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高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題五 立體幾何 第2講 空間中的平行與垂直練習 文

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高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題五 立體幾何 第2講 空間中的平行與垂直練習 文

第2講空間中的平行與垂直1(2016課標全國甲),是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)答案解析當mn,m,n時,兩個平面的位置關(guān)系不確定,故錯誤,經(jīng)判斷知均正確,故正確答案為.2(2016江蘇)如圖,在直三棱柱ABCA-1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)由已知,DE為ABC的中位線,DEAC,又由三棱柱的性質(zhì)可得ACA1C1,DEA1C1,且DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面A1B1C1,AA1A1C1,又A1B1A1C1,且A1B1AA1A1,A1C1平面ABB1A1,B1D平面ABB1A1,A1C1B1D,又A1FB1D,且A1FA1C1A1,B1D平面A1C1F,又B1D平面B1DE,平面B1DE平面A1C1F.1.以填空題的形式考查,主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷,屬基礎題.2.以解答題的形式考查,主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題,且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查,難度中等.熱點一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題;(2)必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷例1(1)已知l是直線,、是兩個不同的平面,下列命題中的真命題是_(填所有真命題的序號) 若l,l,則;若,l,則l;若l,則l;若l,l,則 .(2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面,給出以下四個命題,其中正確的是_若ab,b,則a;若a,b,則ab;若a,b,則ab;若a,b,則ab.答案(1)(2)解析(1)若l,l,則l可平行兩平面的交線,所以為假命題;若,l,則l可平行兩平面的交線,所以為假命題;若l,則l可在平面內(nèi),所以為假命題;若l,l,則l必平行平面內(nèi)一直線m,所以m,因而為真命題(2)線面平行的判定定理中的條件要求a,故錯;對于線面平行,這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行,也可以異面,故錯;平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系:平行、相交、異面都有可能,故錯;垂直于同一個平面的兩條直線是平行的,故正確思維升華解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷,必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中跟蹤演練1設m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,給出下列四個命題:若mn,m,則n;若m,m,則;若mn,m,則n;若m,m,則.其中真命題的個數(shù)為_答案解析因為“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面”,所以正確;當m平行于兩個相交平面,的交線l時,也有m,m,所以錯誤;若mn,m,則n或n,所以錯誤;平面,與直線m的關(guān)系如圖所示,必有,故正確熱點二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化,即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化面面平行的判定例2如圖,已知PAO所在的平面,AB是O的直徑,AB2,點C是O上一點,且ACBC,PCA45,點E是PC的中點,點F是PB的中點,點G為線段PA上(除點P外)的一個動點(1)求證:BC平面GEF;(2)求證:BCGE;(3)求三棱錐BPAC的體積(1)證明點E是PC的中點,點F是PB的中點,EFCB.EF平面GEF,點G不與點P重合,CB平面GEF,BC平面GEF.(2)證明PAO所在的平面,BCO所在的平面,BCPA.又AB是O的直徑,BCAC.PAACA,AC面PAC,PA面PAC,BC平面PAC.GE平面PAC,BCGE.(3)解在RtABC中,AB2,ACBC,ACBC,SABC1.PA平面ABC,AC平面ABC,PAAC.PCA45,PA.VBPACVPABCSABCPA.思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎是線線垂直和線線平行,常用方法如下:(1)證明線線平行常用的方法:一是利用平行公理,即證兩直線同時和第三條直線平行;二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換;三是利用三角形的中位線定理證線線平行;四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換(2)證明線線垂直常用的方法:利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì);勾股定理;線面垂直的性質(zhì):即要證兩線垂直,只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可,l,ala.跟蹤演練2如圖,在四棱錐PABCD中,ADBC,且BC2AD,ADCD,PBCD,點E在棱PD上,且PE2ED.(1)求證:平面PCD平面PBC;(2)求證:PB平面AEC.證明(1)因為ADCD,ADBC,所以CDBC,又PBCD,PBBCB,PB平面PBC,BC平面PBC,所以CD平面PBC,又CD平面PCD,所以平面PCD平面PBC.(2)連結(jié)BD交AC于點O,連結(jié)OE.因為ADBC,所以ADOCBO,所以DOOBADBC12,又PE2ED,所以OEPB,又OE平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.