高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 理

第2講橢圓、雙曲線、拋物線1(2016課標(biāo)全國乙)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1<n<3，故選A.2(2016天津)已知雙曲線1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的半實軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由題意知雙曲線的漸近線方程為yx，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.3(2016課標(biāo)全國甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D2答案A解析如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.4(2016浙江)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_答案9解析拋物線y24x的焦點F(1,0)準(zhǔn)線為x1，由M到焦點的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM110，解得xM9，所以點M到y(tǒng)軸的距離為9.1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長、中點等).熱點一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值例1(1)ABC的兩個頂點為A(4,0)，B(4,0)，ABC周長為18，則C點軌跡方程為()A.1(y0) B.1(y0)C.1(y0) D.1(y0)(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點A(4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓1上，則_.答案(1)D(2)解析(1)ABC的兩頂點A(4,0)，B(4,0)，周長為18，|AB|8，|BC|AC|10.10>8，點C到兩個定點的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義，點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，2a10,2c8，b3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(y0)故選D.(2)由橢圓方程知其焦點坐標(biāo)為(4,0)和(4,0)，恰分別為ABC的頂點A和C的坐標(biāo)，由橢圓定義知|BA|BC|2a10，在ABC中，由正弦定理可知，.思維升華(1)準(zhǔn)確把握圓錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點在不同坐標(biāo)軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定跟蹤演練1(1)已知雙曲線的一個焦點與拋物線x224y的焦點重合，其一條漸近線的傾斜角為30，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1 D.1(2)拋物線y24x上的兩點A，B到焦點的距離之和為8，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_答案(1)B(2)3解析(1)由拋物線x224y得焦點坐標(biāo)為(0,6)，雙曲線的一個焦點與拋物線x224y的焦點相同，c6，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30，即ba，又c2a2b2，a29，b227，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選B.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義及題意知，x11x218，x1x26.線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3.熱點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系例2(1)橢圓：1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_(2)已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作圓x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為()Ay3x By2xCy(1)x Dy(1)x答案(1)1(2)C解析(1)直線y(xc)過點F1(c,0)，且傾斜角為60，所以MF1F260，從而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.(2)由題意作出示意圖，易得直線BC的斜率為，cosCF1F2，又由雙曲線的定義及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故雙曲線的漸近線方程為y(1)x.思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍跟蹤演練2(1)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2F1F2，PF1F230，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.(2)(2015重慶)設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)答案(1)D(2)A解析(1)因為PF2F1F2，PF1F230， 所以|PF2|2ctan 30c，|PF1|c.又|PF1|PF2|c2a，所以，即橢圓C的離心率為.(2)由題作出圖象如圖所示由1可知A(a,0)，F(xiàn)(c,0)易得B，C.kAB，kCD.kAC，kBD.lBD：y(xc)，即yx，lCD：y(xc)，即yx.xDc.點D到BC的距離為.<aac，b4<a2(c2a2)a2b2，a2>b2，0<<1.0<<1.熱點三直線與圓錐曲線判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標(biāo)(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)例3(2015江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點F到直線l：x的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|2|AB|，求直線AB的方程解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時，|AB|，又|CP|3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且|AB|.