高考數學大二輪總復習與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第1講 集合與常用邏輯用語練習 理

第1講集合與常用邏輯用語1(2016課標全國乙)設集合Ax|x24x3<0，Bx|2x3>0，則AB等于()A. B.C. D.答案D解析由Ax|x24x3<0x|1<x<3，Bx|2x3>0，得AB，故選D.2(2016北京)設a，b是向量，則“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案D解析若|a|b|成立，則以a，b為鄰邊構成的四邊形為菱形，ab，ab表示該菱形的對角線，而菱形的對角線不一定相等，所以|ab|ab|不一定成立；反之，若|ab|ab|成立，則以a，b為鄰邊構成的四邊形為矩形，而矩形的鄰邊不一定相等，所以|a|b|不一定成立，所以“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要條件3(2016浙江)命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2答案D解析原命題是全稱命題，條件為xR，結論為nN*，使得nx2，其否定形式為特稱命題，條件中改量詞，并否定結論，只有D選項符合1.集合是高考必考知識點，經常以不等式解集、函數的定義域、值域為背景考查集合的運算，近幾年有時也會出現一些集合的新定義問題.2.高考中考查命題的真假判斷或命題的否定，考查充要條件的判斷.熱點一集合的關系及運算1集合的運算性質及重要結論(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2集合運算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；(2)若已知的集合是點集，用數形結合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解例1(1)已知集合Ax|<0，By|ysin ，nZ，則AB等于()Ax|1<x<1 B1,0,1C1,0 D0,1(2)若X是一個集合，是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足：X屬于，空集屬于；中任意多個元素的并集屬于；中任意多個元素的交集屬于.則稱是集合X上的一個拓撲已知集合Xa，b，c，對于下面給出的四個集合：，a，c，a，b，c；，b，c，b，c，a，b，c；，a，a，b，a，c；，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合X上的一個拓撲的集合的所有序號是_答案(1)C(2)解析(1)因為Ax|<0x|2<x<1，By|ysin ，nZ0，1,1，所以AB1,0(2)，a，c，a，b，c，但是aca，c，所以錯；都滿足集合X上的一個拓撲的集合的三個條件所以正確；a，ba，ca，b，c，故錯所以答案為.思維升華(1)關于集合的關系及運算問題，要先對集合進行化簡，然后再借助Venn圖或數軸求解(2)對集合的新定義問題，要緊扣新定義集合的性質探究集合中元素的特征，將問題轉化為熟悉的知識進行求解，也可利用特殊值法進行驗證跟蹤演練1(1)已知集合Ay|ysin x，xR，集合Bx|ylg x，則(RA)B為()A(，1)(1，) B1,1C(1，) D1，)(2)設集合Mx|mxm，Nx|nxn，且M，N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“長度”，那么集合MN的“長度”的最小值是()A. B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)因為Ay|ysin x，xR1,1，Bx|ylg x(0，)所以(RA)B(1，)故答案為C.(2)由已知，可得即0m，即n1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M，N.所以MN.此時集合MN的“長度”的最小值為.故選C.熱點二四種命題與充要條件1四種命題中原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假2若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，則p，q互為充要條件例2(1)下列命題：已知m，n表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，并且m，n，則“”是“mn”的必要不充分條件；不存在x(0,1)，使不等式log2x<log3x成立；“若am2<bm2，則a<b”的逆命題為真命題其中正確的命題序號是_(2)已知服從正態(tài)分布N(1，2)，aR，則“P(>a)0.5”是“關于x的二項式3的展開式的常數項為3”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分又不必要條件D充要條件答案(1)(2)A解析(1)當時，n可以是平面內任意一直線，所以得不到mn，當mn時，m，所以n，從而，故“”是“mn”的必要不充分條件所以正確log2x，log3x，因為lg 2<lg 3，所以>，當x(0,1)時，<，即log2x<log3x恒成立，所以錯誤中原命題的逆命題為：若a<b，則am2<bm2，顯然當m20時不正確，所以錯誤所以答案應填.