高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第31練 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 文

第31練直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題題型分析高考展望本部分重點(diǎn)考查直線和圓錐曲線的綜合性問(wèn)題，從近幾年的高考試題來(lái)看，除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外，在選擇題或填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問(wèn)題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來(lái)本部分的主要特點(diǎn)是運(yùn)算量大、思維難度較高，但有時(shí)靈活地借助幾何性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題可能會(huì)收到事半功倍的效果預(yù)測(cè)在今后高考中，主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題，有時(shí)會(huì)與向量的共線、模和數(shù)量積等聯(lián)系起來(lái)；對(duì)于方程的求解，不要忽視軌跡的求解形式，后面的設(shè)問(wèn)將是對(duì)最值、定值、定點(diǎn)、參數(shù)范圍的考查，探索類和存在性問(wèn)題考查的概率也很高體驗(yàn)高考1.(2015江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若|PC|2|AB|，求直線AB的方程解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB，又CP3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且AB.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而PC.因?yàn)閨PC|2|AB|，所以，解得k1.此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.2(2016浙江)如圖，設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x1的距離，由拋物線的定義得1，即p2.(2)由(1)得，拋物線方程為y24x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(t2,2t)，t0，t1.因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40.故y1y24，所以B.又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為，從而得直線FN：y(x1)，直線BN：y.所以N.設(shè)M(m,0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得，于是m，所以m0或m2.經(jīng)檢驗(yàn)，m0或m2滿足題意綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)(2，)3(2016四川)已知橢圓E：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|MB|MC|MD|.(1)解由已知，得a2b，又橢圓1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)P，故1，解得b21.所以橢圓E的方程是y21.(2)證明設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組得x22mx2m220，方程的判別式為4m24(2m22)，由>0，即2m2>0，解得<m<.由得x1x22m，x1x22m22.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為，直線OM方程為yx，由方程組得C，D.所以|MC|MD|(m)(m)(2m2)又|MA|MB|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)24x1x24m24(2m22)(2m2)所以|MA|MB|MC|MD|.高考必會(huì)題型題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用例1設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為1(b>0)，其離心率為.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)P(0,4)，則直線l何時(shí)與橢圓M相交？解(1)因?yàn)闄E圓M的離心率為，所以2，得b22.所以橢圓M的方程為1.(2)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l垂直于x軸時(shí)，直線l與橢圓M相交過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx4.由消去y，得(12k2)x216kx280.因?yàn)橹本€l與橢圓M相交，所以(16k)24(12k2)2816(2k27)>0，解得k<或k>.綜上，當(dāng)直線l垂直于x軸或直線l的斜率的取值范圍為時(shí)，直線l與橢圓M相交點(diǎn)評(píng)對(duì)于求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，一是利用方程的根的判別式來(lái)確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為零；二是利用圖形來(lái)處理和理解；三是直線過(guò)定點(diǎn)位置不同，導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同變式訓(xùn)練1(2015安徽)設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足|BM|2|MA|，直線OM的斜率為.(1)求橢圓E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，b)，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程解(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又kOM，從而，進(jìn)而得ab，c2b，故e.(2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得，直線AB的方程為1，點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為，則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上，且kNSkAB1，從而有解得b3.所以a3，故橢圓E的方程為1.題型二直線與圓錐曲線的弦的問(wèn)題例2已知橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，過(guò)點(diǎn)E(，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.(1)求橢圓的離心率；(2)求直線AB的斜率解(1)由F1AF2B，且|F1A|2|F2B|，得，從而，整理，得a23c2，故離心率e.(2)由(1)得b2a2c22c2，所以橢圓的方程可寫為2x23y26c2，設(shè)直線AB的方程為yk(x)，即yk(x3c)由已知設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20，依題意，48c2(13k2)>0，得<k<，(*)而x1x2，x1x2，由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x13c2x2，聯(lián)立解得x1，x2，將x1，x2代入中，解得k滿足(*)式，故所求k的值是.點(diǎn)評(píng)直線與圓錐曲線弦的問(wèn)題包括求弦的方程，弦長(zhǎng)，弦的位置確定，弦中點(diǎn)坐標(biāo)軌跡等問(wèn)題，解決這些問(wèn)題的總體思路是設(shè)相關(guān)量，找等量關(guān)系，利用幾何性質(zhì)列方程(組)，不等式(組)或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，使問(wèn)題解決變式訓(xùn)練2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求橢圓E的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)P(0，1)滿足|PA|PB|，求橢圓E的方程解(1)由橢圓定義知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y，化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的離心率e.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，從而a3，b3.故橢圓E的方程為1.高考題型精練1(2015北京)已知橢圓C：x23y23，過(guò)點(diǎn)D(1,0)且不過(guò)點(diǎn)E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x3交于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的離心率；(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由解(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21，所以a，b1，c.所以橢圓C的離心率e.(2)因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)A(1，y1)，B(1，y1)，直線AE的方程為y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3,2y1)，所以直線BM的斜率kBM1.(3)直線BM與直線DE平行，證明如下：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由(2)可知kBM1.又因?yàn)橹本€DE的斜率kDE1，所以BMDE，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x1)(k1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AE的方程為y1(x2)令x3，得點(diǎn)M，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，直線BM的斜率kBM，因?yàn)閗BM10，所以kBM1kDE.所以BMDE，綜上可知，直線BM與直線DE平行2(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知A是橢圓E：1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.(1)當(dāng)|AM|AN|時(shí)，求AMN的面積；(2)當(dāng)2|AM|AN|時(shí)，證明：<k<2.(1)解設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0，由|AM|AN|及橢圓的對(duì)稱性知，直線AM的傾斜角為.又A(2,0)，因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)證明將直線AM的方程yk(x2)(k>0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由題設(shè)，直線AN的方程為y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80，設(shè)f(t)4t36t23t8，則k是f(t)的零點(diǎn)，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)單調(diào)遞增，又f()1526<0，f(2)6>0，因此f(t)在(0，)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)k在(，2)內(nèi)，所以<k<2.3已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c>0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|BF|的最小值解(1)依題意知，c>0，解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，所以切線PA的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20，又點(diǎn)P(x0，y0)在切線PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解，所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，所以y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，所以當(dāng)y0時(shí)，|AF|BF|取得最小值，且最小值為.4已知橢圓C1：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0)，過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.(1)求橢圓C1的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：yx2h(hR)上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M，N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值解(1)由題意，得從而因此，橢圓C1的方程為x21.(2)如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，則拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為y.直線MN的方程為y2txt2h.將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以式中的116t42(h2)t2h24>0.設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，則x3.設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x4，則x4.由題意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1，或h3.當(dāng)h3時(shí)，h2<0,4h2<0，則不等式不成立，所以h1.當(dāng)h1時(shí)，代入方程得t1，將h1，t1代入不等式，檢驗(yàn)成立所以，h的最小值為1.