高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題10 數(shù)學(xué)思想 第37練 函數(shù)與方程思想 文
第37練函數(shù)與方程思想思想方法解讀1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想,是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法(2)方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決的思想方法2函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對(duì)函數(shù)yf(x),當(dāng)y>0時(shí),就化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要(3)解析幾何中的許多問(wèn)題,需要通過(guò)解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決體驗(yàn)高考1(2015湖南)已知函數(shù)f(x)若存在實(shí)數(shù)b,使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是_答案(,0)(1,)解析函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即方程f(x)b0有兩個(gè)不等實(shí)根,則函數(shù)yf(x)和yb的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)若a<0,則當(dāng)xa時(shí),f(x)x3,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)x>a時(shí),f(x)x2,函數(shù)先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,f(x)的圖象如圖(1)實(shí)線部分所示,其與直線yb可能有兩個(gè)公共點(diǎn)若0a1,則a3a2,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)的圖象如圖(2)實(shí)線部分所示,其與直線yb至多有一個(gè)公共點(diǎn)若a>1,則a3>a2,函數(shù)f(x)在R上不單調(diào),f(x)的圖象如圖(3)實(shí)線部分所示,其與直線yb可能有兩個(gè)公共點(diǎn)綜上,a<0或a>1.2(2015安徽)設(shè)x3axb0,其中a,b均為實(shí)數(shù),下列條件中,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是_(寫出所有正確條件的編號(hào))a3,b3;a3,b2;a3,b>2;a0,b2;a1,b2.答案解析令f(x)x3axb,f(x)3x2a,當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,必有一個(gè)實(shí)根,正確;當(dāng)a<0時(shí),由于選項(xiàng)當(dāng)中a3,只考慮a3這一種情況,f(x)3x233(x1)(x1),f(x)極大f(1)13bb2,f(x)極小f(1)13bb2,要有一根,f(x)極大<0或f(x)極小>0,b<2或b>2,正確,錯(cuò)誤所有正確條件為.3(2016課標(biāo)全國(guó)甲)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)2f(x),若函數(shù)y與yf(x)圖象的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),則(xiyi)等于()A0 Bm C2m D4m答案B解析方法一特殊函數(shù)法,根據(jù)f(x)2f(x)可設(shè)函數(shù)f(x)x1,由y,解得兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)m2,所以(xiyi)m,故選B.方法二由題設(shè)得(f(x)f(x)1,點(diǎn)(x,f(x)與點(diǎn)(x,f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱,則yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱又y1,x0的圖象也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱則交點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym)成對(duì),且關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱則(xi,yi)ii02m,故選B.高考必會(huì)題型題型一利用函數(shù)與方程思想解決圖象交點(diǎn)或方程根等問(wèn)題例1(2016天津)已知函數(shù)f(x) (a>0,且a1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|2x恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析由yloga(x1)1在0,)上遞減,得0<a<1.又由f(x)在R上單調(diào)遞減,則a.如圖所示,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|f(x)|和y2x的圖象由圖象可知,在0,)上,|f(x)|2x有且僅有一個(gè)解故在(,0)上,|f(x)|2x同樣有且僅有一個(gè)解當(dāng)3a>2,即a>時(shí),由x2(4a3)x3a2x(其中x<0),得x2(4a2)x3a20(其中x<0),則(4a2)24(3a2)0,解得a或a1(舍去);當(dāng)13a2,即a時(shí),由圖象可知,符合條件綜上所述,a.故選C.點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化,解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn),反之函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題變式訓(xùn)練1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)且f(x2)f(x),g(x),則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實(shí)根之和為()A5 B6 C7 D8答案C解析g(x)2,由題意知函數(shù)f(x)的周期為2,則函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示:由圖象知f(x)、g(x)有三個(gè)交點(diǎn),故方程f(x)g(x)在x5,1上有三個(gè)根xA、xB、xC,xB3,2,xAxC4,xAxBxC7.題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例2定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),滿足f(x)>f(x),且f(0)1,則不等式<1的解集為()A(,0) B(0,)C(,2) D(2,)答案B解析構(gòu)造函數(shù)g(x),則g(x).由題意得g(x)<0恒成立,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減又g(0)1,所以<1,即g(x)<1,所以x>0,所以不等式的解集為(0,)故選B.點(diǎn)評(píng)不等式恒成立問(wèn)題的處理方法在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí),一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題更明朗化一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù)變式訓(xùn)練2已知f(x)log2x,x2,16,對(duì)于函數(shù)f(x)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m,則使x2mx4>2m4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()A(,2B2,)C(,22,)D(,2)(2,)答案D解析x2,16,f(x)log2x1,4,即m1,4不等式x2mx4>2m4x恒成立,即為m(x2)(x2)2>0恒成立,設(shè)g(m)(x2)m(x2)2,則此函數(shù)在1,4上恒大于0,所以即解得x<2或x>2.