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高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習 第二編 專題整合突破 專題五 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何適考素能特訓(xùn) 理

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高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習 第二編 專題整合突破 專題五 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何適考素能特訓(xùn) 理

專題五 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12015陜西西安質(zhì)檢若平面,的法向量分別是n1(2,3,5),n2(3,1,4),則()A BC,相交但不垂直 D以上答案均不正確答案C解析n1n22(3)(3)15(4)0,n1與n2不垂直,且不共線與相交但不垂直2如圖,在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A. B.C. D.答案A解析不妨設(shè)CB1,則B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1)(0,2,1),(2,2,1)cos,故選A.32016湖南懷化檢測 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1MAN,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A斜交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C內(nèi)答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標系,由于A1MAN,則M,N,.又C1D1平面BB1C1C,所以(0,a,0)為平面BB1C1C的一個法向量因為0,所以,所以MN平面BB1C1C.42014四川高考 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點O為線段BD的中點設(shè)點P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為,則sin的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析(1)解法一:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示不妨設(shè)DCDADD11,則D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O,并設(shè)點P(0,1,t),且0t1.則,(1,0,1),(0,1,1)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x0,y0,z0),則有即取x01,y01,z01,n(1,1,1)sin|cos,n|(0t1),sin2,0t1.令f(t),0t1.則f(t),可知當t時,f(t)>0;當t時,f(t)0.又f(0),f1,f(1),fmax(t)f1,fmin(t)f(0).sin的最大值為1,最小值為.sin的取值范圍為,故選B.解法二:易證AC1平面A1BD,當點P在線段CC1上從C運動到C1時,直線OP與平面A1BD所成的角的變化情況:AOA1C1OA1(點P為線段CC1的中點時,)由于sinAOA1,sinC1OA1>,sin1,所以sin的取值范圍是,故選B.二、填空題52016江蘇蘇州二模已知正方形ABCD的邊長為4,CG平面ABCD,CG2,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則點C到平面GEF的距離為_答案解析建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz,相關(guān)各點的坐標為G(0,0,2),F(xiàn)(4,2,0),E(2,4,0),C(0,0,0),則(0,0,2),(4,2,2),(2,4,2)設(shè)平面GEF的法向量為n(x,y,z),由得平面GEF是一個法向量為n(1,1,3),所以點C到平面GEF的距離d.三、解答題62015甘肅天水一模 如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD為梯形,ADBC,AD平面SCD,ADDC2,BC1,SD2,SDC120.(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值解如圖,在平面SCD中,過點D作DC的垂線交SC于E,以D為原點,DA,DC,DE所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系則有D(0,0,0),S(0,1,),A(2,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0)(1)設(shè)平面SAB的法向量為n(x,y,z),(1,2,0),(2,1,),An0,An0,取y,得n(2,5)又(0,3,),設(shè)SC與平面SAB所成角為,則sin|cosS,n|,故SC與平面SAB所成角的正弦值為.(2)設(shè)平面SAD的法向量為m(a,b,c),D(2,0,0),D(0,1,),則有取b,得m(0,1)cosn,m,故平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值是.72014全國卷如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,ABB1C.