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中|OA|OB|，AOB120，從而圓心O到直線xyk0(k>0)的距離為1，此時k；當k>時，|>|，又直線與圓x2y24存在兩交點，故k<2，綜上，k的取值范圍是，2)，故選C.6(2015課標全國)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.B.C.D.答案B解析由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x1，由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為y，聯(lián)立，解得ABC外接圓的圓心坐標為，其到原點的距離為.故選B.7(2016山東)在1,1上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_答案解析由已知得，圓心(5,0)到直線ykx的距離小于半徑，<3，解得<k<，由幾何概型得P.8在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_答案解析圓C的標準方程為(x4)2y21，圓心為(4,0)由題意知(4,0)到kxy20的距離應不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.9在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y24上有且僅有三個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的值為_答案13解析因為圓心到直線12x5yc0的距離為，所以由題意得1，c13.10已知直線l過點(2,0)，當直線l與圓x2y22x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是_答案(，)解析因為已知直線過點(2,0)，那么圓的方程x2y22x配方為(x1)2y21，表示的是圓心為(1,0)，半徑為1的圓，設過點(2,0)的直線的斜率為k，則直線方程為yk(x2)，則點到直線距離等于圓的半徑1，有d1，化簡得8k21，所以k，然后可知此時有一個交點，那么當滿足題意的時候，可知斜率的取值范圍是(，)，故答案為(，)11已知過點A(0,1)，且方向向量為a(1，k)的直線l與圓C：(x2)2(y3)21相交于M，N兩點(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若O為坐標原點，且12，求k的值解(1)直線l過點A(0,1)且方向向量為a(1，k)，直線l的方程為ykx1.由1，得k.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，4，解得k1.12已知圓Mx2(y2)21，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(1)若Q(1,0)，求切線QA，QB的方程；(2)求四邊形QAMB面積的最小值；(3)若|AB|，求直線MQ的方程解(1)設過點Q的圓M的切線方程為xmy1，則圓心M到切線的距離為1，1，m或0，切線QA，QB的方程分別為3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四邊形MAQB|MA|QA|QA|.四邊形QAMB面積的最小值為.(3)設AB與MQ交于點P，則MPAB.MBBQ，|MP|.在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，|MQ|3.設Q(x,0)，則x2229，x，Q(，0)，直線MQ的方程為2xy20或2xy20.