熱點三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后,原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化,這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵一般地,在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化,解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變,去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值,這是化解翻折問題的主要方法例3如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,DAB60,點E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點,ACEFO,沿EF將CEF翻折到PEF,連結(jié)PA,PB,PD,得到如圖的五棱錐PABFED,且PB.(1)求證:BDPA;(2)求四棱錐PBFED的體積(1)證明點E,F(xiàn)分別是邊CD,CE的中點,BDEF.菱形ABCD的對角線互相垂直,BDAC.EFAC.EFAO,EFPO,AO平面POA,PO平面POA,AOPOO,EF平面POA,BD平面POA,又PA平面POA,BDPA.(2)解設AOBDH.連結(jié)BO,DAB60,ABD為等邊三角形,BD4,BH2,HA2,HOPO,在RtBHO中,BO,在PBO中,BO2PO210PB2,POBO.POEF,EFBOO,EF平面BFED,BO平面BFED,PO平面BFED,梯形BFED的面積S(EFBD)HO3,四棱錐PBFED的體積VSPO33.思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口;(2)存在探索性問題可先假設存在,然后在此前提下進行邏輯推理,得出矛盾或肯定結(jié)論跟蹤演練3如圖(1),四邊形ABCD為矩形,PD平面ABCD,AB1,BCPC2,作如圖(2)折疊,折痕EFDC.其中點E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M,并且MFCF.(1)證明:CF平面MDF;(2)求三棱錐MCDE的體積(1)證明因為PD平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD.又因為ABCD是矩形,CDAD,PD與CD交于點D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以ADCF,即MDCF.又MFCF,MDMFM,所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC,BC2,CD1,PCD60,所以PD,由(1)知FDCF,在直角三角形DCF中,CFCD.過點F作FGCD交CD于點G,得FGFCsin 60,所以DEFG,故MEPE,所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.1不重合的兩條直線m,n分別在不重合的兩個平面,內(nèi),給出以下四個命題,其中正確的是_mnm mnm mn押題依據(jù)空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容,也是高考命題的熱點此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯,意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力答案解析構(gòu)造長方體,如圖所示因為A1C1AA1,A1C1平面AA1C1C,AA1平面AA1B1B,但A1C1與平面AA1B1B不垂直,平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直所以,都是假命題CC1AA1,但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行,所以為假命題“若兩平面平行,則一個平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題2如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12AD2AB,ADDC,ABDC.(1)求證:D1CAC1;(2)問在棱CD上是否存在點E,使D1E平面A1BD.若存在,確定點E位置;若不存在,請說明理由押題依據(jù)空間直線和平面的平行、垂直關(guān)系是立體幾何的重點內(nèi)容,也是高考解答題的熱點,結(jié)合探索性問題考查考生的空間想象能力、推理論證能力,是命題的常見形式(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,連結(jié)C1D,DCDD1,四邊形DCC1D1是正方形,DC1D1C.又ADDC,ADDD1,DCDD1D,AD平面DCC1D1,又D1C平面DCC1D1,ADD1C.AD平面ADC1,DC1平面ADC1,且ADDC1D,D1C平面ADC1,又AC1平面ADC1,D1CAC1.(2)解假設存在點E,使D1E平面A1BD.連結(jié)AD1,AE,D1E,設AD1A1DM,BDAEN,連結(jié)MN,平面AD1E平面A1BDMN,要使D1E平面A1BD,可使MND1E,又M是AD1的中點,則N是AE的中點又易知ABNEDN,ABDE.即E是DC的中點綜上所述,當E是DC的中點時,可使D1E平面A1BD.A組專題通關(guān)1如圖是正方形的平面展開圖,在這個正方體中:BM與DE平行;CN與BE是異面直線;BM與CN成60角;DM與BN是異面直線以上四個命題中,正確命題的序號是_答案解析展開圖復原的正方體如圖,不難看出:BM與ED平行;錯誤的,是異面直線;CN與BE是異面直線,錯誤,是平行線;CN與BM成60角;正確;DM與BN是異面直線正確判斷正確的答案為.2設a,b是平面內(nèi)兩條不同的直線,l是平面外的一條直線,則“l(fā)a,lb”是“l(fā)”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析若a,b是平面內(nèi)兩條不同的直線,l是平面外的一條直線,la,lb,ab,則l可以與平面斜交,推不出l.若l,a,b是平面內(nèi)兩條不同的直線,l是平面外的一條直線,則la,lb.“l(fā)a,lb”是“l(fā)”的必要不充分條件3已知,是兩個不同的平面,l,m是兩條不同直線,l,m.給出下列命題:lm;lm;ml;lm.