高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式 第1講 集合與常用邏輯用語(yǔ)練習(xí) 文

第1講集合與常用邏輯用語(yǔ)1(2016課標(biāo)全國(guó)乙改編)設(shè)集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB_.答案x|<x<3解析由Ax|x24x3<0x|1<x<3，Bx|2x3>0，得ABx|<x<32(2016北京改編)設(shè)a，b是向量，則“|a|b|”是“|ab|ab|”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案既不充分也不必要解析若|a|b|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為菱形，ab，ab表示該菱形的對(duì)角線，而菱形的對(duì)角線不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立；反之，若|ab|ab|成立，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形為矩形，而矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|b|不一定成立，所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件3(2016.浙江改編)命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是_答案xR，nN*，使得nx2解析原命題是全稱命題，條件為xR，結(jié)論為nN*，使得nx2，其否定形式為存在性命題，條件中改量詞，并否定結(jié)論1.集合是高考必考知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)常以不等式解集、函數(shù)的定義域、值域?yàn)楸尘翱疾榧系倪\(yùn)算，近幾年有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一些集合的新定義問(wèn)題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定，考查充要條件的判斷.熱點(diǎn)一集合的關(guān)系及運(yùn)算1集合的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2集合運(yùn)算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；(2)若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解例1(1)已知集合Mx|x22x80，集合Nx|lg x0，則MN_.(2)若集合A，B，則集合AB_.答案(1)x|1x4(2)x|0<x<3解析(1)Mx|2x4，Nx|x1，考查交集的定義，畫出數(shù)軸(圖略)可以看出MNx|1x4(2)因?yàn)锳，B，所以ABx|0<x<3思維升華(1)關(guān)于集合的關(guān)系及運(yùn)算問(wèn)題，要先對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再借助Venn圖或數(shù)軸求解(2)對(duì)集合的新定義問(wèn)題，要緊扣新定義集合的性質(zhì)探究集合中元素的特征，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)進(jìn)行求解，也可利用特殊值法進(jìn)行驗(yàn)證跟蹤演練1(1)已知集合Ax|x210，B1,2,5，則AB_.(2)已知集合Ax|x2k1，kZ，Bx|0<x<5，則AB_.答案1(2)1,3解析(1)Ax|x210x|x11，1，AB1(2)因?yàn)锳x|x2k1，kZ為奇數(shù)集，所以AB1,3熱點(diǎn)二四種命題與充要條件1四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假2若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件例2(1)下列命題：已知m，n表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，并且m，n，則“”是“mn”的必要不充分條件；不存在x(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題其中正確的命題序號(hào)是_(2) “M>N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案(1)(2)必要不充分解析(1)當(dāng)時(shí)，n可以是平面內(nèi)任意一直線，所以得不到mn.當(dāng)mn時(shí)，m，所以n，從而，故“”是“mn”的必要不充分條件，所以正確log2x，log3x，因?yàn)閘g 2<lg 3，所以>，當(dāng)x(0,1)時(shí)，<，即log2x<log3x恒成立，所以錯(cuò)誤中原命題的逆命題為：若a<b，則am2<bm2，顯然當(dāng)m20時(shí)不正確，所以錯(cuò)誤(2)因?yàn)槿绻?>M>N，不能推出log2M>log2N，所以不是充分條件，因?yàn)閘og2M>log2N，ylog2x是增函數(shù)，所以M>N，故“M>N”是“l(fā)og2M>log2N”成立的必要不充分條件思維升華充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若pq，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若pq，且q p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系例如，若AB，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充要條件(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題跟蹤演練2(1)下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是_“x2x2>0”是“x>1”的充分不必要條件；命題：“xR，sin x1”的否定是“x0R，sin x0>1”；“若x，則tan x1”的逆命題為真命題；若f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(log32)f(log23)0.