高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題練習(xí) 理

第4講導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題(2016課標(biāo)全國(guó)乙)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x2<2.解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)a>0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b<0且b<ln，則f(b)>(b2)a(b1)2a>0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)a<0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，因此f(x)在(1，)上單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a<，則ln(2a)>1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)>0，因此f(x)在(1，ln(2a)上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)(2)不妨設(shè)x1<x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，所以x1x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2x2)，即f(2x2)<0.由于而所以設(shè)g(x)xe2x(x2)ex，則g(x)(x1)(e2xex)，所以當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，而g(1)0，故當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0，從而g(x2)f(2x2)<0，故x1x2<2.利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問(wèn)題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、方程根及不等式相結(jié)合，難度較大.熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力例1(2015北京)已知函數(shù)f(x)ln.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)2；(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)k對(duì)x(0,1)恒成立，求k的最大值(1)解因?yàn)閒(x)ln(1x)ln(1x)，所以f(x)，f(0)2.又因?yàn)閒(0)0，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y2x.(2)證明令g(x)f(x)2，則g(x)f(x)2(1x2).因?yàn)間(x)>0(0<x<1)，所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)0，x(0,1)，即當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>2.(3)解由(2)知，當(dāng)k2時(shí)，f(x)>k對(duì)x(0,1)恒成立當(dāng)k>2時(shí)，令h(x)f(x)k，則h(x)f(x)k(1x2).所以當(dāng)0<x< 時(shí)，h(x)<0，因此h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)0<x< 時(shí)，h(x)<h(0)0，即f(x)<k.所以當(dāng)k>2時(shí)，f(x)>k并非對(duì)x(0,1)恒成立綜上可知，k的最大值為2.思維升華用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)，對(duì)x1，x2a，b，且x1<x2，則f(x1)<f(x2)對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)xD，則f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)<0.跟蹤演練1已知函數(shù)f(x)aln x1(a>0)(1)當(dāng)x>0時(shí)，求證：f(x)1a；(2)在區(qū)間(1，e)上f(x)>x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(1)證明設(shè)(x)f(x)1aaln xa(x>0)，則(x).令(x)0，則x1，當(dāng)0<x<1時(shí)，(x)<0，所以(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，(x)>0，所以(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故(x)在x1處取到極小值也是最小值，故(x)(1)0，即f(x)1a.(2)解由f(x)>x得aln x1>x，即a>.令g(x)(1<x<e)，則g(x).令h(x)ln x(1<x<e)，則h(x)>0，故h(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)0.因?yàn)閔(x)>0，所以g(x)>0，即g(x)在區(qū)間(1，e)上單調(diào)遞增，則g(x)<g(e)e1，即<e1，所以a的取值范圍為e1，)熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想直觀求解例2設(shè)函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)當(dāng)me(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)由題設(shè)，當(dāng)me時(shí)，f(x)ln x(x>0)，則f(x)(x>0)，當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe時(shí)，f(x)取得極小值f(e)ln e2，f(x)的極小值為2.(2)由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)設(shè)(x)x3x(x>0)，則(x)x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)>0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x1也是(x)的最大值點(diǎn)，(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m或m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點(diǎn)問(wèn)題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì)跟蹤演練2已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.因?yàn)閤，所以當(dāng)g(x)0時(shí)，x1.