高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學(xué)思想 第39練 分類討論思想 文

第39練分類討論思想思想方法解讀分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略1中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素：(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等(2)由數(shù)學(xué)運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項和公式等(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等2進(jìn)行分類討論要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論其中最重要的一條是“不重不漏”3解答分類討論問題時的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論體驗高考1(2015山東)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(a)2f(a)的a的取值范圍是()A.B0,1C.D1, )答案C解析由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.當(dāng)a<1時，有3a11，a，a<1.當(dāng)a1時，有2a1，a0，a1.綜上，a，故選C.2(2015湖北)將離心率為e1的雙曲線C1的實半軸長a和虛半軸長b(ab)同時增加m(m>0)個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則()A對任意的a，b，e1>e2B當(dāng)a>b時，e1>e2；當(dāng)a<b時，e1<e2C對任意的a，b，e1<e2D當(dāng)a>b時，e1<e2；當(dāng)a<b時，e1>e2答案D解析由題意e1；雙曲線C2的實半軸長為am，虛半軸長為bm，離心率e2.因為，且a>0，b>0，m>0，ab，所以當(dāng)a>b時，>0，即>.又>0，>0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得2>2，12>12，所以>，即e2>e1；同理，當(dāng)a<b時，<0，可推得e2<e1.綜上，當(dāng)a>b時，e1<e2；當(dāng)a<b時，e1>e2.3(2015天津)已知橢圓1(ab0)的左焦點為F(c,0)，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2y2截得的線段的長為c，|FM|.(1)求直線FM的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設(shè)動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k0)，F(xiàn)(c,0)，則直線FM的方程為yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得橢圓方程為1，直線FM的方程為y(xc)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因為點M在第一象限，可得點M的坐標(biāo)為.由|FM|.解得c1，所以橢圓的方程為1.(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t，即yt(x1)(x1)與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1或1x0.設(shè)直線OP的斜率為m，得m，即ymx(x0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m2.當(dāng)x時，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.當(dāng)x(1,0)時，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.綜上，直線OP的斜率的取值范圍是.高考必會題型題型一由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論例1設(shè)集合AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若BA，求實數(shù)a的取值范圍解A0，4，BA，于是可分為以下幾種情況(1)當(dāng)AB時，B0，4，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a1.(2)當(dāng)BA時，又可分為兩種情況當(dāng)B時，即B0或B4，當(dāng)x0時，有a1；當(dāng)x4時，有a7或a1.又由4(a1)24(a21)0，解得a1，此時B0滿足條件；當(dāng)B時，4(a1)24(a21)<0，解得a<1.綜合(1)(2)知，所求實數(shù)a的取值范圍為a1或a1.點評對概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，BA，包括B和B兩種情況解答時就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對數(shù)的運算中，底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時首先要考慮的因素變式訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項和Snpn1(p是常數(shù))，則數(shù)列an是()A等差數(shù)列B等比數(shù)列C等差數(shù)列或等比數(shù)列D以上都不對答案D解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當(dāng)p1且p0時，an是等比數(shù)列；當(dāng)p1時，an是等差數(shù)列；當(dāng)p0時，a11，an0(n2)，此時an既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列題型二分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1上有最大值2，求a的值解函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對稱軸方程為xa.(1)當(dāng)a<0時，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)當(dāng)0a1時，f(x)maxf(a)a2a1，a2a12，a2a10，a(舍)(3)當(dāng)a>1時，f(x)maxf(1)a，a2.綜上可知，a1或a2.點評本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問題與對稱軸息息相關(guān)，因此需要對對稱軸進(jìn)行討論，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)和對稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)2exax2(xR，aR)(1)當(dāng)a1時，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)求x0時，若不等式f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時，f(x)2exx2，f(x)2ex1，f(1)2e1，即曲線yf(x)在x1處的切線的斜率k2e1，又f(1)2e3，所以所求的切線方程是y(2e1)x2.(2)易知f(x)2exa.