(2) “a>1”是“(a1)x>2對(duì)x(1，)恒成立”的_條件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)答案(1)1(2)充分不必要解析(1)對(duì)于，x2x2>0x>1或x<2，故“x2x2>0”是“x>1”的必要不充分條件，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，“若x，則tan x1”的逆命題為“若tan x1，則x”，tan x1推出的是xk，kZ，所以錯(cuò)誤對(duì)于，log32log23，所以錯(cuò)誤正確(2)a>1時(shí)，a1>2，而x>1，因此(a1)x>2，既充分性成立；反之，a1時(shí)，(a1)x>2對(duì)x(1，)也恒成立，因此必要性不成立熱點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞1命題pq，只要p，q有一真，即為真；命題pq，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對(duì)立的命題2命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q)3“xM，p(x)”的否定為“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定為“xM，綈p(x)”例3(1)設(shè)p，q是兩個(gè)命題，如果綈(pq)是真命題，那么p是_命題，q是_命題(2)已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”若命題“(綈p)q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1)假假(2)(1，)解析(1)由綈(pq)是真命題可得pq是假命題，由真值表可得p是假命題且q是假命題(2)命題p為真時(shí)a1；“x0R，x2ax02a0”為真，即方程x22ax2a0有實(shí)根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.(綈p)q為真命題，即(綈p)真且q真，即a>1.思維升華(1)命題的否定和否命題是兩個(gè)不同的概念：命題的否定只否定命題的結(jié)論，真假與原命題相對(duì)立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來(lái)思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算跟蹤演練3(1)已知命題p：存在x1,2，使得x2a0，命題q：指數(shù)函數(shù)y(log2a)x是R上的增函數(shù)，若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(2)命題p：bR，使直線yxb是曲線yx33ax的切線若綈p為真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1)(2)(，)解析(1)當(dāng)p為真時(shí)，ax2在x上有解，所以amax4，當(dāng)命題q為真時(shí)，應(yīng)有l(wèi)og2a>1，所以a>2，由于命題“p且q ”是真命題，所以p，q都真，從而a.(2)由yx33ax得y3x23a3a.因?yàn)槊}“bR使直線yxb是曲線yx33ax的切線”是假命題，所以直線yxb的斜率13a，)，即1<3a，解得a<.1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸，g(x)ln(1x)的定義域?yàn)镹，則M(RN)_.押題依據(jù)集合的運(yùn)算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題集合的運(yùn)算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域等知識(shí)相交匯答案x|x<1解析Mx|1x2>0x|1<x<1，Nx|1x>0x|x>1，RNx|x1，M(RN)x|1<x<1x|x1x|x<12已知集合M(x，y)|yf(x)，若對(duì)于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱集合M是“集合”給出下列四個(gè)集合：M(x，y)|y；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ycos x；M(x，y)|yln x其中是“集合”的所有序號(hào)為_押題依據(jù)以新定義為背景，考查元素與集合的關(guān)系，是近幾年高考的熱點(diǎn)，解題時(shí)可從集合的性質(zhì)(元素的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì))作為突破口答案解析對(duì)于，若x1x2y1y20，則x1x20，即(x1x2)21，可知錯(cuò)誤；對(duì)于，取(1,0)M，且存在(x2，y2)M，則x1x2y1y21x20y2x2>0，可知錯(cuò)誤同理，可證得和都是正確的3設(shè)R，則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數(shù)”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)押題依據(jù)充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點(diǎn)，該類問(wèn)題必須以其他知識(shí)為載體，綜合考查數(shù)學(xué)概念答案充分不必要解析當(dāng)0時(shí)，f(x)cos(x)cos x為偶函數(shù)成立；但當(dāng)f(x)cos(x)為偶函數(shù)時(shí)，k，kZ，所以0時(shí)，必要性不成立4給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為_函數(shù)ysin 2xcos 2x在x上的單調(diào)遞增區(qū)間是；a1，a2，b1，b2均為非零實(shí)數(shù)，集合Ax|a1xb1>0，Bx|a2xb2>0，則“”是“AB”的必要不充分條件；若pq為真命題，則pq也為真命題；命題x0R，xx01<0的否定為xR，x2x1<0.押題依據(jù)常用邏輯用語(yǔ)中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯(lián)結(jié)詞是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，也是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題答案2解析ysin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，又x，因此遞增區(qū)間是；充分性不成立，如a11，b11，a21b2，滿足，但Ax|x1>0(1，)，Bx|x1>0(，1)，AB；必要性成立：ABa1a2>0；pq為真命題時(shí)，p，q不一定全真，因此pq不一定為真命題；命題x0R，xx01<0的否定應(yīng)為xR，x2x10.所以為真A組專題通關(guān)1已知集合A2，a，B1,1,3，且AB，則實(shí)數(shù)a的值是_答案1解析由題意得：或a1.2(教材改編)已知全集UR，且Ax|x1|>2，Bx|x26x8<0，則(UA)B_.答案x|2<x3解析集合Ax|x1|>2x|x>3或x<1，所以UAx|1x3，集合Bx|x26x8<0x|2<x<4，所以(UA)B為x|2<x33命題“x2，)，x31”的否定為_答案x02，)，x03<1解析根據(jù)全稱命題的否定規(guī)則可知4已知集合Ax|1x1，Bx|x22x0，則AB_.