高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第4講 推理與證明練習(xí) 文

第4講推理與證明1(2016山東)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.答案n(n1)解析觀察等式右邊的規(guī)律：第1個(gè)數(shù)都是，第2個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)行數(shù)n，第3個(gè)數(shù)為n1.2(2016課標(biāo)全國(guó)甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_答案1和3解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.熱點(diǎn)一歸納推理1歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理2歸納推理的思維過程如下：例1(1)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(8,12)_.(2)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有_答案(1)288(2)f(2n)>(n2，nN*)解析(1)原已知式子可化為N(n,3)n2nn2n，N(n,4)n2n2n，N(n,5)n2nn2n，N(n,6)2n2nn2n，由歸納推理可得N(n，k)n2n，故N(8,12)828288.(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*)思維升華歸納遞推思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85(2)觀察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推測(cè)，1515n(n1)(n2)(n3)_.答案(1)D(2)n(n1)(n2)(n3)(n4)解析(1)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件(2)觀察所給等式的左側(cè)和右側(cè)并歸納推理，可以得到答案熱點(diǎn)二類比推理1類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理2類比推理的思維過程如下：例2(1)已知結(jié)論：“在正ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是ABC的重心，則2”若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”，則等于()A1 B2 C3 D4(2)在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)A，B分別是離心率為e的圓錐曲線1的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在該曲線上一同學(xué)已正確地推得：當(dāng)m>n>0時(shí)，有e(sin Asin B)sin C類似地，當(dāng)m>0，n<0時(shí)，有e(_)sin C.答案(1)C(2)|sin Asin B|解析(1)如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則易知其高AM，此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等積法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.(2)設(shè)ABC中角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c.ABC的頂點(diǎn)A，B分別是離心率為e的圓錐曲線1的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)C在該曲線上，m>0>n時(shí)，曲線是雙曲線，離心率e.由雙曲線定義得|ba|2，得e|ba|c.由正弦定理，得e|sin Asin B|sin C.思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比跟蹤演練2(1)若等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為a1(n1).類似地，請(qǐng)完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)積為Tn，則數(shù)列_為等比數(shù)列，通項(xiàng)為_(2)若點(diǎn)P0(x0，y0)在橢圓1(a>b>0)外，過點(diǎn)P0作該橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為1.那么對(duì)于雙曲線1(a>0，b>0)，類似地，可以得到切點(diǎn)弦所在直線的方程為_答案(1)b1()n1(2)1解析(1)因?yàn)樵诘炔顢?shù)列an中前n項(xiàng)和為Sn，且寫成了a1(n1)，所以在等比數(shù)列bn中應(yīng)研究前n項(xiàng)積Tn開n次方的形式等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，類比可得：數(shù)列為等比數(shù)列，通項(xiàng)為b1()n1.(2)設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過點(diǎn)P1，P2的切線的方程分別為1，1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，所以1，1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線1上，故切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為1.熱點(diǎn)三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч?，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法例3已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an1) (nN*)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bn2an，求證：bnbn2<b.(1)解由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列故an1(n1)1n.(2)證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因?yàn)閎nbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n<0，所以bnbn2<b.思維升華(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時(shí)候分析法和綜合法交替使用跟蹤演練3(1)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1>0，公差d>0.若a11，d2，且，成等比數(shù)列，求整數(shù)m的值；求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都不成等差數(shù)列解a11，d2，a47，am2m1.，成等比數(shù)列，()2，(2m1)2492.a1>0，d>0，m25.證明假設(shè)存在mN*，使，成等差數(shù)列，即，化簡(jiǎn)，得d23a.又a1>0，d>0，am1a1md>d，3a>3d2>d2，與d23a矛盾，因此假設(shè)不成立，故原命題得證.1將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，試猜測(cè)S1S3S5S2 015_.