若a0，則f(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增；若a>0，則當(dāng)x(，ln )時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(ln ，)時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增又f(0)0，所以若a0，則當(dāng)x0，)時，f(x)f(0)0，符合題意若a>0，則當(dāng)ln 0，即0<a2時，則當(dāng)x0，)時，f(x)f(0)0，符合題意當(dāng)ln >0，即a>2，則當(dāng)x(0，ln )時，f(x)單調(diào)遞減，f(x)<f(0)0，不符合題意綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，2題型三根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3在約束條件下，當(dāng)3s5時，z3x2y的最大值的變化范圍是()A6,15B7,15C6,8D7,8答案D解析由取點A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)當(dāng)3s<4時，可行域是四邊形OABC(含邊界)，如圖(1)所示，此時，7zmax<8.當(dāng)4s5時，此時可行域是OAC，如圖(2)所示，zmax8.綜上，z3x2y最大值的變化范圍是7,8點評幾類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對稱軸的變化；(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點、線、面的位置變化等變式訓(xùn)練3設(shè)點F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，點P為橢圓上一點，已知點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且，求的值解若PF2F190，則2|PF2|22，又6，2，解得，.若F1PF290，則222，2(6)220，又|PF1|>|PF2|，4，2，2.綜上知，或2.高考題型精練1若關(guān)于x的方程|ax1|2a (a>0且a1)有兩個不等實根，則a的取值范圍是()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.答案D解析方程|ax1|2a (a>0且a1)有兩個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y|ax1|與y2a有兩個交點當(dāng)0<a<1時，如圖(1)，0<2a<1，即0<a<.當(dāng)a>1時，如圖(2)，而y2a>1不符合要求綜上，0<a<.2x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為()A.或1 B2或C2或1 D2或1答案D解析如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當(dāng)a<0時，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.3拋物線y24px (p>0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標(biāo)原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為()A2 B3C4 D6答案C解析當(dāng)|PO|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當(dāng)|OP|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|FP|的情形，點P不存在事實上，F(xiàn)(p,0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|p，|FP|，若p，則有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，當(dāng)x0時，不構(gòu)成三角形當(dāng)x2p(p>0)時，與點P在拋物線上矛盾符合要求的點P一共有4個4函數(shù)f(x)的值域為_答案(，2)解析當(dāng)x1時，是單調(diào)遞減的，此時，函數(shù)的值域為(，0；當(dāng)x<1時，f(x)2x是單調(diào)遞增的，此時，函數(shù)的值域為(0,2)綜上，f(x)的值域是(，2)5已知集合Ax|1x<5，Cx|a<xa3若CAC，則a的取值范圍是_答案(，1解析因為CAC，所以CA.當(dāng)C時，滿足CA，此時aa3，得a；當(dāng)C時，要使CA，則解得<a1.綜上，a的取值范圍是(，16已知函數(shù)f(x)x2ax3a，若x2,2時，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解要使f(x)0恒成立，則函數(shù)在區(qū)間2,2上的最小值不小于0，設(shè)f(x)的最小值為g(a)(1)當(dāng)<2，即a>4時，g(a)f(2)73a0，得a，故此時a不存在(2)當(dāng)2,2，即4a4時，g(a)f3a0，得6a2，又4a4，故4a2.(3)當(dāng)>2，即a<4時，g(a)f(2)7a0，得a7，又a<4，故7a<4，綜上得7a2.7已知ax2(a1)x1<0，求不等式的解集解若a0，原不等式等價于x1<0，解得x>1.若a<0，原不等式等價于(x)(x1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等價于(x)(x1)<0.當(dāng)a1時，1，(x)(x1)<0無解；當(dāng)a>1時，<1，解(x)(x1)<0得<x<1；當(dāng)0<a<1時，>1，解(x)(x1)<0得1<x<.綜上所述：當(dāng)a<0時，解集為x|x<或x>1；當(dāng)a0時，解集為x|x>1；當(dāng)0<a<1時，解集為x|1<x<；當(dāng)a1時，解集為；當(dāng)a>1時，解集為x|<x<18已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)TnSn(nN*)，求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q.故等比數(shù)列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1<SnS1，故0<SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn<1，故0>SnS2.綜上，對于nN*，總有Sn.所以數(shù)列Tn最大項的值為，最小項的值為.9已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)(xa)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(a)為f(x)在區(qū)間0,2上的最小值寫出g(a)的表達(dá)式；求a的取值范圍，使得6g(a)2.解(1)函數(shù)的定義域為0，)，f(x)(x>0)若a0，則f(x)>0，f(x)有單調(diào)遞增區(qū)間0，)若a>0，令f(x)0，得x，當(dāng)0<x<時，f(x)<0，當(dāng)x>時，f(x)>0.f(x)有單調(diào)遞減區(qū)間0，有單調(diào)遞增區(qū)間(，)(2)由(1)知，若a0，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，所以g(a)f(0)0.若0<a<6，f(x)在0，上單調(diào)遞減，在(，2上單調(diào)遞增，所以g(a)f().若a6，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，所以g(a)f(2)(2a)綜上所述，g(a)令6g(a)2.若a0，無解若0<a<6，解得3a<6.若a6，解得6a23.故a的取值范圍為3a23.10已知函數(shù)f(x)aln xx1(aR)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在(0，)上恒成立，求所有實數(shù)a的值解(1)f(x)1(x>0)，當(dāng)a0時，f(x)<0，f(x)的減區(qū)間為(0，)；當(dāng)a>0時，由f(x)>0得0<x<a，由f(x)<0得x>a，f(x)遞增區(qū)間為(0，a)，遞減區(qū)間為(a，)(2)由(1)知：當(dāng)a0時，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，而f(1)0，f(x)0在區(qū)間x(0，)上不可能恒成立；當(dāng)a>0時，f(x)在(0，a)上遞增，在(a，)上遞減，f(x)maxf(a)aln aa1，令g(a)aln aa1，依題意有g(shù)(a)0，而g(a)ln a，且a>0，g(a)在(0,1)上遞減，在(1，)上遞增，g(a)ming(1)0，故a1.