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高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學(xué)思想 第39練 分類討論思想 文

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高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學(xué)思想 第39練 分類討論思想 文

第39練分類討論思想思想方法解讀分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略1中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素:(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論:如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等(2)由數(shù)學(xué)運算要求而引起的分類討論:如除法運算中除數(shù)不為零,偶次方根為非負(fù)數(shù),對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求,指數(shù)運算中底數(shù)的要求,不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù),三角函數(shù)的定義域,等比數(shù)列an的前n項和公式等(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論:如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論:如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論:如某些含有參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同,或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等2進(jìn)行分類討論要遵循的原則是:分類的對象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級討論其中最重要的一條是“不重不漏”3解答分類討論問題時的基本方法和步驟是:首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行合理分類,即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復(fù));再對所分類逐步進(jìn)行討論,分級進(jìn)行,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論體驗高考1(2015山東)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A.B0,1C.D1, )答案C解析由f(f(a)2f(a)得,f(a)1.當(dāng)a<1時,有3a11,a,a<1.當(dāng)a1時,有2a1,a0,a1.綜上,a,故選C.2(2015湖北)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增加m(m>0)個單位長度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A對任意的a,b,e1>e2B當(dāng)a>b時,e1>e2;當(dāng)a<b時,e1<e2C對任意的a,b,e1<e2D當(dāng)a>b時,e1<e2;當(dāng)a<b時,e1>e2答案D解析由題意e1;雙曲線C2的實半軸長為am,虛半軸長為bm,離心率e2.因為,且a>0,b>0,m>0,ab,所以當(dāng)a>b時,>0,即>.又>0,>0,所以由不等式的性質(zhì)依次可得2>2,12>12,所以>,即e2>e1;同理,當(dāng)a<b時,<0,可推得e2<e1.綜上,當(dāng)a>b時,e1<e2;當(dāng)a<b時,e1>e2.3(2015天津)已知橢圓1(ab0)的左焦點為F(c,0),離心率為,點M在橢圓上且位于第一象限,直線FM被圓x2y2截得的線段的長為c,|FM|.(1)求直線FM的斜率;(2)求橢圓的方程;(3)設(shè)動點P在橢圓上,若直線FP的斜率大于,求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍解(1)由已知有,又由a2b2c2,可得a23c2,b22c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k0),F(xiàn)(c,0),則直線FM的方程為yk(xc)由已知,有222,解得k.(2)由(1)得橢圓方程為1,直線FM的方程為y(xc),兩個方程聯(lián)立,消去y,整理得3x22cx5c20,解得xc,或xc.因為點M在第一象限,可得點M的坐標(biāo)為.由|FM|.解得c1,所以橢圓的方程為1.(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),直線FP的斜率為t,得t,即yt(x1)(x1)與橢圓方程聯(lián)立,消去y,整理得2x23t2(x1)26,又由已知,得t,解得x1或1x0.設(shè)直線OP的斜率為m,得m,即ymx(x0),與橢圓方程聯(lián)立,整理得m2.當(dāng)x時,有yt(x1)0,因此m0,于是m,得m.當(dāng)x(1,0)時,有yt(x1)0,因此m0,于是m,得m.綜上,直線OP的斜率的取值范圍是.高考必會題型題型一由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論例1設(shè)集合AxR|x24x0,BxR|x22(a1)xa210,aR,若BA,求實數(shù)a的取值范圍解A0,4,BA,于是可分為以下幾種情況(1)當(dāng)AB時,B0,4,由根與系數(shù)的關(guān)系,得解得a1.