高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題六 解析幾何 第1講 直線與圓練習 理

第1講直線與圓1(2016山東)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關系是()A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離答案B解析圓M：x2(ya)2a2，圓心坐標為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圓N的圓心坐標為N(1,1)，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，故選B.2(2016上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy10，則l1與l2的距離是_答案3(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圓，則圓心坐標是_半徑是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圓，則a2a2，解得a2或a1.當a2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去當a1時，原方程為x2y24x8y50，化為標準方程為(x2)2(y4)225，表示以(2，4)為圓心，半徑為5的圓4(2016課標全國乙)設直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點，若|AB|2，則圓C的面積為_答案4解析圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，C到直線yx2a的距離為d.又由|AB|2，得22a22，解得a22，所以圓的面積為(a22)4.考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題.直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中低檔，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).熱點一直線的方程及應用1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2求直線方程要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線3兩個距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d.(2)點(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離公式d.例1(1)已知直線l1：(k3)x(4k)y10與l2：2(k3)x2y30平行，則k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)已知兩點A(3,2)和B(1,4)到直線mxy30的距離相等，則m的值為()A0或 B.或6C或 D0或答案(1)C(2)B解析(1)兩直線平行，則A1B2A2B10且A1C2A2C10或B1C2B2C10，所以有2(k3)2(k3)(4k)0，解得k3或5，且滿足條件，故正確答案為C.(2)依題意，得.所以|3m5|m7|.所以(3m5)2(m7)2，所以8m244m240.所以2m211m60.所以m或m6.思維升華(1)求解兩條直線的平行或垂直問題時要考慮斜率不存在的情況；(2)對解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究跟蹤演練1已知直線l1：ax2y10與直線l2：(3a)xya0，若l1l2，則a的值為()A1 B2C6 D1或2答案D解析由l1l2，則a(3a)20，即a1或a2，選D.熱點二圓的方程及應用1圓的標準方程當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F>0，表示以(，)為圓心，為半徑的圓例2(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24答案(1)D(2)B解析(1)因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x2上，又圓與y軸相切，所以半徑r2，設圓心坐標為(2，b)，則(21)2b24，b23，b，所以選D.(2)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a>2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.思維升華解決與圓有關的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)跟蹤演練2(1)(2015課標全國)一個圓經(jīng)過橢圓1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_(2)兩條互相垂直的直線2xy20和ax4y20的交點為P，若圓C過點P和點M(3,2)，且圓心在直線yx上，則圓C的標準方程為_答案(1)2y2(2)(x6)2(y3)234解析(1)由題意知圓過(4,0)，(0,2)，(0，2)三點，(4,0)，(0，2)兩點的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x，圓心為，半徑為.得該圓的標準方程為(x)2y2.(2)由直線2xy20和直線ax4y20垂直得2a40，故a2，代入直線方程，聯(lián)立解得交點坐標為P(1,0)，易求得線段MP的垂直平分線的方程為xy30，設圓C的標準方程為(xa)2(yb)2r2 (r>0)，則圓心(a，b)為直線xy30與直線yx的交點，由解得圓心坐標為(6，3)，從而得到r234，所以圓C的標準方程為(x6)2(y3)234.