高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 二 中檔題專練 文

二、中檔題專練 (一)12016長(zhǎng)春監(jiān)測(cè)已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x.(1)求函數(shù)yf(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中a7，若銳角A滿足f，且sinBsinC，求ABC的面積解(1)f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x2sin，因此f(x)的最小正周期為T.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k2x2k(kZ)，即x(kZ)(2)由f2sin2sinA，又A為銳角，所以A.由正弦定理可得2R，sinBsinC，則bc13，由余弦定理可知，cosA，可求得bc40，故SABCbcsinA10.22016開(kāi)封一模如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，ADCDAB2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示(1)求證：AD平面BCD；(2)求三棱錐CABD的高解(1)證明：平面ADC平面ABC，且ACBC，BC平面ACD，即ADBC，又ADCD，AD平面BCD.(2)由(1)得ADBD，SADB2，三棱錐BACD的高BC2，SACD2，2h22，可解得h.32016河南質(zhì)檢某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過(guò)一年的生長(zhǎng)發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在50,60)，90,100的數(shù)據(jù))(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；(2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機(jī)抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在90,100內(nèi)的概率解(1)由題意可知，樣本容量n50，y0.004，x0.1000.0040.0100.0160.0400.030.(2)由題意可知，高度在80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，記這5株分別為a1，a2，a3，a4，a5，高度在90,100內(nèi)的株數(shù)為2，記這2株分別為b1，b2.抽取2株的所有情況有21種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)其中2株的高度都不在90,100內(nèi)的情況有10種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)所抽取的2株中至少有一株高度在90,100內(nèi)的概率P1.(二)12016云南統(tǒng)檢設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n,3an2Sn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：Sn2Sn<S.解(1)對(duì)任意正整數(shù)n,3an2Sn2，3an12Sn12，3an13an2Sn12Sn0，即3an13an2(Sn1Sn)0，3an13an2an10，解得an13an.當(dāng)n1時(shí)，3a12S12，即a12，an23n1.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an23n1.(2)證明：由(1)可得Sn3n1，Sn13n11，Sn23n21，Sn2SnS43n<0，Sn2Sn<S.22016山西聯(lián)考某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20112012201320142015儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，tx2010，zy5得到下表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2020年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？附：對(duì)于線性回歸方程x，其中，解(1)3，2.2，tizi45，t55，1.2，2.231.21.4，z1.2t1.4.(2)將tx2010，zy5，代入z1.2t1.4，得y51.2(x2010)1.4，即y1.2x2408.4.(3)y1.220202408.415.6，預(yù)測(cè)到2020年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6千億元3. 2016貴州七校聯(lián)考如圖，幾何體EFABCD中，CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形，ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，ADF90.(1)求證：ACFB；(2)求幾何體EFABCD的體積解(1)證明：由題意得，ADDC，ADDF，且DCDFD，AD平面CDEF，ADFC.四邊形CDEF為正方形，DCFC，DCADD，F(xiàn)C平面ABCD，F(xiàn)CAC.又四邊形ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，則有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)連接EC，過(guò)B作CD的垂線，垂足為N，易知BN平面CDEF，且BN2.VEFABCDVEABCDVBECFS梯形ABCDDESEFCBN，幾何體EFABCD的體積為.(三)12016重慶測(cè)試設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1,22，a2,24，an,22n，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Sk30(2k1)，求正整數(shù)k的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q222，又由題意q>0，故q2，從而an22n1，即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由(1)知a12，數(shù)列an是以22為公比的等比數(shù)列，故Sn(22n1)因此不等式Sk30(2k1)可化為(22k1)30(2k1)，即(2k1)(2k1)30(2k1)，因?yàn)?k1>0，所以2k46，即klog246.