高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線練習(xí) 文

第2講橢圓、雙曲線、拋物線1(2016課標(biāo)全國(guó)乙改編)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是_答案(1,3)解析方程1表示雙曲線，(m2n)(3m2n)>0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1<n<3.2(2016天津改編)已知雙曲線1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為_答案1解析由題意知雙曲線的漸近線方程為yx，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點(diǎn)為.由雙曲線和圓的對(duì)稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長(zhǎng)為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.3(2016課標(biāo)全國(guó)甲改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_答案解析如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以MF1.又sinMF2F1，所以，即MF23MF1.由雙曲線的定義得2aMF2MF12MF1，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.4(2016浙江)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_答案9解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x1.由M到焦點(diǎn)的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM110，解得xM9，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.1.以填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等).熱點(diǎn)一圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1圓錐曲線的定義(1)橢圓：PF1PF22a(2a>F1F2)；(2)雙曲線：|PF1PF2|2a(2a<F1F2)；(3)拋物線：PFPM，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M.2求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”所謂“定型”，就是曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計(jì)算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值例1(1)ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(4,0)，B(4,0)，ABC周長(zhǎng)為18，則C點(diǎn)軌跡方程為_(2)在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC的頂點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則_.答案(1)1(y0)(2)解析(1)ABC的兩頂點(diǎn)A(4,0)，B(4,0)，周長(zhǎng)為18，AB8，BCAC10.10>8，點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，滿足橢圓的定義，點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，2a10,2c8，b3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(y0)(2)由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)和(4,0)，恰分別為ABC的頂點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，由橢圓定義知BABC2a10，在ABC中，由正弦定理可知，.思維升華(1)準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定跟蹤演練1(1)已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x224y的焦點(diǎn)重合，其一條漸近線的傾斜角為30，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(2)拋物線y24x上任一點(diǎn)到定直線l：x1的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，則該定點(diǎn)F的坐標(biāo)為_答案(1)1(2)(1,0)解析(1)由拋物線x224y得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x224y的焦點(diǎn)相同，c6，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，又雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30，即ba，又c2a2b2，a29，b227，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)?p4，所以p2，可得1，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)熱點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e ；(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e.2雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系例2(1)橢圓1(a>b>0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，F(xiàn)AB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為_(2)已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作圓x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)B、C，且BCCF2，則雙曲線的漸近線方程為_答案(1)(2)y(1)x解析(1)依題意可知點(diǎn)F(c,0)，直線AB的斜率為，直線BF的斜率為.FBA90，()1，整理得c2aca20，即()210，從而e2e10，解得e或.0<e<1，e.(2)由題意作出示意圖，易得直線BC的斜率為，cosCF1F2，又由雙曲線的定義及BCCF2可得CF1CF2BF12a，BF2BF12aBF24a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故雙曲線的漸近線方程為y(1)x.