其中正確的命題是_. (填寫所有正確命題的序號)答案解析,lllm,命題正確;,ll、m可平行,可相交,可異面,命題錯誤;m,llml與可平行,l可在內(nèi),l可與相交,命題錯誤; l、lm,命題正確4已知立方體ABCDABCD,E,F(xiàn),G,H分別是棱AD,BB,BC,DD的中點,從中任取兩點確定的直線中,與平面ABD平行的有_條答案6解析連結(jié)EG,EH,F(xiàn)G,EH綊FG,EFGH四點共面,由EGAB,EHAD,EGEHE,ABADA,可得平面EFGH與平面ABD平行,符合條件的共6條5在正方體上任意選擇4個頂點,由這4個頂點可能構(gòu)成如下幾何體:有三個面為全等的等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體;每個面都是等邊三角形的四面體;每個面都是直角三角形的四面體;有三個面為不全等的直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體以上結(jié)論其中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)答案解析在正方體上任意選擇4個頂點,由這4個頂點可能構(gòu)成如下幾何體:有三個面為全等的等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體,去掉4個角的正四面體即可,正確;每個面都是等邊三角形的四面體,去掉4個角的正四面體即可,正確;每個面都是直角三角形的四面體,側(cè)棱垂直底面直角三角形的銳角的四面體即可,正確;有三個面為不全等的直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體,如圖中ABCD即可,正確故答案為.6如圖,在空間四邊形ABCD中,點MAB,點NAD,若,則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_答案平行解析由,得MNBD.而BD平面BDC,MN平面BDC,所以MN平面BDC.7正方體ABCDA1B1C1D1中,E為線段B1D1上的一個動點,則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE;B1E平面ABCD;三棱錐EABC的體積為定值;直線B1E直線BC1.答案解析因AC平面BDD1B1,故正確;因B1D1平面ABCD,故正確;記正方體的體積為V,則VEABCV,為定值,故正確;B1E與BC1不垂直,故錯誤8.如圖所示,ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體,M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點,P是上底面的棱AD上的一點,AP,過P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1,MNPQ.M、N分別是A1B1、B1C1的中點,AP,CQ,從而DPDQ,PQa.9如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點求證:(1)AP平面C1MN;(2)平面B1BDD1平面C1MN.證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中,因為點M,P分別為棱AB,C1D1的中點,所以AMPC1.又AMCD,PC1CD,故AMPC1,所以四邊形AMC1P為平行四邊形從而APC1M,又AP平面C1MN,C1M平面C1MN,所以AP平面C1MN.(2)連結(jié)AC,在正方形ABCD中,ACBD.又點M,N分別為棱AB,BC的中點,故MNAC.所以MNBD.在正方體ABCDA1B1C1D1中,DD1平面ABCD,又MN平面ABCD,所以DD1MN,而DD1DBD,DD1,DB平面B1BDD1,所以MN平面B1BDD1,又MN平面C1MN,所以平面B1BDD1平面C1MN.10.如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO平面BB1C1C.(1)證明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高(1)證明如圖,連結(jié)BC1,則O為B1C與BC1的交點因為四邊形BB1C1C為菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,又AOBC1O,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)解如圖,在平面BB1C1C內(nèi)作ODBC,垂足為D,連結(jié)AD.在平面AOD內(nèi)作OHAD,垂足為H.由于BCAO,BCOD,AOODD,故BC平面AOD,又OH平面AOD,所以OHBC.又OHAD,ADBCD,所以OH平面ABC.因為CBB160,所以CBB1為等邊三角形又BC1,可得OD.由于ACAB1,所以OAB1C.由OHADODOA,且AD,得OH.又O為B1C的中點,所以點B1到平面ABC的距離為,故三棱柱ABCA1B1C1的高為.B組能力提高11,是兩平面,AB,CD是兩條線段,已知EF,AB于B,CD于D,若增加一個條件,就能得出BDEF,現(xiàn)有下列條件:AC;AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上;ACEF.其中能成為增加條件的序號是_答案解析由題意得,ABCD,A,B,C,D四點共面,:AC,EF,ACEF,又AB,EF,ABEF,ABACA,EF面ABCD,又BD面ABCD,BDEF,故正確;:由AC與CD在內(nèi)的射影在同一條直線上可知面EFAC,由可知正確;錯誤,故填:.12.如圖,在棱長為1的正四面體ABCD中,平面與棱AB,AD,CD,BC分別交于點E,F(xiàn),G,H,則四邊形EFGH周長的最小值為_答案2解析把面ADC沿著AD翻折到與面ADB共面上來,此時C的位置為C1,G的位置為G1,再把面DCB沿著BC翻折到面ABC中,再把這個面沿著AB翻折到面ADB中來(其實就是得到四面體的展開圖),這樣,EFGH的周長為圖中線段的和,然后根據(jù)三角形的邊長關(guān)系得到最小值為2.13.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,底面是以ABC為直角的等腰直角三角形,AC2a,BB13a,點D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF_時,CF平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知,B1D平面ACC1A1,所以B1DCF.要使CF平面B1DF,只需CFDF即可令CFDF,設AFx,則A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D,得,即,整理得x23ax2a20,解得xa或x2a.14如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABBCBB1,點D,E分別為BC,CC1的中點(1)求證:B1D平面ABE;(2)若點P是線段B1D上一點且滿足,求證:A1P平面ADE.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,AB平面ABC,所以BB1AB,因為ABC90,所以BCAB,又BCBB1B,所以AB平面BCC1B1,因為DB1平面BCC1B1,所以ABDB1,因為在平面BCC1B1中,BCBB1,所以四邊形BCC1B1為正方形,因為點D,E分別為BC,CC1的中點,所以BCEB1BD,所以CBEBB1D,所以CBEB1DB90,即B1DBE,又因為BABEB,所以B1D面ABE.(2)連結(jié)PC交DE于點F,連結(jié)A1C交AE于點G,連結(jié)FG,在正方形BCC1B1中利用及平面幾何知識可得2,在正方形ACC1A1中利用CEAA1且CEAA1可得2,所以在CA1P中,2,所以A1PGF,又A1P平面ADE,GF平面ADE,所以A1P平面ADE.

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