高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯(cuò)集）專題16 圓錐曲線的綜合問(wèn)題 文

專題16 圓錐曲線的綜合問(wèn)題1設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖，2直線3x4y40與拋物線x24y和圓x2(y1)21從左到右的交點(diǎn)依次為A、B、C、D，則的值為_(kāi)答案解析由得x23x40，xA1，xD4，yA，yD4.直線3x4y40恰過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，|AF|yA1，|DF|yD15，.3已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1(2,0)，點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，直線ykx(k0)與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為F1(2,0)，所以a2b24.因?yàn)辄c(diǎn)B(2，)在橢圓C上，所以1.由解得，a2，b2.所以橢圓C的方程為1.(2)方法一因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)因?yàn)橹本€ykx(k0)與橢圓1交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)點(diǎn)E(x0，y0)(不妨設(shè)x0>0)，則點(diǎn)F(x0，y0)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P(t,0)，使得MPN為直角，則0.即t20，即t240，解得t2或t2.故存在點(diǎn)P(2,0)或P(2,0)，無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角方法二因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)因?yàn)橹本€ykx(k0)與橢圓1交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)點(diǎn)E(x0，y0)，則點(diǎn)F(x0，y0)所以直線AE的方程為y(x2)因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M，令x0得y，即點(diǎn)M.同理可得點(diǎn)N.假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P(t,0)，使得MPN為直角，則0.故存在點(diǎn)P(2,0)或P(2,0)，無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有MPN為直角4設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：1(y0)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8)5.已知橢圓C1：1(a>0)與拋物線C2：y22ax相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合(1)求C1，C2的方程；(2)若過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合，所以，所以a24.又a>0，所以a2.于是橢圓C1的方程為1，拋物線C2的方程為y24x.(2)假設(shè)存在直線l使得2，則可設(shè)直線l的方程為yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，則x1x4，x1x41，所以|PN|.由可得(34k2)x28k2x4k2120，則x2x3，x2x3，易錯(cuò)起源1、范圍、最值問(wèn)題例1、如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PQ|PF1|，且，試確定橢圓離心率e的取值范圍解(1)由橢圓的定義，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，進(jìn)而|PF1|PQ|QF1|4a，于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，進(jìn)而e2，即e.【變式探究】如圖，已知橢圓：y21，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線l與線段AB相交于點(diǎn)D，且與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(1)若6，求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值解(1)依題設(shè)得橢圓的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)，則直線AB的方程為x2y20.設(shè)直線EF的方程為ykx(k>0)由點(diǎn)D在線段AB上，知x02kx020，得x0，所以，化簡(jiǎn)，得24k225k60，解得k或k.(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知點(diǎn)A，B到線段EF的距離分別為h1，h2，又|EF|，所以四邊形AEBF的面積為S|EF|(h1h2)【名師點(diǎn)睛】解決范圍問(wèn)題的常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解易錯(cuò)起源2、定點(diǎn)、定值問(wèn)題例2、橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又由題意知，解得c21，故a24，b23，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0.則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m2>0，當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過(guò)定點(diǎn)，且滿足，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【變式探究】已知拋物線：y22px(p>0)的焦點(diǎn)F在雙曲線：1的右準(zhǔn)線上，拋物線與直線l：yk (x2)(k>0)交于A，B兩點(diǎn)，AF，BF的延長(zhǎng)線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)若AFB的面積等于3，求k的值；(3)記直線CD的斜率為kCD，證明：為定值，并求出該定值解(1)雙曲線：1的右準(zhǔn)線方程為：x1，所以F(1,0)，則拋物線的方程為：y24x.(2)設(shè)A(，y1)，B(，y2)，由得ky24y8k0，1632k2>0，y1y2，y1y28.SAFB1|y1y2|23，解得k2.(3)設(shè)C(，y3)，則(1，y1)，(1，y3)，【名師點(diǎn)睛】 (1)動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m,0)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)(2)求解定值問(wèn)題的兩大途徑先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)2解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值易錯(cuò)起源3、探索性問(wèn)題例3、如圖，拋物線C：y22px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2)(1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過(guò)Q點(diǎn))與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)把Q(1,2)代入y22px，得2p4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1x2，x1x21.又Q(1,2)，則k1，k2.因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以kAFkBFk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常數(shù)2，使得k1k2k3成立【變式探究】如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.【名師點(diǎn)睛】解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)：存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在2反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法1若曲線ax2by21為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a，b滿足()Aa2>b2.<C0<a<b0<b<a答案C2已知橢圓1(0<b<2)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是()A1 B. C. D.答案D解析由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a2；由橢圓的定義，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即3，可求得b23，即b.3已知直線AB與拋物線y22x交于A，B兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，C是拋物線上的點(diǎn)，且使得取最小值，拋物線在點(diǎn)C處的切線為l，則()ACMABBCMCBCCMCADCMl答案D解析如圖所示，()()2()22，當(dāng)直線AB一定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)|取得最小值時(shí)，使得取最小值，只有當(dāng)CMl時(shí)，|取得最小值，故選D.4已知拋物線y22px(p>0)，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)ABC三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為M，N，Q，且M，N，Q的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3.若直線AB，BC，AC的斜率之和為1，則的值為()ABC.D.答案B即所以.5若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A2B3C6D8答案C解析由題意得F(1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則y3(1)(2x02)x0(x01)yxx0yxx03(1)(x02)22. 又因?yàn)?x02，所以當(dāng)x02時(shí)，取得最大值，最大值為6，故選C.6已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，A，B為左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C在第一象限的任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB，PO的斜率分別為k1，k2，k3，記mk1k2k3，則m的取值范圍為_(kāi)答案(0,2)0<k3<，0<mk1k2k3<2.7已知A(1,2)，B(1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_答案(1,2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(x1) (x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，即bxay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.8在直線y2上任取一點(diǎn)Q，過(guò)Q作拋物線x24y的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)_答案(0,2)解析設(shè)Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點(diǎn)A處的切線方9已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y1.當(dāng)x00時(shí)，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1.令y0得xN.|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值10已知橢圓M：1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，左，右頂點(diǎn)分別為A，B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)(1)求橢圓方程；(2)當(dāng)直線l的傾斜角為45時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；(3)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因?yàn)镕(1,0)為橢圓的焦點(diǎn)，所以c1，又b23，所以a24，所以橢圓方程為1.(2)因?yàn)橹本€的傾斜角為45，所以直線的斜率為1，所以直線方程為yx1，和橢圓方程聯(lián)立消掉y，得到7x28x80，所以288>0，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2|.(3)當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)，直線方程為x1，此時(shí)D(1，)，C(1，)，ABD，ABC面積相等，|S1S2|0.當(dāng)直線l斜率存在(顯然k0)時(shí)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，設(shè)直線方程為yk(x1)(k0)，和橢圓方程聯(lián)立