思維升華(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關(guān)系是求解問題的關(guān)鍵(2)在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍跟蹤演練2(1)已知橢圓1 (a>b>0)的左焦點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2，上頂點(diǎn)為A，AF2的中垂線交橢圓于點(diǎn)B，若左焦點(diǎn)F1在線段AB上，則橢圓的離心率為_(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y21與拋物線y212x有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的方程為_答案(1)(2)yx解析(1)由題意知ABBF2，AF1AF2a，設(shè)BF1x，則xxa2a，所以x，故2，(c，b)2(xBc，yB)，易求得B(，)，代入橢圓方程得1，解得，所以e.(2)由題意得a219a2，而雙曲線y21的漸近線方程為yx，即yx.熱點(diǎn)三直線與圓錐曲線判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題有兩種常用方法(1)代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)(2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)例3(2015江蘇改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為，且右焦點(diǎn)F到直線l：x的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC2AB，求直線AB的方程解(1)由題意，得且c3，解得a，c1，則b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)ABx軸時(shí)，AB，又CP3，不合題意當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，則x1,2，C的坐標(biāo)為，且AB.若k0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意從而k0，故直線PC的方程為y，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而PC.因?yàn)镻C2AB，所以，解得k1.此時(shí)直線AB的方程為yx1或yx1.思維升華解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求思想，弦長(zhǎng)公式等簡(jiǎn)化計(jì)算；涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，也可用“點(diǎn)差法”求解跟蹤演練3(1)設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為_(2)設(shè)橢圓C：1與函數(shù)ytan 的圖象相交于A1，A2兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是_答案(1)1,1(2)，解析(1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x2，Q(2,0)，顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，x0，此時(shí)交點(diǎn)為(0,0)，當(dāng)k0時(shí)，0，即4(k22)216k40，解得1k<0或0<k1，綜上，k的取值范圍為1,1(2)由題意，得A1，A2兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)A1(x1，y1)，A2(x1，y1)，P(x0，y0)，則有1，1，即y(4x)，y(4x)，兩式相減整理，得.因?yàn)橹本€PA2的斜率的取值范圍是2，1，所以21，所以21，解得.1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線3xy30垂直，以C的右焦點(diǎn)F為圓心的圓(xc)2y22與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為_押題依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點(diǎn)答案2解析由直線垂直的條件，求出漸近線的斜率，從而得到漸近線方程，根據(jù)圓心到漸近線的距離等于半徑，求得b，進(jìn)而求出焦距2c.由已知，得()1，所以，由點(diǎn)F(c,0)到漸近線yx的距離d，可得c，2c2.2已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且點(diǎn)(1，)在該橢圓上(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AOB的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線l相切的圓的方程押題依據(jù)橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點(diǎn)，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等知識(shí)應(yīng)給予充分關(guān)注解(1)由題意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)(1，)，所以1，解得a2，所以b23，故橢圓C的方程為1.(2)由(1)知F1(1,0)，設(shè)直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，顯然>0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以SAOBF1O|y1y2|，化簡(jiǎn)得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圓O的半徑r，所以r，故圓O的方程為x2y2.A組專題通關(guān)1雙曲線1的離心率為_答案解析由題意得a24，b25c29e.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若曲線C經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_答案解析由題意設(shè)拋物線方程為y22px，又因?yàn)檫^點(diǎn)P(1,3)，則p.即為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離3已知雙曲線C：y21的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則PF1Q的周長(zhǎng)為_答案解析因?yàn)殡p曲線C：y21，所以a，b1，c2，故F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則PQx軸令x2，則有y21，即y.故QF2PF2，PQ，QF1PF1PF22a.