(2)由P(>a)0.5，知a1.二項式3展開式的通項公式為Tk1C(ax)3kka3kCx33k，令33k0，得k1，其常數項為a2C3a23，解得a1，“P(>a)0.5”是“關于x的二項式3的展開式的常數項為3”的充分不必要條件，故選A.思維升華充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若pq，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若pq，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)(2)集合法：利用集合間的包含關系例如，若AB，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充要條件(3)等價法：將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題跟蹤演練2(1)下列四個結論中正確的個數是()“x2x2>0”是“x>1”的充分不必要條件；命題：“xR，sin x1”的否定是“x0R，sin x0>1”；“若x，則tan x1”的逆命題為真命題；若f(x)是R上的奇函數，則f(log32)f(log23)0.A1 B2 C3 D4(2)已知“x>k”是“<1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，) B1，)C(2，) D(，1答案(1)A(2)A解析(1)對于，x2x2>0x>1或x<2，故“x2x2>0”是“x>1”的必要不充分條件，所以錯誤；對于，“若x，則tan x1”的逆命題為“若tan x1，則x”，tan x1推出的是xk，kZ.所以錯誤對于，log32log23，所以錯誤正確故選A.(2)由<1，可得1<0，所以x<1或x>2，因為“x>k”是“<1”的充分不必要條件，所以k2.熱點三邏輯聯結詞、量詞1命題pq，只要p，q有一真，即為真；命題pq，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題2命題pq的否定是(綈p)(綈q)；命題pq的否定是(綈p)(綈q)3“xM，p(x)”的否定為“x0M，綈p(x0)”；“x0M，p(x0)”的否定為“xM，綈p(x)”例3(1)已知命題p：在ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要條件；命題q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要條件，則下列選項中正確的是()Ap真q假 Bp假q真C“pq”為假 D“pq”為真(2)已知命題p：“x1,2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”若命題“(綈p)q”是真命題，則實數a的取值范圍是()Aa2或a1 Ba2或1a2Ca>1 D2a1答案(1)C(2)C解析(1)ABC中，C>Bc>b2Rsin C>2Rsin B(R為ABC外接圓半徑)，所以C>Bsin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要條件，命題p是假命題若c0，當a>b時，則ac20bc2，故a>bac2>bc2，若ac2>bc2，則必有c0，則c2>0，則有a>b，所以ac2>bc2a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，故命題q也是假命題，故選C.(2)命題p為真時a1；“x0R，x2ax02a0”為真，即方程x22ax2a0有實根，故4a24(2a)0，解得a1或a2.(綈p)q為真命題，即(綈p)真且q真，即a>1.思維升華(1)命題的否定和否命題是兩個不同的概念：命題的否定只否定命題的結論，真假與原命題相對立；(2)判斷命題的真假要先明確命題的構成由命題的真假求某個參數的取值范圍，還可以考慮從集合的角度來思考，將問題轉化為集合間的運算跟蹤演練3(1)已知命題p：x0R，使sin x0；命題q：x，x>sin x，則下列判斷正確的是()Ap為真 B綈q為假Cpq為真 Dpq為假(2)若“x，mtan x1”為真命題，則實數m的最大值為_答案(1)B(2)0解析(1)由于三角函數ysin x的有界性：1sin x01，所以p假；對于q，構造函數yxsin x，求導得y1cos x，又x，所以y>0，y為單調遞增函數，有y>0恒成立，即x，x>sin x，所以q真判斷可知，B正確(2)令f(x)tan