(2)當(dāng)BA時,又可分為兩種情況當(dāng)B時,即B0或B4,當(dāng)x0時,有a1;當(dāng)x4時,有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0,解得a1,此時B0滿足條件;當(dāng)B時,4(a1)24(a21)<0,解得a<1.綜合(1)(2)知,所求實數(shù)a的取值范圍為a1或a1.點評對概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵,在本題中,BA,包括B和B兩種情況解答時就應(yīng)分兩種情況討論,在關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的運算中,底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時首先要考慮的因素變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項和Snpn1(p是常數(shù)),則數(shù)列an是()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D以上都不對答案D解析Snpn1,a1p1,anSnSn1(p1)pn1(n2),當(dāng)p1且p0時,an是等比數(shù)列;當(dāng)p1時,an是等差數(shù)列;當(dāng)p0時,a11,an0(n2),此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1上有最大值2,求a的值解函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1,對稱軸方程為xa.(1)當(dāng)a<0時,f(x)maxf(0)1a,1a2,a1.(2)當(dāng)0a1時,f(x)maxf(a)a2a1,a2a12,a2a10,a(舍)(3)當(dāng)a>1時,f(x)maxf(1)a,a2.綜上可知,a1或a2.點評本題中函數(shù)的定義域是確定的,二次函數(shù)的對稱軸是不確定的,二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān),因此需要對對稱軸進(jìn)行討論,分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外,從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,即可表示函數(shù)的最大值,從而求出a的值變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)2exax2(xR,aR)(1)當(dāng)a1時,求曲線yf(x)在x1處的切線方程;(2)求x0時,若不等式f(x)0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時,f(x)2exx2,f(x)2ex1,f(1)2e1,即曲線yf(x)在x1處的切線的斜率k2e1,又f(1)2e3,所以所求的切線方程是y(2e1)x2.(2)易知f(x)2exa.若a0,則f(x)>0恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞增;若a>0,則當(dāng)x(,ln )時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x(ln ,)時,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增又f(0)0,所以若a0,則當(dāng)x0,)時,f(x)f(0)0,符合題意若a>0,則當(dāng)ln 0,即0<a2時,則當(dāng)x0,)時,f(x)f(0)0,符合題意當(dāng)ln >0,即a>2,則當(dāng)x(0,ln )時,f(x)單調(diào)遞減,f(x)<f(0)0,不符合題意綜上,實數(shù)a的取值范圍是(,2題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3在約束條件下,當(dāng)3s5時,z3x2y的最大值的變化范圍是()A6,15B7,15C6,8D7,8答案D解析由取點A(2,0),B(4s,2s4),C(0,s),C(0,4)當(dāng)3s<4時,可行域是四邊形OABC(含邊界),如圖(1)所示,此時,7zmax<8.當(dāng)4s5時,此時可行域是OAC,如圖(2)所示,zmax8.綜上,z3x2y最大值的變化范圍是7,8點評幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對稱軸的變化;(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化;(3)函數(shù)圖象形狀的變化;(4)直線由斜率引起的位置變化;(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化;(6)立體幾何中點、線、面的位置變化等變式訓(xùn)練3設(shè)點F1,F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點,點P為橢圓上一點,已知點P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點,且,求的值解若PF2F190,則2|PF2|22,又6,2,解得,.若F1PF290,則222,2(6)220,又|PF1|>|PF2|,4,2,2.綜上知,或2.高考題型精練1若關(guān)于x的方程|ax1|2a (a>0且a1)有兩個不等實根,則a的取值范圍是()A(0,1)(1,) B(0,1)C(1,) D.答案D解析方程|ax1|2a (a>0且a1)有兩個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個交點當(dāng)0<a<1時,如圖(1),0<2a<1,即0<a<.當(dāng)a>1時,如圖(2),而y2a>1不符合要求綜上,0<a<.2x,y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為()A.