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點的坐標(biāo)為，從而|PC|.因為|PC|2|AB|，所以，解得k1.此時直線AB的方程為yx1或yx1.思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解跟蹤演練3(1)設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為()A， B2,2C1,1 D4,4(2)設(shè)橢圓C：1與函數(shù)ytan 的圖象相交于A1，A2兩點，若點P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是_答案(1)C(2)，解析(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x2，Q(2,0)，顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20，當(dāng)k0時，x0，此時交點為(0,0)，當(dāng)k0時，0，即4(k22)216k40，解得1k<0或0<k1，綜上，k的取值范圍為1,1，故選C.(2)由題意，得A1，A2兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)A1(x1，y1)，A2(x1，y1)，P(x0，y0)，則有1，1，即y(4x)，y(4x)，兩式相減整理，得.因為直線PA2的斜率的取值范圍是2，1，所以21，所以21，解得.1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線3xy30垂直，以C的右焦點F為圓心的圓(xc)2y22與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為()A1 B2 C. D2押題依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點答案D解析由直線垂直的條件，求出漸近線的斜率，從而得到漸近線方程，根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑，求得b，進(jìn)而求出焦距2c.由已知，得()1，所以，由點F(c,0)到漸近線yx的距離d，可得c，2c2，故選D.2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點(1，)在該橢圓上(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程押題依據(jù)橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長、中點等知識應(yīng)給予充分關(guān)注解(1)由題意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因為橢圓C經(jīng)過點(1，)，所以1，解得a2，所以b23，故橢圓C的方程為1.(2)由(1)知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，顯然>0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以SAOB|F1O|y1y2|，化簡得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圓O的半徑r，所以r，故圓O的方程為x2y2.A組專題通關(guān)1點F為橢圓1(a>b>0)的一個焦點，若橢圓上存在點A使AOF為正三角形，那么橢圓的離心率為()A. B.C. D.1答案D解析如圖所示，設(shè)F為橢圓的右焦點，點A在第一象限，由已知得直線OA的斜率為ktan 60，點A的坐標(biāo)為.點A在橢圓上，1，即1.b2c23a2c24a2b2，又b2a2c2，4a48a2c2c40，e48e240，e242，又e(0,1)，e1.故選D.2(2016浙江)已知橢圓C1：y21(m0)與雙曲線C2：y21(n0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21答案A解析由題意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.3已知雙曲線C：y21的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，且點P的橫坐標(biāo)為2，則PF1Q的周長為()A. B5C. D4答案A解析因為雙曲線C：y21，所以a，b1，c2，故F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)由于點P的橫坐標(biāo)為2，則PQx軸令x2，則有y21，即y.故|QF2|PF2|，|PQ|，|QF1|PF1|PF2|2a.則PF1Q的周長為|PF1|QF1|PQ|.故選A.4設(shè)拋物線E：y22px(p>0)的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為3，若點P為拋物線E上任意一點，A(4,1)，則|PA|PF|的最小值為()A4 B7C42 D10答案B解析由題意，|MF|的最小值為3，3，p6，拋物線E：y212x，拋物線y212x的焦點F的坐標(biāo)是(3,0)；設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|PD|最小，為4(3)7，故選B.5已知雙曲線1(a>0，b>0)與拋物線y28x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|PF|5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為()A. B2C. D3答案A解析拋物線y28x的焦點為F(2,0)，雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，c2a2b24.P是兩曲線的一個交點，且|PF|5，xp25，xp3，y24.P(xp，yp)在雙曲線1上，1.聯(lián)立解得a21，b23.雙曲線的方程為x21.又雙曲線的漸近線方程為yx，點F(2,0)到漸近線的距離為.6已知點A(2,4)在拋物線y22px(p>0)上，且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_答案x21解析點A(2,4)在拋物線y22px(p>0)上，164p，解得p4.拋物線的準(zhǔn)線方程為x2.