熱點三直線與圓、圓與圓的位置關系1直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點線距離法和判別式法(1)點線距離法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r直線與圓相交，dr直線與圓相切，d>r直線與圓相離(2)判別式法：設圓C：(xa)2(yb)2r2，直線l：AxByC0，方程組消去y，得關于x的一元二次方程根的判別式，則直線與圓相離<0，直線與圓相切0，直線與圓相交>0.2圓與圓的位置關系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離設圓C1：(xa1)2(yb1)2r，圓C2：(xa2)2(yb2)2r，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關系的判斷方法如下：(1)d>r1r2兩圓外離；(2)dr1r2兩圓外切；(3)|r1r2|<d<r1r2兩圓相交；(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切；(5)0d<|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含例3(1)已知直線2x(y3)m40(mR)恒過定點P，若點P平分圓x2y22x4y40的弦MN，則弦MN所在直線的方程是()Axy50 Bxy30Cxy10 Dxy10(2)已知P(x，y)是直線kxy40(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2y22y0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A3 B.C2 D2答案(1)A(2)D解析(1)對于直線方程2x(y3)m40(mR)，取y3，則必有x2，所以該直線恒過定點P(2,3)設圓心是C，則易知C(1,2)，所以kCP1，由垂徑定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN過點P(2,3)，故弦MN所在直線的方程為y3(x2)，即xy50.(2)如圖，把圓的方程化成標準形式得x2(y1)21，所以圓心為(0,1)，半徑為r1，四邊形PACB的面積S2SPBC，所以若四邊形PACB的最小面積是2，則SPBC的最小值為1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值為2，此時|PC|最小，|PC|為圓心到直線kxy40的距離d，此時d，即k24，因為k>0，所以k2.思維升華(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量(2)圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題跟蹤演練3(1)若直線3x4yb與圓x2y22x2y10相切，則b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12(2)已知在平面直角坐標系中，點A(2，0)，B(0,1)到直線l的距離分別為1,2，則這樣的直線l共有_條答案(1)D(2)3解析(1)由題意可得圓心坐標為(1,1)，半徑r1，又直線3x4yb與圓相切，1，b2或12，故選D.(2)由題意得直線l為圓(x2)2y21(A為圓心)與圓x2(y1)24(B為圓心)的公切線，|AB|312，兩圓外切，兩圓共有3條公切線故答案為3.1已知圓C關于y軸對稱，經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成的兩段弧長比為12，則圓C的方程為()A(x)2y2B(x)2y2Cx2(y)2Dx2(y)2押題依據(jù)直線和圓的方程是高考的必考點，經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，利用幾何法求圓的方程也是數(shù)形結(jié)合思想的應用答案C解析由已知得圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為.設圓心坐標為(0，a)，半徑為r，則rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圓C的方程為x2(y)2.2設m，n為正實數(shù)，若直線(m1)x(n1)y40與圓x2y24x4y40相切，則mn()A有最小值1，無最大值B有最小值32，無最大值C有最大值32，無最小值D有最小值32，最大值32押題依據(jù)直線與圓的位置關系是高考命題的熱點，本題與基本不等式結(jié)合考查，靈活新穎，加之直線與圓的位置關系本身承載著不等關系，因此此類題在高考中出現(xiàn)的可能性很大答案B解析根據(jù)圓心到直線的距離是2得到m，n的關系，然后結(jié)合不等式即可求解由直線(m1)x(n1)y40與圓(x2)2(y2)24相切，可得2，整理得mn1mn，由m，n為正實數(shù)，可知mn2，令t，則2t1t2，因為t>0，所以t1，所以mn32.故mn有最小值32，無最大值故選B.3若圓x2y24與圓x2y2ax2ay90(a>0)相交，公共弦的長為2，則a_.押題依據(jù)本題已知公共弦長，求參數(shù)的范圍，情境新穎，符合高考命題的思路答案解析聯(lián)立兩圓方程可得公共弦所在直線方程為ax2ay50，故圓心(0,0)到直線ax2ay50的距離為(a>0)故22，解得a2，因為a>0，所以a.A組專題通關1設A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|PB|，若直線PA的方程為xy10，則直線PB的方程是()Axy50 B2xy10C2yx40 D2xy70答案A解析由于直線PA的傾斜角為45，且|PA|PB|，故直線PB的傾斜角為135，又由題意知P(2,3)，直線PB的方程為y3(x2)，即xy50.