或1 B2或C2或1 D2或1答案D解析如圖,由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距,故當(dāng)a>0時,要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a2;當(dāng)a<0時,要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a1.3拋物線y24px (p>0)的焦點為F,P為其上的一點,O為坐標(biāo)原點,若OPF為等腰三角形,則這樣的點P的個數(shù)為()A2 B3C4 D6答案C解析當(dāng)|PO|PF|時,點P在線段OF的中垂線上,此時,點P的位置有兩個;當(dāng)|OP|OF|時,點P的位置也有兩個;對|FO|FP|的情形,點P不存在事實上,F(xiàn)(p,0),若設(shè)P(x,y),則|FO|p,|FP|,若p,則有x22pxy20,又y24px,x22px0,解得x0或x2p,當(dāng)x0時,不構(gòu)成三角形當(dāng)x2p(p>0)時,與點P在拋物線上矛盾符合要求的點P一共有4個4函數(shù)f(x)的值域為_答案(,2)解析當(dāng)x1時,是單調(diào)遞減的,此時,函數(shù)的值域為(,0;當(dāng)x<1時,f(x)2x是單調(diào)遞增的,此時,函數(shù)的值域為(0,2)綜上,f(x)的值域是(,2)5已知集合Ax|1x<5,Cx|a<xa3若CAC,則a的取值范圍是_答案(,1解析因為CAC,所以CA.當(dāng)C時,滿足CA,此時aa3,得a;當(dāng)C時,要使CA,則解得<a1.綜上,a的取值范圍是(,16已知函數(shù)f(x)x2ax3a,若x2,2時,f(x)0恒成立,求a的取值范圍解要使f(x)0恒成立,則函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值不小于0,設(shè)f(x)的最小值為g(a)(1)當(dāng)<2,即a>4時,g(a)f(2)73a0,得a,故此時a不存在(2)當(dāng)2,2,即4a4時,g(a)f3a0,得6a2,又4a4,故4a2.(3)當(dāng)>2,即a<4時,g(a)f(2)7a0,得a7,又a<4,故7a<4,綜上得7a2.7已知ax2(a1)x1<0,求不等式的解集解若a0,原不等式等價于x1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等價于(x)(x1)>0,解得x<或x>1.若a>0,原不等式等價于(x)(x1)<0.當(dāng)a1時,1,(x)(x1)<0無解;當(dāng)a>1時,<1,解(x)(x1)<0得<x<1;當(dāng)0<a<1時,>1,解(x)(x1)<0得1<x<.綜上所述:當(dāng)a<0時,解集為x|x<或x>1;當(dāng)a0時,解集為x|x>1;當(dāng)0<a<1時,解集為x|1<x<;當(dāng)a1時,解集為;當(dāng)a>1時,解集為x|<x<18已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*),且S3a3,S5a5,S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)TnSn(nN*),求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為S3a3,S5a5,S4a4成等差數(shù)列,所以S5a5S3a3S4a4S5a5,即4a5a3,于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1,所以q.故等比數(shù)列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小,所以1<SnS1,故0<SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn隨n的增大而增大,所以S2Sn<1,故0>SnS2.綜上,對于nN*,總有Sn.所以數(shù)列Tn最大項的值為,最小項的值為.9已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)(xa)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值寫出g(a)的表達(dá)式;求a的取值范圍,使得6g(a)2.解(1)函數(shù)的定義域為0,),f(x)(x>0)若a0,則f(x)>0,f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0,)若a>0,令f(x)0,得x,當(dāng)0<x<時,f(x)<0,當(dāng)x>時,f(x)>0.f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間0,有單調(diào)遞增區(qū)間(,)(2)由(1)知,若a0,f(x)在0,2上單調(diào)遞增,所以g(a)f(0)0.若0<a<6,f(x)在0,上單調(diào)遞減,在(,2上單調(diào)遞增,所以g(a)f().若a6,f(x)在0,2上單調(diào)遞減,所以g(a)f(2)(2a)綜上所述,g(a)令6g(a)2.若a0,無解若0<a<6,解得3a<6.若a6,解得6a23.故a的取值范圍為3a23.10已知函數(shù)f(x)aln xx1(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)0在(0,)上恒成立,求所有實數(shù)a的值解(1)f(x)1(x>0),當(dāng)a0時,f(x)<0,f(x)的減區(qū)間為(0,);當(dāng)a>0時,由f(x)>0得0<x<a,由f(x)<0得x>a,f(x)遞增區(qū)間為(0,a),遞減區(qū)間為(a,)(2)由(1)知:當(dāng)a0時,f(x)在(0,)上為減函數(shù),而f(1)0,f(x)0在區(qū)間x(0,)上不可能恒成立;當(dāng)a>0時,f(x)在(0,a)上遞增,在(a,)上遞減,f(x)maxf(a)aln aa1,令g(a)aln aa1,依題意有g(shù)(a)0,而g(a)ln a,且a>0,g(a)在(0,1)上遞減,在(1,)上遞增,g(a)ming(1)0,故a1.

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