又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點，c2，又e2，a1，則b2c2a2413，雙曲線的方程為x21.7一動圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為_答案1解析兩定圓的圓心和半徑分別是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件，可得|MO1|R1，|O2M|9R.|MO1|MO2|10>|O1O2|6.由橢圓的定義知點M在以O(shè)1，O2為焦點的橢圓上，且2a10,2c6，b216.動圓圓心的軌跡方程為1.8過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則AOB的面積為_答案解析由已知得直線方程為y2(x1)由得3y22y80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，|y1y2|，SAOB1.9已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線x21的焦點重合，過點P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(1)求橢圓C的方程；(2)求的取值范圍解(1)由雙曲線x21得其焦點為(0，)，b.又由e，a2b2c2，得a24，c1.故橢圓C的方程為1.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由消去y，得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)>0，得k2<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225.0k2<，29<，4，)故的取值范圍為4，)10.如圖所示，拋物線y24x的焦點為F，動點T(1，m)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點，弦PQ的中點為N.(1)證明：線段NT平行于x軸(或在x軸上)；(2)若m0且|NF|TF|，求m的值及點N的坐標(biāo)(1)證明易知拋物線的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線x1，動點T(1，m)在準(zhǔn)線上，則kTF.當(dāng)m0時，T為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點，這時PQ為拋物線的通徑，點N與焦點F重合，顯然線段NT在x軸上當(dāng)m0時，由條件知kPQ，所以直線PQ的方程為y(x1)，聯(lián)立得x2(2m2)x10，又(2m2)24m2(4m2)0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2(x1x22)2m.所以弦PQ的中點N(，m)，又T(1，m)，知kNT0，則NT平行于x軸綜上可知線段NT平行于x軸(或在x軸上)(2)解已知|NF|TF|，在TFN中，tanNTF1NTF45，設(shè)A是準(zhǔn)線與x軸的交點，則TFA是等腰直角三角形，所以|TA|AF|2，又動點T(1，m)，其中m0，則m2.因為NTF45，所以kPQtan 451，又焦點F(1,0)，可得直線PQ的方程為yx1，由m2得T(1,2)，由(1)知線段NT平行于x軸，設(shè)N(x0，y0)，則y02，代入yx1，得x03，所以N(3,2)B組能力提高11已知F1、F2為橢圓1的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且MF1F2的內(nèi)切圓的周長等于3，則滿足條件的點M有()A0個 B1個C2個 D4個答案C解析由橢圓方程1可得a225，b216，a5，b4，c3.由橢圓的定義可得|MF1|MF2|2a10，且|F1F2|2c6，MF1F2的周長|MF1|MF2|F1F2|10616.設(shè)MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，由題意可得2r3，解得r.設(shè)M(x0，y0)，則(|MF1|MF2|F1F2|)r|F1F2|y0|，即166|y0|，解得|y0|4.y04.M(0,4)或(0，4)即滿足條件的點M有2個故選C.12已知圓x2y2上點E處的一條切線l過雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若()，則雙曲線的離心率是_答案解析如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點為H，連接PH，由題意可知|OE|，由()，可知E為FP的中點由雙曲線的性質(zhì)，可知O為FH的中點，所以O(shè)EPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.由雙曲線的定義，可知|PF|PH|2a(P在雙曲線的右支上)，所以|PF|2a|PH|.因為直線l與圓相切，所以PFOE.又OEPH，所以PFPH.在RtPFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.13經(jīng)過橢圓1的右焦點的直線l交拋物線y24x于A、B兩點，點A關(guān)于y軸的對稱點為C，則_.答案5解析由橢圓1知右焦點為(1,0)，當(dāng)直線l的斜率為0時，不符合題意，故可設(shè)直線l的方程為xmy1.由得y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24，x1x21.由題意知C(x1，y1)，(x2，y2)(x1，y1)x1x2y1y2145.14已知橢圓C的長軸左，右頂點分別為A，B，離心率e，右焦點為F，且1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓C上的一動點，點P關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為Q，點P在x軸上的射影點為M，連接QM并延長交橢圓于點N，求證：QPN90.(1)解依題意，設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，則A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)，由e，得ac.由1，得(ca,0)(ca,0)c2a21.聯(lián)立，解得a，c1，所以b21，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)證明設(shè)P(x1，y1)，N(x2，y2)，由題意知xi0，yi0(i1,2)，且x1x2， 又Q(x1，y1)，M(x1,0)由Q，M，N三點共線，知kQMkQN，所以.又kPQkPN11.把代入，得kPQkPN11.因為點P，N在橢圓上，所以x2y2，x2y2，把代入，得kPQkPN10，即kPQkPN1，所以QPN90.