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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第31練 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 文

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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第31練 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 文

第31練直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題題型分析高考展望本部分重點(diǎn)考查直線和圓錐曲線的綜合性問(wèn)題,從近幾年的高考試題來(lái)看,除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外,在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問(wèn)題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來(lái)本部分的主要特點(diǎn)是運(yùn)算量大、思維難度較高,但有時(shí)靈活地借助幾何性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題可能會(huì)收到事半功倍的效果預(yù)測(cè)在今后高考中,主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題,有時(shí)會(huì)與向量的共線、模和數(shù)量積等聯(lián)系起來(lái);對(duì)于方程的求解,不要忽視軌跡的求解形式,后面的設(shè)問(wèn)將是對(duì)最值、定值、定點(diǎn)、參數(shù)范圍的考查,探索類和存在性問(wèn)題考查的概率也很高體驗(yàn)高考1.(2015江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓1(ab0)的離心率為,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若|PC|2|AB|,求直線AB的方程解(1)由題意,得且c3,解得a,c1,則b1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時(shí),AB,又CP3,不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2),將AB的方程代入橢圓方程,得(12k2)x24k2x2(k21)0,則x1,2,C的坐標(biāo)為,且AB.若k0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意從而k0,故直線PC的方程為y,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而PC.因?yàn)閨PC|2|AB|,所以,解得k1.此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.2(2016浙江)如圖,設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.(1)求p的值;(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B,過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N,AN與x軸交于點(diǎn)M,求M的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意可得,拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x1的距離,由拋物線的定義得1,即p2.(2)由(1)得,拋物線方程為y24x,F(xiàn)(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t0,t1.因?yàn)锳F不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:xsy1(s0),由消去x得y24sy40.故y1y24,所以B.又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為,從而得直線FN:y(x1),直線BN:y.所以N.設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得,于是m,所以m0或m2.經(jīng)檢驗(yàn),m0或m2滿足題意綜上,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(,0)(2,)3(2016四川)已知橢圓E:1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓E上(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:|MA|MB|MC|MD|.(1)解由已知,得a2b,又橢圓1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P,故1,解得b21.所以橢圓E的方程是y21.(2)證明設(shè)直線l的方程為yxm(m0),A(x1,y1),B(x2,y2)由方程組得x22mx2m220,方程的判別式為4m24(2m22),由>0,即2m2>0,解得<m<.由得x1x22m,x1x22m22.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為,直線OM方程為yx,由方程組得C,D.所以|MC|MD|(m)(m)(2m2)又|MA|MB|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)24x1x24m24(2m22)(2m2)所以|MA|MB|MC|MD|.高考必會(huì)題型題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用例1設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為1(b>0),其離心率為.(1)求橢圓M的方程;(2)若直線l過(guò)點(diǎn)P(0,4),則直線l何時(shí)與橢圓M相交?解(1)因?yàn)闄E圓M的離心率為,所以2,得b22.所以橢圓M的方程為1.(2)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l垂直于x軸時(shí),直線l與橢圓M相交過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線l的方程為ykx4.由消去y,得(12k2)x216kx280.因?yàn)橹本€l與橢圓M相交,所以(16k)24(12k2)2816(2k27)>0,解得k<或k>.綜上,當(dāng)直線l垂直于x軸或直線l的斜率的取值范圍為時(shí),直線l與橢圓M相交點(diǎn)評(píng)對(duì)于求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,一是利用方程的根的判別式來(lái)確定,但一定要注意,利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為零;二是利用圖形來(lái)處理和理解;三是直線過(guò)定點(diǎn)位置不同,導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同變式訓(xùn)練1(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|2|MA|,直線OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程解(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,又kOM,從而,進(jìn)而得ab,c2b,故e.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上,且kNSkAB1,從而有解得b3.所以a3,故橢圓E的方程為1.題型二直線與圓錐曲線的弦的問(wèn)題例2已知橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0),過(guò)點(diǎn)E(,0)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),且F1AF2B,|F1A|2|F2B|.