又5<log246<6，所以正整數(shù)k的最小值為6.2某青年教師專項(xiàng)課題進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系”的課題研究，對(duì)于高二年級(jí)800名學(xué)生上學(xué)期期末數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人，物理優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有100人(1)能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系？(2)4名成員隨機(jī)分兩組，每組2人，一組負(fù)責(zé)收集成績(jī)，另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理，求學(xué)生甲分到負(fù)責(zé)收集成績(jī)組且學(xué)生乙分到負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理組的概率附：K2，nabcdP(K2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828解(1)由題意可得列聯(lián)表：物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀60140200數(shù)學(xué)不優(yōu)秀100500600總計(jì)160640800因?yàn)镵216.667>10.828，所以能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)(2)設(shè)其他學(xué)生為丙和丁，4人分組的情況如下表：小組123456收集成績(jī)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁數(shù)據(jù)處理丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分組的情況總共有6種，學(xué)生甲負(fù)責(zé)收集成績(jī)且學(xué)生乙負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理占2種，所以學(xué)生甲負(fù)責(zé)收集成績(jī)且學(xué)生乙負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理的概率P.32016廣州模擬在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1C上一點(diǎn)(1)當(dāng)CF2時(shí)，證明：B1F平面ADF；(2)若FDB1D，求三棱錐B1ADF的體積解(1)證明：因?yàn)锳BAC，D是BC的中點(diǎn)，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因?yàn)锽1B底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因?yàn)锽CB1BB，所以AD平面B1BCC1.因?yàn)锽1F平面B1BCC1，所以ADB1F.在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90.(或通過(guò)計(jì)算FDB1F，B1D，得到B1FD為直角三角形)所以B1FFD.因?yàn)锳DFDD，所以B1F平面ADF.(2)由(1)可得AD平面B1DF，AD2，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以CD1.在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.因?yàn)镕DB1D，所以RtCDFRtBB1D，所以，所以DF，所以VB1ADFSB1DFAD2.(四)12016貴州八校聯(lián)考在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大?。?2)設(shè)BC中點(diǎn)為D，且AD，求a2c的最大值及此時(shí)ABC的面積解(1)因?yàn)閙n，故有(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0由正弦定理可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac，由余弦定理可知cosB，因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)設(shè)BAD，則在BAD中，由B可知，由正弦定理及AD有2；所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，從而a2c2cos6sin4sin，由可知，所以當(dāng)，即時(shí)，a2c的最大值為4；此時(shí)a2，c，所以SacsinB.2如圖，已知AF平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4.(1)求證：AC平面BCE；(2)求三棱錐EBCF的體積解(1)證明：過(guò)點(diǎn)C作CMAB，垂足為M，因?yàn)锳DDC，所以四邊形ADCM為矩形，所以AMMB2，又AD2，AB4，所以AC2，CM2，BC2，所以AC2BC2AB2，所以ACBC，因?yàn)锳F平面ABCD，AFBE，所以BE平面ABCD，所以BEAC.又BE平面BCE，BC平面BCE，且BEBCB，所以AC平面BCE.(2)因?yàn)锳F平面ABCD，所以AFCM，又CMAB，AF平面ABEF，AB平面ABEF，AFABA，所以CM平面ABEF.VEBCFVCBEFBEEFCM242.3電影功夫熊貓3預(yù)計(jì)在2016年1月29日上映某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫?duì)票價(jià)的看法，進(jìn)行了一次調(diào)研，得到了票價(jià)x(單位：元)與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬(wàn)人)的結(jié)果如下表：x(單位：元)30405060y(單位：萬(wàn)人)4.5432.5(1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；(3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)票價(jià)定為多少元時(shí)，能獲得最大票房收入?yún)⒖脊剑海?解(1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負(fù)相關(guān)(2)由表中數(shù)據(jù)可得45，3.5，xiyi4 35，x42500，則0.07，3.50.07456.65，所以，所求線性回歸方程為0.07x6.65.(3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程，若票價(jià)為x元，則渴望觀影人數(shù)為(0.07x6.65)萬(wàn)人，可預(yù)測(cè)票房收入為zx(0.07x6.65)0.07x26.65x，易得，當(dāng)x47.5時(shí)，z取得最大值，即票價(jià)定為47.5元時(shí)，能獲得最大票房收入