當(dāng)<x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e2<0，則g(e)<g，所以g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得1<m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題生活中的實(shí)際問(wèn)題受某些主要變量的制約，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題就是把制約問(wèn)題的主要變量找出來(lái)，建立目標(biāo)問(wèn)題即關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，然后通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，從而找到變量在什么情況下可以達(dá)到目標(biāo)最優(yōu)例3某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大解(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因?yàn)閞25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5,5)時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大思維升華利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)作答：回歸實(shí)際問(wèn)題作答跟蹤演練3統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y(升)，關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：yx3x8(0<x120)已知甲、乙兩地相距100千米(1)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解(1)當(dāng)x40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了2.5(小時(shí))，要耗油(403408)2.517.5(升)所以，當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升(2)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)(x3x8)x2(0<x120)，h(x)(0<x120)，令h(x)0得x80，當(dāng)x(0,80)時(shí)，h(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120時(shí)，h(x)>0，h(x)是增函數(shù)，當(dāng)x80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)11.25，因?yàn)閔(x)在(0,120)上只有一個(gè)極值，所以它是最小值故當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.已知函數(shù)f(x)x2(2a2)x(2a1)ln x.(1)當(dāng)a0時(shí)，求曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)對(duì)任意的a，x1，x21,2，恒有|f(x1)f(x2)|，求正實(shí)數(shù)的取值范圍押題依據(jù)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法本題的命制正是根據(jù)這個(gè)要求進(jìn)行的，全面考查了考生綜合求解問(wèn)題的能力解(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x22xln x，f(x)x2，且f(1)，f(1)0，故曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為y.(2)f(x)x(2a2)，x>0.當(dāng)2a10，即a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<2a1<1，即<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(2a1,1)上單調(diào)遞減，在(0,2a1)，(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)2a11，即a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)2a1>1，即a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,2a1)上單調(diào)遞減，在(0,1)，(2a1，)上單調(diào)遞增(3)根據(jù)(2)，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞減若x1x2，則不等式|f(x1)f(x2)|對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，此時(shí)(0，)若x1x2，不妨設(shè)1x1<x22，則f(x1)>f(x2)，>，原不等式即f(x1)f(x2)，即f(x1)f(x2)對(duì)任意的a，x1，x21,2恒成立，設(shè)g(x)f(x)，則對(duì)任意的a，x1，x21,2，不等式g(x1)g(x2)恒成立，即函數(shù)g(x)在1,2上為增函數(shù)，故g(x)0對(duì)任意的a，x1,2恒成立g(x)x(2a2)0，即x3(2a2)x2(2a1)x0，即(2x2x2)ax32x2x0對(duì)任意的a恒成立由于x1,2，2x2x20，故只要(2x2x2)x32x2x0，即x37x26x0對(duì)任意的x1,2恒成立令h(x)x37x26x，x1,2，則h(x)3x214x6<0恒成立，故函數(shù)h(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以h(x)minh(2)8，只要80即可，即8，故實(shí)數(shù)的取值范圍是8，)A組專題通關(guān)1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)3，對(duì)任意xR，f(x)<3，則f(x)>3x6的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案C解析設(shè)g(x)f(x)(3x6)，則g(x)f(x)3<0，所以g(x)為減函數(shù)，又g(1)f(1)30，所以根據(jù)單調(diào)性可知g(x)>0的解集是x|x<12設(shè)a>0，b>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)()A若ea2aeb3b，則a>bB若ea2aeb3b，則a<bC若ea2aeb3b，則a>bD若ea2aeb3b，則a<b答案A解析由ea2aeb3b，有ea3a>eb3b，令函數(shù)f(x)ex3x，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(a)>f(b)，所以a>b，A正確，B錯(cuò)誤；由ea2aeb3b，有ea2a<eb2b，令函數(shù)f(x)ex2x，則f(x)ex2，函數(shù)f(x)ex2x在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，)上單調(diào)遞增，當(dāng)a，b(0，ln 2)時(shí)，由f(a)<f(b)，得a>b，當(dāng)a，b(ln 2，)時(shí)，由f(a)<f(b)得a<b，故C，D錯(cuò)誤3若不等式2xln xx2ax3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析條件可轉(zhuǎn)化為a2ln xx(x>0)恒成立設(shè)f(x)2ln xx，則f(x)(x>0)當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4如果函數(shù)f(x)ax2bxcln x(a，b，c為常數(shù)，a>0)在區(qū)間(0,1)和(2，)上均單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3答案B解析由題意可得f(x)2axb，則解得所以f(x)a(x26x4ln x)，則極大值f(1)5a<0，極小值f(2)a(4ln 28)<0，又f(10)a(404ln 10)>0，結(jié)合函數(shù)圖象可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故選B.5做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27 dm3，且用料最省，則圓柱的底面半徑為()A3 dm B4 dmC6 dm D5 dm答案A解析設(shè)圓柱的底面半徑為R dm，母線長(zhǎng)為l dm，則VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面積最小S表R22RlR22，所以S表2R.