(1)求橢圓的離心率;(2)求直線AB的斜率解(1)由F1AF2B,且|F1A|2|F2B|,得,從而,整理,得a23c2,故離心率e.(2)由(1)得b2a2c22c2,所以橢圓的方程可寫為2x23y26c2,設(shè)直線AB的方程為yk(x),即yk(x3c)由已知設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理,得(23k2)x218k2cx27k2c26c20,依題意,48c2(13k2)>0,得<k<,(*)而x1x2,x1x2,由題設(shè)知,點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn),所以x13c2x2,聯(lián)立解得x1,x2,將x1,x2代入中,解得k滿足(*)式,故所求k的值是.點(diǎn)評(píng)直線與圓錐曲線弦的問(wèn)題包括求弦的方程,弦長(zhǎng),弦的位置確定,弦中點(diǎn)坐標(biāo)軌跡等問(wèn)題,解決這些問(wèn)題的總體思路是設(shè)相關(guān)量,找等量關(guān)系,利用幾何性質(zhì)列方程(組),不等式(組)或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,使問(wèn)題解決變式訓(xùn)練2設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),過(guò)F1且斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列(1)求橢圓E的離心率;(2)設(shè)點(diǎn)P(0,1)滿足|PA|PB|,求橢圓E的方程解(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|a,l的方程為yxc,其中c.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y,化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0,則x1x2,x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以|AB|x2x1|,即a,故a22b2,所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),由(1)知x0,y0x0c.由|PA|PB|,得kPN1,即1,得c3,從而a3,b3.故橢圓E的方程為1.高考題型精練1(2015北京)已知橢圓C:x23y23,過(guò)點(diǎn)D(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線AE與直線x3交于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的離心率;(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由解(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21,所以a,b1,c.所以橢圓C的離心率e.(2)因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸,所以可設(shè)A(1,y1),B(1,y1),直線AE的方程為y1(1y1)(x2),令x3,得M(3,2y1),所以直線BM的斜率kBM1.(3)直線BM與直線DE平行,證明如下:當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),由(2)可知kBM1.又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE1,所以BMDE,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為yk(x1)(k1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AE的方程為y1(x2)令x3,得點(diǎn)M,由得(13k2)x26k2x3k230,所以x1x2,x1x2,直線BM的斜率kBM,因?yàn)閗BM10,所以kBM1kDE.所以BMDE,綜上可知,直線BM與直線DE平行2(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知A是橢圓E:1的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.(1)當(dāng)|AM|AN|時(shí),求AMN的面積;(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí),證明:<k<2.(1)解設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0,由|AM|AN|及橢圓的對(duì)稱性知,直線AM的傾斜角為.又A(2,0),因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0,解得y0或y,所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)證明將直線AM的方程yk(x2)(k>0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120,由x1(2)得x1,故|AM|x12|.由題設(shè),直線AN的方程為y(x2),故同理可得|AN|.由2|AM|AN|,得,即4k36k23k80,設(shè)f(t)4t36t23t8,則k是f(t)的零點(diǎn),f(t)12t212t33(2t1)20,所以f(t)在(0,)單調(diào)遞增,又f()1526<0,f(2)6>0,因此f(t)在(0,)有唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)k在(,2)內(nèi),所以<k<2.3已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|BF|的最小值解(1)依題意知,c>0,解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為yy1(xx1),即yxy1,即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20,又點(diǎn)P(x0,y0)在切線PA和PB上,所以x1x02y02y10,x2x02y02y20,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解,所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知|AF|y11,|BF|y21,所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1,聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0,所以y1y2x2y0,y1y2y,所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522,所以當(dāng)y0時(shí),|AF|BF|取得最小值,且最小值為.4已知橢圓C1:1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:yx2h(hR)上,C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的最小值解(1)由題意,得從而因此,橢圓C1的方程為x21.(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2h),則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y.直線MN的方程為y2txt2h.將上式代入橢圓C1的方程中,得4x2(2txt2h)240,即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以式中的116t42(h2)t2h24>0.設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則x3.設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4,則x4.由題意,得x3x4,即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240,得h1,或h3.當(dāng)h3時(shí),h2<0,4h2<0,則不等式不成立,所以h1.當(dāng)h1時(shí),代入方程得t1,將h1,t1代入不等式,檢驗(yàn)成立所以,h的最小值為1.

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