高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問題

2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”【知識(shí)梳理】構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，屬于難題二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題?！净A(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A BC D變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)文數(shù)】設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)【例3】設(shè)函數(shù)(其中).() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1設(shè)函數(shù)滿足，則時(shí)，（ ）A有極大值，無極小值 B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值2設(shè)函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明3 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； ()證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”（學(xué)生版，后附教師版）【知識(shí)梳理】構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，常可使問題變得明了，屬于難題二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)【例1】【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A BC D【答案】A解析：記函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且.當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A.變式訓(xùn)練1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，選項(xiàng)A,B無法判斷，故選C考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例2】【2015高考福建，文22】已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有【答案】() ；（）詳見解析；（）【解析】（I），由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（II）令，則有當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意當(dāng)時(shí)，令，則有由得，解得，當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即，綜上，的取值范圍是變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)文數(shù)】設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.解析：（）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，令，解?當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減. （）由（）知，在處取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，即. （）由題設(shè)，設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.由（）知，故，又，故當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，. 考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)【例3】設(shè)函數(shù)(其中).() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.解析：() 當(dāng)時(shí), , 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.() ,令,得,令,則,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以，令,則,令,則，所以在上遞減,而，所以存在使得,且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)?.所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.綜上,函數(shù)在上的最大值.【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。變式訓(xùn)練3.（2012年全國卷）設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值解 （1）的定義域?yàn)椋?，則，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由于，所以故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令，則，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增而，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值為又由，可得，所以由于式等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2變式訓(xùn)練4.（2014年山東卷）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點(diǎn)，故因?yàn)?，記若函?shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)，在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞減函數(shù)，在內(nèi)成立，為單調(diào)遞增函數(shù)所以函數(shù)的最小值為若在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得綜上，在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1設(shè)函數(shù)滿足，則時(shí)，（ ）A有極大值，無極小值 B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值解析：由題意,令,則,且，因此令，則，所以時(shí)，；時(shí)，從而有，即，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，既無極大值也無極小值答案D2設(shè)函數(shù)，其中（1）當(dāng)時(shí)，證明不等式；（2）設(shè)的最小值為，證明證明：（1）設(shè)，則 當(dāng) 時(shí)，在上是增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，即所以成立同理可證所以（2）由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增所以的最小值，將代入，得，即.所以，即3 已知函數(shù)，證明: 當(dāng)且時(shí)解析: 設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則 當(dāng)時(shí)可得，而，故當(dāng) 時(shí)，遞減 所以得 當(dāng) 時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，遞減 所以，可得綜上， 當(dāng)且時(shí)4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； ()證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域解析：（）的定義域?yàn)?且僅當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以（II） 由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增所以，由得因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當(dāng)時(shí)，有，的值域是