押題依據(jù)數(shù)表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數(shù)表中對(duì)應(yīng)的各組包含的正整數(shù)的和的計(jì)算為依托，圍繞簡(jiǎn)單的計(jì)算、歸納猜想的應(yīng)用等，考查考生歸納猜想能力以及對(duì)邏輯推理證明步驟的掌握程度答案1 0084解析由題意知，當(dāng)n1時(shí)，S1114；當(dāng)n2時(shí)，S1S31624；當(dāng)n3時(shí)，S1S3S58134；當(dāng)n4時(shí)，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.S1S3S5S2 0151 0084.2已知下列不等式：x2，x3，x4，則第n個(gè)不等式為_押題依據(jù)根據(jù)n個(gè)等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點(diǎn)，相對(duì)而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機(jī)率較大答案xn1解析已知所給不等式的左邊第一個(gè)式子都是x，不同之處在于第二個(gè)式子，當(dāng)n1時(shí)，為；當(dāng)n2時(shí)，為；當(dāng)n3時(shí)，為；顯然式子中的分子與分母是對(duì)應(yīng)的，分母為xn，分子是nn，所以不等式左邊的式子為x，顯然不等式右邊的式子為n1，所以第n個(gè)不等式為xn1.3設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列押題依據(jù)反證法是一種重要的證明方法，對(duì)含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時(shí)有涉及證明假設(shè)Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與q0矛盾，故Sn不是等比數(shù)列A組專題通關(guān)1下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()ycos x(xR)是三角函數(shù)；三角函數(shù)是周期函數(shù)；ycos x(xR)是周期函數(shù)A BC D答案B解析根據(jù)“三段論”：“大前提”“小前提”“結(jié)論”可知：ycos x(xR)是三角函數(shù)是“小前提”；三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；ycos x(xR)是周期函數(shù)“結(jié)論”故“三段論”模式排列順序?yàn)?故選B.2設(shè)a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一個(gè)不大于2D至少有一個(gè)不小于2答案C解析假設(shè)a，b，c都大于2，即a>2，b>2，c>2，將三式相加，得abc>6，又因?yàn)閍2，b2，c2，所以abc6，所以假設(shè)不成立，故選C.3分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證<a”的索因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0答案C解析由a>b>c，且abc0可得bac，a>0，c<0.要證<a，只要證(ac)2ac<3a2，即證a2aca2c2>0，即證a(ac)(ac)(ac)>0，即證a(ac)b(ac)>0，即證(ac)(ab)>0.故求證“<a”索的因應(yīng)是(ac)(ab)>0，故選C.4某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一個(gè)人說了真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是()A甲 B乙C丙 D丁答案A解析假如甲說了真話，則乙、丙、丁都說了假話，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠寶，顯然矛盾，故甲說了假話，即甲是小偷，故選A.5設(shè)a，bR，定義：M(a，b)，m(a，b)，則下列式子錯(cuò)誤的是()AM(a，b)m(a，b)abBm(|ab|，|ab|)|a|b|CM(|ab|，|ab|)|a|b|Dm(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)答案B解析M(a，b)m(a，b)m(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)，D正確；M(a，b)m(a，b)ab，A正確；m(|ab|，|ab|)B錯(cuò)誤；M(|ab|，|ab|)C正確故選B.6.如圖，在單位圓中，用三角形的重心公式G(，)研究?jī)?nèi)接正三角形ABC(點(diǎn)A在x軸上)，有結(jié)論：cos 0cos cos 0.有位同學(xué)，把正三角形ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)，可以得到的一個(gè)結(jié)論是_答案cos cos()cos()0解析在把正三角形ABC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角的過程中，三個(gè)角始終相差，所以得到cos cos()cos()0.7宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著四元玉鑒卷中“茭草形段”第一個(gè)問題“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵(同垛)之問底子(每層三角形邊茭草束數(shù)，等價(jià)于層數(shù))幾何？”中探討了“垛枳術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束，下一層3束，再下一層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層茭草束數(shù))，則本問題中三角垛底層茭草總束數(shù)為_答案120解析由題意，第n層茭草束數(shù)為12n，136680，即為n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)680，即有n(n1)(n2)151617，n15，120.8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析由題意知，凸函數(shù)滿足f()，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sin Asin Bsin C3sin3sin.9某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解方法一(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.10已知a，b，m為非零實(shí)數(shù)，且a2b22m0，12m0.(1)求證：；(2)求證：m.證明(1)(分析法)要證成立，只需證()(a2b2)9，即證149，即證4.根據(jù)基本不等式，有2 4成立，所以原不等式成立(2)(綜合法)因?yàn)閍2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因?yàn)閍2b2m2>0.所以m>2，故m1舍去，所以m.B組能力提高11已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a，依次連接正方形ABCD各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形，由此規(guī)律，依次得到一系列的正方形，如圖所示現(xiàn)有一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí)，沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段則這10條線段長(zhǎng)度的平方和是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析由題意可知，這只小蟲爬行的第一條線段長(zhǎng)度的平方為a(a)2a2，第二條線段長(zhǎng)度的平方為a(a)2a2，第三條線段長(zhǎng)度的平方為a(a)2a2，從而可知，小蟲爬行的線段長(zhǎng)度的平方可以構(gòu)成以aa2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的前10項(xiàng)和為S10.故選A.12對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59，則m的值為_答案8解析由已知可觀察出m3可分裂為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的一個(gè)為(m1)m1.當(dāng)m8時(shí)，最小的數(shù)為57，第二個(gè)便是59.m8.13如圖(1)，已知O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊分別于點(diǎn)A，B，C，則1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”：1.請(qǐng)運(yùn)用類比思想，如圖(2)所示，在空間四面體VBCD中，任取一點(diǎn)O，連接VO，DO，BO，CO并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，用“體積法”可得的類似結(jié)論為_答案1解析利用類比推理，面積類比體積14蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)；(2)證明：<.(1)解f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，當(dāng)n2時(shí)，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.(2)證明當(dāng)k2時(shí)，<()所以<1(1)()()1(1)<1.