故選A.2設aR，則“a1”是“直線axy10與直線xay50平行”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析直線axy10與直線xay50平行的充要條件為即a1，故a1是兩直線平行的充分而不必要條件故選A.3過P(2,0)的直線l被圓(x2)2(y3)29截得的線段長為2時，直線l的斜率為()A BC1 D答案A解析由題意得直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為yk(x2)，即kxy2k0.由點到直線的距離公式得，圓心到直線l的距離d，由圓的性質(zhì)可得d212r2，即()2129，解得k2，即k.4若圓O：x2y24與圓C：x2y24x4y40關于直線l對稱，則直線l的方程是()Axy0 Bxy0Cxy20 Dxy20答案C解析圓x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圓心C的坐標為(2,2)直線l過OC的中點(1,1)，且垂直于直線OC，易知kOC1，故直線l的斜率為1，直線l的方程為y1x1，即xy20.故選C.5已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.答案A解析兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C1(2，3)，則(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.6已知直線l1：axy10，l2：xy10，l1l2，則a的值為_，直線l1與l2間的距離為_答案1解析l1l2，a111a1，此時l1：xy10，l1，l2之間的距離為.7已知點A(2,0)，B(0,2)，若點C是圓x22xy20上的動點，則ABC面積的最小值是_答案3解析將圓的方程整理為標準方程得(x1)2y21，圓心坐標為(1,0)，半徑r1.A(2,0)，B(0,2)，直線AB的方程為yx2，圓心到直線AB的距離d，ABC中，AB邊上的高的最小值為dr1，又|OA|OB|2，OAOB，|AB|2，故ABC面積的最小值為|AB|(dr)3.8(2016課標全國丙)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|2，則|CD|_.答案4解析設AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，則AC的直線方程為y(x3)，BD的直線方程為y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.9已知點A(3,3)，B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3xy10和l2：xy30的交點，求直線l的方程解解方程組得交點P(1,2)若點A，B在直線l的同側(cè)，則lAB.而kAB，由點斜式得直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.若點A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(4，)，由兩點式得直線l的方程為，即x6y110.綜上所述，直線l的方程為x2y50或x6y110.10(2015課標全國)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標原點，求|MN|.解(1)由題設可知，直線l的方程為ykx1，因為l與C交于兩點，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.B組能力提高11已知點A(2，3)，B(3，2)，若直線kxy1k0與線段AB相交，則k的取值范圍是()A，2 B(，2，)C(，12，) D1,2答案B解析直線kxy1k0恒過點P(1,1)，kPA2，kPB；若直線kxy1k0與線段AB相交，結(jié)合圖象(圖略)得k或k2，故選B.12若方程(x2cos )2(y2sin )21(0<2)的任意一組解(x，y)都滿足不等式y(tǒng)x，則的取值范圍是()A， B，C， D，答案D解析根據(jù)題意可得，方程(x2cos )2(y2sin )21(0<2)的任意一組解(x，y)都滿足不等式y(tǒng)x，表示方程(x2cos )2(y2sin )21(0<2)在yx的左上方(包括相切)，sin，0<2，故選D.13已知點P(x，y)在直線x2y3上移動，當2x4y取得最小值時，過點P引圓(x)2(y)2的切線，則此切線段的長度為_答案解析由題意可知，2x4y2x22y224，當且僅當2x22y，即x2y時，取得等號，此時x，y，則點P到圓心(，)的距離為，所以切線段長為 .14已知以點C(t，)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設直線y2x4與圓C交于點M，N，若|OM|ON|，求圓C的方程(1)證明由題意知圓C過原點O，且|OC|2t2.則圓C的方程為(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.故SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面積為定值(2)解|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC，直線OC的方程為yx，t，解得t2或t2.當t2時，圓心C的坐標為(2,1)，|OC|，此時圓心C到直線y2x4的距離d，圓C與直線y2x4相交于兩點；當t2時，圓心C的坐標為(2，1)，|OC|，此時圓心C到直線y2x4的距離d>，圓C與直線y2x4不相交，t2不符合題意，應舍去綜上，圓C的方程為(x2)2(y1)25.