(1)證明:ACAB1;(2)若ACAB1,CBB160,ABBC,求二面角AA1B1C1的余弦值解(1)證明:連接BC1,交B1C于點O,連接AO.因為側(cè)面BB1C1C為菱形,所以B1CBC1,且O為B1C及BC1的中點又ABB1C,所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO,故B1CAO.又B1OCO,故ACAB1.(2)因為ACAB1,且O為B1C的中點,所以AOCO.又因為ABBC,所以BOABOC.故OAOB,從而OA,OB,OB1兩兩互相垂直以O(shè)為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.因為CBB160,所以CBB1為等邊三角形,又ABBC,則A,B(1,0,0),B1,C.,.設(shè)n(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則即所以可取n(1,)設(shè)m是平面A1B1C1的法向量,則同理可取m(1,)則cosn,m.易知二面角AA1B1C1為銳二面角所以二面角AA1B1C1的余弦值為.82016合肥質(zhì)檢 如圖,六面體ABCDHEFG中,四邊形ABCD為菱形,AE,BF,CG,DH都垂直于平面ABCD.若DADHDB4,AECG3.(1)求證:EGDF;(2)求BE與平面EFGH所成角的正弦值解(1)證明:連接AC,由AE綊CG可知四邊形AEGC為平行四邊形,所以EGAC,而ACBD,ACBF,所以EGBD,EGBF,因為BDBFB,所以EG平面BDHF,又DF平面BDHF,所以EGDF.(2)設(shè)ACBDO,EGHFP,由已知可得:平面ADHE平面BCGF,所以EHFG,同理可得:EFHG,所以四邊形EFGH為平行四邊形,所以P為EG的中點,O為AC的中點,所以O(shè)P綊AE,從而OP平面ABCD,又OAOB,所以O(shè)A,OB,OP兩兩垂直,由平面幾何知識,得BF2.如圖,建立空間直角坐標系Oxyz則B(0,2,0),E(2,0,3),F(xiàn)(0,2,2),P(0,0,3),所以(2,2,3),(2,0,0),(0,2,1)設(shè)平面EFGH的法向量為n(x,y,z),由可得令y1,則z2.所以n(0,1,2)設(shè)BE與平面EFGH所成角為,則sin.92016河南六市聯(lián)考 如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABB1A1為矩形,ABBC1,AA1,D為AA1的中點,BD與AB1交于點O,BCAB1.(1)證明:CDAB1;(2)若OC,求二面角ABCB1的余弦值解(1)證明:由AB1B與DBA相似,知BDAB1,又BCAB1,BDBCB,AB1平面BDC,CD平面BDC,CDAB1.(2)由于OC,BC1,在ABD中,可得OB,BOC是直角三角形,BOCO.由(1)知COAB1,則CO平面ABB1A1.以O(shè)為坐標原點,OA,OD,OC所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A,B,C,B1,設(shè)平面ABC,平面BCB1的法向量分別為n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2),則n1(,1,),n2(1,2),cosn1,n2,又二面角ABCB1為鈍二面角,二面角ABCB1的余弦值為.102015天津高考 如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABAC,AB1,ACAA12,ADCD,且點M和N分別為B1C和D1D的中點(1)求證:MN平面ABCD;(2)求二面角D1ACB1的正弦值;(3)設(shè)E為棱A1B1上的點,若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為,求線段A1E的長解如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,依題意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,2,2)又因為M,N分別為B1C和D1D的中點,得M,N(1,2,1)(1)證明:依題意,可得n(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量.由此可得n0,又因為直線MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)(1,2,2),(2,0,0)設(shè)n1(x1,y1,z1)為平面ACD1的法向量,則即不妨設(shè)z11,可得n1(0,1,1)設(shè)n2(x2,y2,z2)為平面ACB1的法向量,則又(0,1,2),得不妨設(shè)z21,可得n2(0,2,1)因此有cosn1,n2,于是sinn1,n2,所以,二面角D1ACB1的正弦值為.(3)依題意,可設(shè),其中0,1,則E(0,2),從而(1,2,1)又n(0,0,1)為平面ABCD的一個法向量,由已知,得cos,n,整理得2430,又因為0,1,解得2.所以,線段A1E的長為2.112015洛陽統(tǒng)考如圖,四邊形ABCD中,ABAD,ADBC,AD6,BC2AB4,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EFAB.現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE1,是否在折疊后的線段AD上存在一點P,且,使CP平面ABEF?