答案x|0x1解析由x22x0，得0x2，所以Bx|0x2又Ax|1x1，所以ABx|0x15 “a5”是“點(diǎn)(2,1)到直線xa的距離為3”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析由點(diǎn)(2,1)到直線xa的距離為3，得|a2|3，解得a5或a1，所以“a5”是“點(diǎn)(2,1)到直線xa的距離為3”的充分不必要條件6若命題“存在xR，ax24xa0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(2，)解析由題意得a>0，164a2<0，解得a>2.7已知命題p：<1，命題q：(xa)(x3)>0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1解析由p：<1，得<0，1<x<1，而p是q的充分不必要條件，即pq，qD/p，所以a1，a1.8給出以下四個(gè)命題，其中為假命題的是_R，函數(shù)f(x)sin(2x)都不是偶函數(shù)；，R，使cos()cos cos ；向量a(2，1)，b(3,0)，則a在b方向上的投影為2；“|x|1”是“x<1”的既不充分也不必要條件答案解析對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)sin(2x)cos 2x是偶函數(shù)，該命題是假命題；對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，cos()cos cos ，所以該命題是真命題；對(duì)于，a在b方向上的投影為|a|cosa，b2，所以該命題為真命題；對(duì)于，由|x|1，當(dāng)x1時(shí)，x<1不成立，由x<1得不出|x|1，所以“|x|1”是“x<1”的既不充分也不必要條件，所以該命題為真命題9已知集合Mx|x2<4，Nx|x22x3<0，則集合MN_.答案x|1<x<2解析解不等式可得Mx|x2<4x|2<x<2，Nx|x22x3<0x|1<x<3，由交集的計(jì)算方法可得，MNx|1<x<210已知集合Ax|1<x5，Bx|m5<x2m3，且AB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案1,4解析解得1m4.故應(yīng)填1,411 “a>1”是“函數(shù)f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增f(x)asin x0在R上恒成立a(sin x)max1，所以“a>1”是“函數(shù)f(x)axcos x在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件12給出下列四個(gè)命題：命題“若，則cos cos ”的逆否命題；“x0R，使得xx0>0”的否定是：“xR，均有x2x<0”；命題“x24”是“x2”的充分不必要條件；p：aa，b，c，q：aa，b，c，p且q為真命題其中真命題的序號(hào)是_答案解析對(duì)于，因命題“若，則cos cos ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，故正確；對(duì)于，命題“x0R，使得xx0>0”的否定應(yīng)是：“xR，均有x2x0”，故錯(cuò)；對(duì)于，因?yàn)橛伞皒24”得x2，所以“x24”是“x2”的必要不充分條件，故錯(cuò)；對(duì)于，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故正確B組能力提高13有下列命題：ycoscos的圖象中相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為；y的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；關(guān)于x的方程ax22ax10有且僅有一個(gè)實(shí)根，則a1；命題p：對(duì)任意xR，都有sin x1；則綈p：存在xR，使得sin x>1.其中真命題的序號(hào)是_答案解析因?yàn)閥coscoscoscossincossincos 2x，周期為，所以其圖象中相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為，故為假命題；由于y1，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故為假命題；由于關(guān)于x的方程ax22ax10有且僅有一個(gè)實(shí)根，所以a0且24a0，解得：a1或a0(舍去)，故為真命題；由于命題p：對(duì)任意xR，都有sin x1，因?yàn)槿Q命題的否定是存在性命題，所以綈p：存在xR，使得sin x>1，故為真命題14已知圓C的方程為(x1)2y2r2 (r>0)，若p：1r3；q：圓C上至多有3個(gè)點(diǎn)到直線xy30的距離為1，則p是q的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析由點(diǎn)到直線的距離公式，得圓心(1,0)到直線xy30的距離為2，故0<r<1時(shí)，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)為0個(gè)；r1時(shí)，圓上有1個(gè)點(diǎn)滿足；1<r<3時(shí)，圓上有2個(gè)點(diǎn)滿足；r3時(shí)，圓上有3個(gè)點(diǎn)滿足；r>3時(shí)，圓上有4個(gè)點(diǎn)滿足15給出以下四種說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的是_命題“若x1，則x23x20”的逆否命題是“若x23x20，則x1”；“x>2”是“x23x2>0”的充分不必要條件；若“命題p：xR，x2x10”，則“綈p：x0R，xx010”；若“pq”為真命題，則p，q均為真命題答案解析對(duì)于若“pq”為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題，錯(cuò)誤16已知集合M，若3M,5M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(9,25解析集合M，得(ax5)(x2a)<0，當(dāng)a0時(shí)，顯然不成立，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x)<0，若<，只需滿足解得1a<；若>，只需滿足解得9<a25，當(dāng)a<0時(shí)，不符合條件，綜上，答案為(9,2517對(duì)于集合M，定義函數(shù)fM(x)對(duì)于兩個(gè)集合A，B，定義集合ABx|fA(x)fB(x)1已知A2,4,6,8,10，B1,2,4,8,12，則用列舉法寫出集合AB的結(jié)果為_答案1,6,10,12解析要使fA(x)fB(x)1，必有xx|xA且xBx|xB且xA1,6,10,12，所以AB1,6,10,12