高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 導(dǎo)數(shù)與積分 第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”問題
2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第8講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”【知識(shí)梳理】構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法,解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題,設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù),并確定變量的限制條件,通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題,??墒箚栴}變得明了,屬于難題二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解,尤其是超越方程,使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題?!净A(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)【例1】【2015高考新課標(biāo)2,理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),則使得成立的的取值范圍是( )A BC D變式訓(xùn)練1.【2015高考福建,理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ,其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是( )A B C D 考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例2】【2015高考福建,文22】已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;()證明:當(dāng)時(shí),;()確定實(shí)數(shù)的所有可能取值,使得存在,當(dāng)時(shí),恒有變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)文數(shù)】設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)時(shí),;(3)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)【例3】設(shè)函數(shù)(其中).() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解,尤其是超越方程,使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。變式訓(xùn)練3.(2012年全國卷)設(shè)函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,為整數(shù),且當(dāng)時(shí),求的最大值變式訓(xùn)練4.(2014年山東卷)設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1設(shè)函數(shù)滿足,則時(shí),( )A有極大值,無極小值 B有極小值,無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值2設(shè)函數(shù),其中(1)當(dāng)時(shí),證明不等式;(2)設(shè)的最小值為,證明3 已知函數(shù),證明: 當(dāng)且時(shí)4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時(shí),; ()證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破導(dǎo)數(shù)與積分第1講 構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)與“二次求導(dǎo)”(學(xué)生版,后附教師版)【知識(shí)梳理】構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法,解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題,設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù),并確定變量的限制條件,通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題,常可使問題變得明了,屬于難題二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解,尤其是超越方程,使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】考點(diǎn)1.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)【例1】【2015高考新課標(biāo)2,理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),則使得成立的的取值范圍是( )A BC D【答案】A解析:記函數(shù),則,因?yàn)楫?dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減;又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),故函數(shù)是偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞減,且.當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,綜上所述,使得成立的的取值范圍是,故選A.變式訓(xùn)練1.【2015高考福建,理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ,其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是( )A B C D 【答案】C【解析】由已知條件,構(gòu)造函數(shù),則,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,故,所以,所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D無法判斷;構(gòu)造函數(shù),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以,即,選項(xiàng)A,B無法判斷,故選C考點(diǎn)2.利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例2】【2015高考福建,文22】已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;()證明:當(dāng)時(shí),;()確定實(shí)數(shù)的所有可能取值,使得存在,當(dāng)時(shí),恒有【答案】() ;()詳見解析;()【解析】(I),由得解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是(II)令,則有當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),(III)由(II)知,當(dāng)時(shí),不存在滿足題意當(dāng)時(shí),對(duì)于,有,則,從而不存在滿足題意當(dāng)時(shí),令,則有由得,解得,當(dāng)時(shí),故在內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí),即,綜上,的取值范圍是變式訓(xùn)練2.【2016高考新課標(biāo)文數(shù)】設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)時(shí),;(3)設(shè),證明當(dāng)時(shí),.解析:()由題設(shè),的定義域?yàn)?,令,解?當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減. ()由()知,在處取得最大值,最大值為,所以當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),即. ()由題設(shè),設(shè),則,令,解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.由()知,故,又,故當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),. 考點(diǎn)3.構(gòu)造函數(shù)與二次求導(dǎo)【例3】設(shè)函數(shù)(其中).() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.解析:() 當(dāng)時(shí), , 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.() ,令,得,令,則,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以,令,則,令,則,所以在上遞減,而,所以存在使得,且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因?yàn)?.所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.綜上,函數(shù)在上的最大值.【歸納總結(jié)】二次求導(dǎo)的原因是導(dǎo)函數(shù)無法用初等方程的求解,尤其是超越方程,使用二次求導(dǎo)可以化解很多一次求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)“求之不得”的問題。變式訓(xùn)練3.(2012年全國卷)設(shè)函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若,為整數(shù),且當(dāng)時(shí),求的最大值解 (1)的定義域?yàn)椋?,則,在上單調(diào)遞增;若,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)由于,所以故當(dāng)時(shí),等價(jià)于令,則,由(1)知函數(shù)在上單調(diào)遞增而,所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在內(nèi)的最小值為又由,可得,所以由于式等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為2變式訓(xùn)練4.(2014年山東卷)設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?,由可得,所以?dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由()知,時(shí),函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,即函數(shù)在在內(nèi)不存在極點(diǎn),故因?yàn)?,記若函?shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則有兩個(gè)零點(diǎn)因?yàn)?,?dāng)時(shí),在內(nèi)成立,為單調(diào)遞增函數(shù),在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí),在內(nèi)成立,為單調(diào)遞減函數(shù),在內(nèi)成立,為單調(diào)遞增函數(shù)所以函數(shù)的最小值為若在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng),解得綜上,在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),的取值范圍為【基礎(chǔ)練習(xí)鞏固】1設(shè)函數(shù)滿足,則時(shí),( )A有極大值,無極小值 B有極小值,無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值解析:由題意,令,則,且,因此令,則,所以時(shí),;時(shí),從而有,即,所以當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞增的,既無極大值也無極小值答案D2設(shè)函數(shù),其中(1)當(dāng)時(shí),證明不等式;(2)設(shè)的最小值為,證明證明:(1)設(shè),則 當(dāng) 時(shí),在上是增函數(shù)所以當(dāng)時(shí),即所以成立同理可證所以(2)由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?,且,令,得?dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增所以的最小值,將代入,得,即.所以,即3 已知函數(shù),證明: 當(dāng)且時(shí)解析: 設(shè),構(gòu)造函數(shù),則 當(dāng)時(shí)可得,而,故當(dāng) 時(shí),遞減 所以得 當(dāng) 時(shí),而,故當(dāng)時(shí),遞減 所以,可得綜上, 當(dāng)且時(shí)4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】()討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時(shí),; ()證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域解析:()的定義域?yàn)?且僅當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞增,因此當(dāng)時(shí),所以(II) 由(I)知,單調(diào)遞增,對(duì)任意因此,存在唯一使得即,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.因此在處取得最小值,最小值為于是,由單調(diào)遞增所以,由得因?yàn)閱握{(diào)遞增,對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上,當(dāng)時(shí),有,的值域是