x1，則函數f(x)在上為增函數，故f(x)的最小值為f0，x，mtan x1，故m(tan x1)min，m0，故實數m的最大值為0.1已知函數f(x)的定義域為M，g(x)ln(1x)的定義域為N，則M(RN)等于()Ax|1x<1 Bx|x>1Cx|x<1 Dx|x1押題依據集合的運算在歷年高考中的地位都很重要，已成為送分必考試題集合的運算常與不等式(特別是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函數的定義域、函數的值域等知識相交匯答案C解析Mx|1x2>0x|1<x<1，Nx|1x>0x|x>1，RNx|x1，M(RN)x|1<x<1x|x1x|x<1，故選C.2已知集合M(x，y)|yf(x)，若對于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20成立，則稱集合M是“集合”給出下列4個集合：M(x，y)|y；M(x，y)|yex2；M(x，y)|ycos x；M(x，y)|yln x其中是“集合”的所有序號為()A BC D押題依據以新定義為背景，考查元素與集合的關系，是近幾年高考的熱點，解題時可從集合的性質(元素的性質、運算性質)作為突破口答案A解析對于，若x1x2y1y20，則x1x20，即(x1x2)21，可知錯誤；對于，取(1,0)M，且存在(x2，y2)M，則x1x2y1y21x20y2x2>0，可知錯誤同理，可證得和都是正確的故選A.3設R，則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件押題依據充分、必要條件的判定一直是高考考查的重點，該類問題必須以其他知識為載體，綜合考查數學概念答案A解析當0時，f(x)cos(x)cos x為偶函數成立；但當f(x)cos(x)為偶函數時，k，kZ，所以0時，必要條件不成立故選A.4給出下列四個命題，其中正確的命題有()函數ysin 2xcos 2x在x上的單調遞增區(qū)間是；a1，a2，b1，b2均為非零實數，集合Ax|a1xb1>0，Bx|a2xb2>0，則“”是“AB”的必要不充分條件；若pq為真命題，則pq也為真命題；命題x0R，xx01<0的否定為xR，x2x1<0.A0個 B1個 C2個 D3個押題依據常用邏輯用語中命題真假的判斷、充要條件、全稱量詞、存在量詞及邏輯聯結詞是數學學習的重要工具，也是高考考查的熱點問題答案C解析ysin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，又x，因此遞增區(qū)間是；充分性不成立，如a11，b11，a21b2，滿足，但Ax|x1>0(1，)，Bx|x1>0(，1)，AB；必要性成立：ABa1a2>0；pq為真命題時，p，q不一定全真，因此pq不一定為真命題；命題x0R，xx01<0的否定應為xR，x2x10.所以為真，選C.A組專題通關1已知集合Ax|x1>0，B2，1,0,1，則(RA)B等于()A2，1 B2C1,0,1 D0,1答案A解析Ax|x>1，所以RAx|x1，所以有(RA)B2，1，故選A.2已知集合Mx|log2x<3，Nx|x2n1，nN，則MN等于()A(0,8) B3,5,7C0,1,3,5,7 D1,3,5,7答案D解析由M中不等式變形得：log2x<3log28，即0<x<8，Mx|0<x<8，Nx|x2n1，nN，MN1,3,5,7，故選D.3已知集合A1,2,3,4,5，B5,6,7，C(x，y)|xA，yA，xyB，則C中所含元素的個數為()A5 B6C12 D13答案D解析若x5A，y1A，則xy516B，即點(5,1)C；同理，(5,2)C，(4,1)C，(4,2)C，(4,3)C，(3,2)C，(3,3)C，(3,4)C，(2,3)C，(2,4)C，(2,5)C，(1,4)C，(1,5)C.所以C中所含元素的個數為13，應選D.4已知集合Mx|ylg，Ny|yx22x3，則(RM)N等于()Ax|0<x<1 Bx|x>1Cx|x2 Dx|1<x<2答案C解析由>0得0<x<1，故Mx|0<x<1，RMx|x0或x1，y(x1)222，故Ny|y2，則(RM)Nx|x25設命題甲：ax22ax1>0的解集是實數集R；命題乙：0<a<1，則命題甲是命題乙成立的()A充分不必要條件 B充要條件C必要不充分條件 D既非充分又非必要條件答案C解析由命題甲ax22ax1>0的解集是實數集R，可知a0時，原式1>0恒成立，當a0時，解得0<a<1，所以0a<1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選C.6設命題p：函數ysin 2x的最小正周期為；命題q：函數ycos x的圖象關于直線x對稱則下列判斷正確的是()Ap為真 B綈q為假Cpq為假 Dpq為真答案C解析p是假命題，q是假命題，因此只有C正確7已知命題p：<1，命題q：(xa)(x3)>0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是()A(3，1 B3，1C(，1 D(，3答案C解析由p：<1，得<0，1<x<1，而p是q的充分不必要條件，即pq，qp，所以a1，a1.