若存在,求出的值,若不存在,說明理由;(2)求三棱錐ACDF的體積的最大值,并求出此時二面角EACF的余弦值解平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDCEF,F(xiàn)DEF,F(xiàn)D平面ABEF,又AF平面ABEF,F(xiàn)DAF,在折起過程中,AFEF,又FDEFF,AF平面EFDC.以F為原點,F(xiàn)E,F(xiàn)D,F(xiàn)A分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系(1)解法一:若BE1,則各點坐標如下:F(0,0,0),A(0,0,1),D(0,5,0),C(2,3,0),平面ABEF的法向量可為(0,5,0),(),(0,0,1)(0,5,0),P,若CP平面ABEF,則必有,即0,(0,5,0)50,AD上存在一點P,且,使CP平面ABEF.解法二:AD上存在一點P,使CP平面ABEF,此時.理由如下:當時,可知,過點P作MPFD交AF于點M,連接EM,PC,則有,又BE1,可得FD5,故MP3,又EC3,MPFDEC,故有MP綊EC,故四邊形MPCE為平行四邊形,CPME,又CP平面ABEF,ME平面ABEF,故有CP平面ABEF.(2)設(shè)BEx(0<x4),則AFx,F(xiàn)D6x,故V三棱錐ACDF2(6x)x(x26x),當x3時,V三棱錐ACDF有最大值,且最大值為3,A(0,0,3),D(0,3,0),C(2,1,0),E(2,0,0),(2,0,3),(2,1,3),(0,0,3),(2,1,0),設(shè)平面ACE的法向量m(x1,y1,z1),則即令x13,則y10,z12,則m(3,0,2)設(shè)平面ACF的法向量n(x2,y2,z2),則即令x21,則y22,z20,則n(1,2,0),則cosm,n,故二面角EACF的余弦值為.122016山東名校聯(lián)考 如圖,在多面體ABCA1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,三角形A1CB是等邊三角形,ACAB1,B1C1BC,BC2B1C1.(1)求證:AB1平面A1C1C;(2)若點M是邊AB上的一個動點(包括A,B兩端點),試確定點M的位置,使得平面A1C1C與平面MA1C1夾角的余弦值為.解(1)證明:取BC的中點E,連接AE,C1E,B1E,B1C1BC,BC2B1C1,B1C1EC,B1C1EC,四邊形CEB1C1為平行四邊形,從而B1EC1C.又C1C平面A1C1C,B1E平面A1C1C,B1E平面A1C1C.又易知B1C1BE,B1C1BE,四邊形B1C1EB是平行四邊形,B1BC1E,B1BC1E,又四邊形ABB1A1是正方形,AA1BB1,AA1BB1,AA1C1E,A1AC1E,四邊形AEC1A1為平行四邊形,AEA1C1.又A1C1平面A1C1C,AE平面A1C1C,AE平面A1C1C.根據(jù),結(jié)合AEB1EE可得,平面B1AE平面A1C1C.又AB1平面B1AE,故AB1平面A1C1C.(2)四邊形ABB1A1為正方形,A1AABAC1,AA1AB.又三角形A1CB為等邊三角形,A1CBCA1B.由勾股定理的逆定理可得A1AC90,BAC90,即A1AAC,ABAC.經(jīng)過點A的三條直線AA1,AC,AB兩兩垂直從而,可建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則C(1,0,0),A1(0,0,1),C1.設(shè)M(0,t,0)(0t1),則(1,0,1),(0,t,1)設(shè)平面A1C1C的法向量為n1(x,y,z),則即令z1,則x1,y1,n1(1,1,1)為平面A1C1C的一個法向量設(shè)平面MA1C1的法向量為n2(m,n,k),則即令n1,則m1,kt,n2(1,1,t)為平面MA1C1的一個法向量由題設(shè)得|cosn1,n2|,即,又0t1,t1.故當點M與點B重合時,平面A1C1C與平面MA1C1夾角的余弦值為.典題例證2016全國卷如圖,在以A,B,C,D,E,F(xiàn)為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF2FD,AFD90,且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明:平面ABEF平面EFDC;(2)求二面角EBCA的余弦值.審題過程利用線面垂直可推證面面垂直建立適當?shù)目臻g直角坐標系,利用空間向量求解二面角.(1)證明:由已知可得AFDF,AFFE,所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF,故平面ABEF平面EFDC.(2)過D作DGEF,垂足為G,由(1)知DG平面ABEF.以G為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz.由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角,故DFE60,則DF2,DG,可得A(1,4,0),B(3,4,0),E(3,0,0),D(0,0,)由已知,ABEF,所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD,故ABCD,CDEF.由BEAF,可得BE平面EFDC,所以CEF為二面角CBEF的平面角,CEF60.從而可得C(2,0,)連接AC,則(1,0,),(0,4,0),(3,4,),(4,0,0)設(shè)n(x,y,z)是平面BCE的法向量,則即所以可取n(3,0,)設(shè)m是平面ABCD的法向量,則同理可取m(0,4)則cosn,m.故二面角EBCA的余弦值為.模型歸納利用向量求空間角的模型示意圖如下:

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