則PF1Q的周長(zhǎng)為PF1QF1PQ.4設(shè)拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線E上一點(diǎn)，MF的最小值為3，若點(diǎn)P為拋物線E上任意一點(diǎn)，A(4,1)，則PAPF的最小值為_答案7解析由題意，MF的最小值為3，得3，p6，拋物線E：y212x，拋物線y212x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(3,0)；設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知PFPD，要求PAPF取得最小值，即求PAPD取得最小值，當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)PAPD最小，為4(3)7.5已知雙曲線1(a>0，b>0)與拋物線y28x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若PF5，則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_答案解析拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，c2a2b24.P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且PF5，xp25，xp3，y24.P(xp，yp)在雙曲線1上，1.聯(lián)立解得a21，b23.雙曲線的方程為x21.又雙曲線的漸近線方程為yx，點(diǎn)F(2,0)到漸近線的距離為.6已知點(diǎn)A(2,4)在拋物線y22px(p>0)上，且拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為_答案x21解析點(diǎn)A(2,4)在拋物線y22px(p>0)上，164p，解得p4.拋物線的準(zhǔn)線方程為x2.又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，c2，又e2，a1，則b2c2a2413，雙曲線的方程為x21.7一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_答案1解析兩定圓的圓心和半徑分別是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件，可得MO1R1，O2M9R.MO1MO210>O1O26.由橢圓的定義知點(diǎn)M在以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且2a10,2c6，b216.動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.8過橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOB的面積為_答案解析由已知得直線方程為y2(x1)由得3y22y80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，|y1y2| ，SAOB1.9已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線x21的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)求的取值范圍解(1)由雙曲線x21得其焦點(diǎn)為(0，)，b.又由e，a2b2c2，得a24，c1.故橢圓C的方程為1.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)，由消去y，得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)>0，得k2<.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225.0k2<，29<，4，)故的取值范圍為4，)10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)F(1,0)，點(diǎn)P在橢圓C上，且在第一象限內(nèi)，直線PQ與圓O：x2y2b2相切于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程；(2)求PMPF的取值范圍；(3)若OPOQ，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t的值解(1)c1，a2，b，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x0，y0)，則1(0<x0<2)PM x0，PF2x0.PMPFx0(4x0)(x02)21，0<x0<2，PMPF的取值范圍是(0,1)(3)方法一當(dāng)PMx軸時(shí)，P(，)，Q(，t)或(，t)，由0，解得t2.當(dāng)PM不垂直于x軸時(shí)，設(shè)P(x0，y0)，PQ方程為yy0k(xx0)，即kxykx0y00.PQ與圓O相切，(kx0y0)23k23，2kx0y0k2xy3k23.又Q(，t)，由0得t.t212，t2.方法二設(shè)P(x0，y0)，則直線OQ：yx，Q(t，t)，OPOQ，OPOQOMPQ，(xy)t23(xt2)，t2，1，y3，t212，t2.B組能力提高11已知F1、F2為橢圓1的左、右焦點(diǎn)，若M為橢圓上一點(diǎn)，且MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3，則滿足條件的點(diǎn)M有_個(gè)答案2解析由橢圓方程1可得a225，b216，a5，b4，c3.由橢圓的定義可得MF1MF22a10，且F1F22c6，MF1F2的周長(zhǎng)MF1MF2F1F210616.設(shè)MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，由題意可得2r3，解得r.設(shè)M(x0，y0)，則SMF1F2(MF1MF2F1F2)rF1F2|y0|，即166|y0|，解得|y0|4.y04.M(0,4)或(0，4)即滿足條件的點(diǎn)M有2個(gè)12已知P(1,1)為橢圓1內(nèi)一定點(diǎn)，過點(diǎn)P引一弦，使此弦被點(diǎn)P(1,1)平分，則此弦所在直線的方程是_答案2xy30解析由已知條件，可知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)直線的斜率為k，且設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則1，1.上述兩式左右分別相減得0.x1x22，y1y22，x1x20，k2，此弦所在直線的方程為y12(x1)，即2xy30.13經(jīng)過橢圓1的右焦點(diǎn)的直線l交拋物線y24x于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則_.答案5解析由橢圓1知右焦點(diǎn)為(1,0)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線l的方程為xmy1.由得y24my40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24，x1x21.由題意知C(x1，y1)，(x2，y2)(x1，y1)x1x2y1y2145.14已知橢圓E：1(a>b>0)過點(diǎn)D(1，)，且右焦點(diǎn)為F(1,0)，右頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F的弦為BC.直線BA，直線CA分別交直線l：xm(m2)于P、Q兩點(diǎn)(1)求橢圓方程；(2)若FPFQ，求m的值解(1)1，a2b21，解之得a24，b23，所以橢圓方程為1.(2)設(shè)B(x0，y0)，則BC：y(x1)，與橢圓E：1聯(lián)立得方程組解得xx0，yy0或x，y，所以C(，)，kABkAC.顯然kABkAP，kACkAQ，所以kAPkAQ.設(shè)Q(m，y1)，kFQkAQ，同理kFPkAP.所以kFPkFQ()2kAPkAQ()21，又m>2，所以，所以m4.