故選C.8命題“若x23x20，則x1”的逆否命題為：“若x1，則x23x20”；“x1”是“x24x30”的充要條件；若pq為假命題，則p、q均為假命題；對于命題p：x0R，x2x020，則綈p：xR，x22x2>0.上面四個命題中正確的是()A BC D答案C解析對于命題：若p，則q，其逆否命題是若綈q，則綈p，故對；答案從A，C中選；x1時x24x30成立，所以“x1”是“x24x30”的充分條件，當x24x30時x1或x3，所以“x1”不是“x24x30”的必要條件；所以“x1”是“x24x30”的充分不必要條件故錯，故選C.9已知集合Mx|x2<4，Nx|x22x3<0，則集合MN_.答案(1,2)解析由不等式的解法，可得Mx|x2<4x|2<x<2，Nx|x22x3<0x|1<x<3，由交集的計算方法可得，MNx|1<x<210已知集合Ax|1<x5，Bx|m5<x2m3，且AB，則實數m的取值范圍是_答案1,4解析解得1m4.故應填1,411“a>1”是“函數f(x)axcos x在R上單調遞增”的_(空格處請?zhí)顚憽俺浞植槐匾獥l件”、“必要不充分條件”、“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)答案充分不必要條件解析f(x)axcos x在R上單調遞增f(x)asin x0在R上恒成立a(sin x)max1，所以“a>1”是“函數f(x)axcos x在R上單調遞增”的充分不必要條件12給出下列四個命題：命題“若，則cos cos ”的逆否命題；“x0R，使得xx0>0”的否定是：“xR，均有x2x<0”；命題“x24”是“x2”的充分不必要條件；p：aa，b，c，q：aa，b，c，p且q為真命題其中真命題的序號是_答案解析對，因命題“若，則cos cos ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，正確；對，命題“x0R，使得xx0>0”的否定應是：“xR，均有x2x0”，故錯；對，因為由“x24”得x2，所以“x24”是“x2”的必要不充分條件，故錯；對，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故正確B組能力提高13下列說法中，不正確的是()A已知a，b，mR，命題“若am2<bm2，則a<b”為真命題B命題“x0R，xx02>0”的否定是：“xR，x2x20”C命題“p或q”為真命題，則命題p和命題q均為真命題D“x>3”是“x>2”的充分不必要條件答案C解析A正確，因為此時m2>0；B正確，特稱命題的否定就是全稱命題；C不正確，因為命題“p或q”為真命題，那么p，q有一個真，p或q就是真命題；D項，小集合是大集合的充分不必要條件故選C.14已知p：x0R，mx20，q：xR，x22mx1>0，若pq為假命題，則實數m的取值范圍是()A1，) B(，1C(，2 D1,1答案A解析pq為假命題，p和q都是假命題由p：x0R，mx20為假命題，得綈p：xR，mx22>0為真命題，m0.由q：xR，x22mx1>0為假命題，得綈q：x0R，x2mx010為真命題，(2m)240m21m1或m1.由和得m1.故選A.15下列選項錯誤的是()A命題“若x1，則x23x20”的逆否命題是“若x23x20，則x1”B“x>2”是“x23x2>0”的充分不必要條件C若“命題p：xR，x2x10”，則“綈p：x0R，xx010”D若“pq”為真命題，則p，q均為真命題答案D解析對于若“pq”為真命題，則p、q中至少有一個為真命題，D選項錯誤故選D.16已知集合M，若3M,5M，則實數a的取值范圍是_答案(9,25解析集合M，得(ax5)(x2a)<0，當a0時，顯然不成立，當a>0時，原不等式可化為(x)<0，若<，只需滿足解得1a<；若>，只需滿足解得9<a25，當a<0時，不符合條件，綜上，答案為(9,2517已知集合M為點集，記性質P為“對(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M”給出下列集合：(x，y)|x2y，(x，y)|2x2y2<1，(x，y)|x2y2x2y0，(x，y)|x3y3x2y0，其中具有性質P的點集序號是_答案解析對于：取k，點(1,1)(x，y)|x2y，但(，)(x，y)|x2y，故是不具有性質P的點集對于：(x，y)(x，y)|2x2y2<1，則點(x，y)在橢圓2x2y21內部，所以對0<k<1，點(kx，ky)也在橢圓2x2y21的內部，即(kx，ky)(x，y)|2x2y2<1，故是具有性質P的點集對于：(x)2(y1)2，點(，)在此圓上，但點(，)不在此圓上，故是不具有性質P的點集對于：(x，y)(x，y)|x3y3x2y0，對于k(0,1)，因為(kx)3(ky)3(kx)2(ky)0x3y3x2y0，所以(kx，ky)(x，y)|x3y3x2y0，故是具有性質P的點集綜上，具有性質P的點集是.