令S表0，得R3，則當(dāng)R3時(shí)，S表最小故選A.6關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(4,0)解析由題意知使函數(shù)f(x)x33x2a的極大值大于0且極小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值，即f(x)極大值f(0)a；當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值，即f(x)極小值f(2)4a，所以解得4<a<0.7如果對(duì)定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”給出下列函數(shù)：yx3x1；y3x2(sin xcos x)；yex1；f(x)以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號(hào)為_答案解析因?yàn)閤1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)，即(x1x2)f(x1)f(x2)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)由y3x21>0得<x<，即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故不是“H函數(shù)”；由y32(cos xsin x)32sin32>0恒成立，所以為“H函數(shù)”；由yex>0恒成立，所以為“H函數(shù)”；由于為偶函數(shù)，所以不可能在R上是增函數(shù)，所以不是“H函數(shù)”綜上可知，是“H函數(shù)”的有.8已知函數(shù)f(x)x3x23x，直線l：9x2yc0，若當(dāng)x2,2時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象恒在直線l下方，則c的取值范圍是_答案(，6)解析根據(jù)題意知x3x23x<x在x2,2上恒成立，則>x3x2x，設(shè)g(x)x3x2x，則g(x)x22x，則g(x)>0恒成立，所以g(x)在2,2上單調(diào)遞增，所以g(x)maxg(2)3，則c<6.9已知函數(shù)f(x)ln x(aR)，(1)當(dāng)a時(shí)，如果函數(shù)g(x)f(x)k僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)當(dāng)a2時(shí)，試比較f(x)與1的大小解(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)ln x，定義域是(0，)f(x).令f(x)0，得x或x2.因?yàn)楫?dāng)0<x<或x>2時(shí)，f(x)>0，當(dāng)<x<2時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在，(2，)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以f(x)的極大值是f3ln 2，極小值是f(2)ln 2.因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f(x)；當(dāng)x時(shí)，f(x)，所以當(dāng)g(x)f(x)k僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(3ln 2，)(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)ln x，定義域是(0，)，令h(x)f(x)1ln x1，則h(x)>0，所以h(x)在(0，)上是增函數(shù)當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>h(1)0，即f(x)>1；當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)<h(1)0，即f(x)<1；當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)0，即f(x)1.B組能力提高10定義在上的函數(shù)f(x)，f(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f(x)<f(x)tan x成立，則()A.f>f Bf(1)<2fsin 1C.f>f D.f<f答案D解析f(x)<f(x)tan x，即f(x)sin xf(x)cos x>0，>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而<，即f<f.11直線ya分別與直線y2(x1)，曲線yxln x交于點(diǎn)A，B，則|AB|的最小值為_答案解析解方程2(x1)a，得x1.設(shè)方程xln xa的根為t(t>0)，則tln ta，則|AB|.設(shè)g(t)1(t>0)，則g(t)(t>0)，令g(t)0，得t1.當(dāng)t(0,1)時(shí)，g(t)<0；當(dāng)t(1，)時(shí)，g(t)>0，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值為.12已知函數(shù)f(x)aln(x1)x2在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且pq，不等式>1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案15，)解析，表示點(diǎn)(p1，f(p1)與點(diǎn)(q1，f(q1)連線的斜率，因?yàn)閜，q(0,1)，所以1<p1<2,1<q1<2，即函數(shù)圖象在區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，即f(x)>1在(1,2)內(nèi)恒成立由定義域可知x>1，所以f(x)2x>1，即>12x，所以a>(12x)(x1)在(1,2)內(nèi)恒成立設(shè)y(12x)(x1)，則y2x23x12(x)2，當(dāng)1x2時(shí)，函數(shù)y2(x)2的最大值為15，所以a15，即a的取值范圍為15，)13已知函數(shù)f(x)a.(1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(0,4)，求函數(shù)f(x)的最大值；(2)當(dāng)a<1時(shí)，若函數(shù)g(x)xf(x)x22x2在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(參考數(shù)值：ln 20.7)解(1)f(x)aa，f(1)a，f(1)a.f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為yaa(x1)，即yax2a.又該切線過(guò)點(diǎn)(0,4)，a2.f(x)2，f(x)2，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)在單調(diào)遞增；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)在單調(diào)遞減當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值f22e2.(2)g(x)xf(x)x22x2a(ln xx2)x22x2，g(x)a2x2，令g(x)0，得x1，x21，顯然x1<，在上g(x)<0，在(1,2)上g(x)>0，故g(x)在上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)要使g(x)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)g(x)的極小值g(1)a10，即a1.即即由ln 20.7，可知<，<a.得a不存在綜上，a的取值范圍為<a或a1.