高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第二編 專題整合突破 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第三講 概率、隨機(jī)變量及分布列適考素能特訓(xùn) 理

專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第三講 概率、隨機(jī)變量及分布列適考素能特訓(xùn) 理一、選擇題12016合肥質(zhì)檢某企業(yè)的4名職工參加職業(yè)技能考核，每名職工均可從4個(gè)備選考核項(xiàng)目中任意抽取一個(gè)參加考核，則恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中的概率為()A. B.C. D.答案A解析由題意得，所有的基本事件總數(shù)為44256，若恰有一個(gè)項(xiàng)目未被抽中，則說明4名職工總共抽取了3個(gè)項(xiàng)目，符合題意的基本事件數(shù)為CCCA144，故所求概率P，故選A.22016武昌調(diào)研 在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為()A1193 B1359C2718 D3413附：若XN(，2)，則P(<X)0.6826，P(2<X2)0.9544答案B解析由題意知1，1，因?yàn)镻(0<x1)P(12<X12)P(11<X11)(0.95440.6826)0.1359，所以落入陰影部分的個(gè)數(shù)為0.1359100001359，故選B.32016貴陽質(zhì)檢在4,4上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)f(x)x3mx23x在R上單調(diào)遞增的概率為()A. B.C. D.答案D解析由題意，得f(x)3x22mx3，要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則3x22mx30在R上恒成立，即4m2360，解得3m3，所以所求概率為，故選D.42016湖北二聯(lián)先后擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()A. B.C. D.答案A解析本題考查條件概率由題意可得P(A)，P(AB)，則P(B|A)，故選A.52016石家莊質(zhì)檢小明準(zhǔn)備參加電工資格證考試，先后進(jìn)行理論考試和操作考試兩個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)各有2次考試機(jī)會(huì)在理論考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過，則直接進(jìn)入操作考試；若第1次未通過，則進(jìn)行第2次考試，第2次通過后進(jìn)入操作考試環(huán)節(jié)，第2次未通過則直接被淘汰在操作考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過，則直接獲得證書；若第1次未通過，則進(jìn)行第2次考試，第2次通過后獲得證書，第2次未通過則被淘汰若小明每次理論考試通過的概率為，每次操作考試通過的概率為，并且每次考試相互獨(dú)立，則小明本次電工考試中，共參加3次考試的概率是()A. B.C. D.答案B解析本題考查概率的計(jì)算由題意得參加3次考試包括第一次理論考試通過且第一次操作考試不通過和第一次理論考試不通過且第二次理論考試通過且第一次操作考試通過兩種情況，所以所求概率為，故選B.二、填空題62014浙江高考隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.答案解析設(shè)P(1)p，則P(2)p，從而由E()01p21，得p.故D()(01)2(11)2(21)2.72015貴州七校聯(lián)考在我校2015屆高三11月月考中理科數(shù)學(xué)成績(jī)N(90，2)(>0)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60120)0.8，假設(shè)我校參加此次考試有780人，那么試估計(jì)此次考試中，我校成績(jī)高于120分的有_人答案78解析因?yàn)槌煽?jī)N(90，2)，所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x90對(duì)稱又P(60120)0.8，由對(duì)稱性知成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的(10.8)0.1，所以估計(jì)成績(jī)高于120分的有0.178078人82016河南信陽一模 如圖所示，A，B兩點(diǎn)由5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通過的最大信息總量為，則P(8)_.答案解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列為：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(間接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，故P(8)與P(7)是對(duì)立事件，所以P(8)1P(7)1.三、解答題92016云南統(tǒng)檢某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)參加市中學(xué)生環(huán)保知識(shí)團(tuán)體競(jìng)賽，根據(jù)比賽規(guī)則，某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊(duì)，其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生；高中學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生，競(jìng)賽組委會(huì)將從這8名同學(xué)中隨機(jī)選出4人參加比賽(1)設(shè)“選出的4人中恰有2名女生，而且這2名女生來自同一個(gè)學(xué)部”為事件A，求事件A的概率P(A)；(2)設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)由已知，得P(A).所以事件A的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.由已知得P(Xk)(k1,2,3,4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以隨機(jī)變量X的分布列為：X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)1234.102016鄭州質(zhì)檢某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請(qǐng)工人，可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)收益為10萬元額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬元已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請(qǐng)工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人，請(qǐng)說明理由解(1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意，p20.36，p0.6，基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16，所以基地收益X的分布列為：X2015107.5P0.360.240.240.16基地的預(yù)期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4，所以，基地的預(yù)期收益為14.4萬元(2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元，收益P可能取值為20a,10a，P(Y20a)0.6，P(Y10a)0.4，則其預(yù)期收益E(Y)200.6100.4a16a(萬元)，E(Y)E(X)1.6a，綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人；成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人；成本恰為1.6萬元時(shí)，是否外聘工人均可以112015安徽安慶六校聯(lián)考前不久，省社科院發(fā)布了2014年度“安徽城市居民幸福排行榜”，蕪湖市成為本年度安徽最“幸福城市”隨后，師大附中學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光”社區(qū)人們的幸福度現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸?！?，求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望解(1)眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75.(2)設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則P(A)P(A0)P(A1).(3)的可能取值為0,1,2,3.P(0)3，P(1)C2，P(2)C2，P(3)3.則的分布列為：0123PB所以E()30.75.122016沈陽質(zhì)檢某中學(xué)根據(jù)20022014年期間學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”“棋類”“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)新生通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“攝影”“棋類”“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m、n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，且m>n.(1)求m與n的值；(2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)的分布列及期望解(1)依題，解得(2)令該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).X的分布列為：X0123456P于是，E(X)0123456.典題例證2016全國卷某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？審題過程由柱狀圖得頻率，分別求出隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得分布列由(1)可求出n的最小值；分別求出n19，n20的期望值，再比較選取哪一個(gè)較好.(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)當(dāng)n19時(shí)，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.當(dāng)n20時(shí)，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.模型歸納求離散型隨機(jī)變量的分布列與均值的模型示意圖如下：