題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例3已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2,各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,a2,a3,a41成等比數(shù)列,設(shè)bn(其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和),若對(duì)任意nN*,不等式bnk恒成立,求實(shí)數(shù)k的最小值解因?yàn)閍12,aa2(a41),又因?yàn)閍n是正項(xiàng)等差數(shù)列,故d0,所以(22d)2(2d)(33d),得d2或d1(舍去),所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n.因?yàn)镾nn(n1),bn.令f(x)2x (x1),則f(x)2,當(dāng)x1時(shí),f(x)>0恒成立,所以f(x)在1,)上是增函數(shù),故當(dāng)x1時(shí),f(x)minf(1)3,即當(dāng)n1時(shí),(bn)max,要使對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式bnk恒成立,則須使k(bn)max,所以實(shí)數(shù)k的最小值為.點(diǎn)評(píng)數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)(方程)化法類似,但要注意數(shù)列問(wèn)題中n的取值范圍為正整數(shù),涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn),其一般解題步驟為:第一步:分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征第二步:根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程),轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式第三步:研究函數(shù)性質(zhì)結(jié)合解決問(wèn)題的需要,研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì),主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問(wèn)題的研究第四步:回歸問(wèn)題結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究,回歸問(wèn)題變式訓(xùn)練3設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,(n1)SnnSn1(nN*)若1,則()ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7答案D解析由條件得,即,所以anan1,所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1,所以a80,a70,即數(shù)列an前7項(xiàng)均小于0,第8項(xiàng)大于零,所以Sn的最小值為S7,故選D.題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用例4橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上,短軸長(zhǎng)為,離心率為,直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A,B,且3.(1)求橢圓C的方程;(2)求m的取值范圍解(1)設(shè)橢圓C的方程為1 (a>b>0),設(shè)c>0,c2a2b2,由題意,知2b,所以a1,bc.故橢圓C的方程為y21,即y22x21.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),也滿足3,此時(shí)m.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為ykxm (k0),l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k22)x22kmx(m21)0,(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>0,(*)x1x2,x1x2.因?yàn)?,所以x13x2,所以則3(x1x2)24x1x20,即3240,整理得4k2m22m2k220,即k2(4m21)2m220,當(dāng)m2時(shí),上式不成立;當(dāng)m2時(shí),k2,由(*)式,得k2>2m22,又k0,所以k2>0,解得1<m<或<m<1,綜上,所求m的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問(wèn)題的步驟第一步:聯(lián)立方程第二步:求解判別式.第三步:代換利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì),得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系,將其代換第四步:下結(jié)論將上述等量代換式代入>0或0中,即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍第五步:回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí),無(wú)論題目中有沒(méi)有涉及求參數(shù)的取值范圍,都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約,這是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)變式訓(xùn)練4已知點(diǎn)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),且c2,則此橢圓離心率的取值范圍是_答案解析設(shè)P(x,y),則(cx,y)(cx,y)x2c2y2c2,將y2b2x2代入式解得x2,又x20,a2,2c2a23c2,e.高考題型精練1關(guān)于x的方程3xa22a,在(,1上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A2,1)(0,1B3,2)0,1C3,2)(0,1D2,1)0,1答案C解析當(dāng)x(,1時(shí),3x(0,3,要使3xa22a有解,a22a的值域必須為(0,3,即0<a22a3,解不等式可得3a2或0a1,故選C.2設(shè)函數(shù)f(x)ex(x33x3)aexx,若不等式f(x)0有解,則實(shí)數(shù)a的最小值為()A.1 B2C12e2D1答案D解析因?yàn)閒(x)0有解,所以f(x)ex(x33x3)aexx0,ax33x3F(x),F(xiàn)(x)3x23(x1)(3x3ex),令G(x)3x3ex,G(x)3ex,3ex0,xln 3,G(x)最小值G(ln 3)63ln 3>0,F(xiàn)(x)在(,1)上遞減,在(1,)上遞增,F(xiàn)(x)的最小值為F(1)1,所以a1,故選D.3已知f(x)x24x4,f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),fn(x)f(fn1(x),函數(shù)yfn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)記為an,則an等于()A2nB2n1C2n1D2n或2n1答案B解析f1(x)x24x4(x2)2,有1個(gè)零點(diǎn)2,由f2(x)0可得f1(x)2,則x2或x2,即yf2(x)有2個(gè)零點(diǎn),由f3(x)0可得f2(x)2或2,則(x2)22或(x2)22,即yf3(x)有4個(gè)零點(diǎn),以此類推可知,yfn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)an2n1.故選B.4已知函數(shù)f(x)ln xx1,g(x)x22bx4,若對(duì)任意x1(0,2),x21,2,不等式f(x1)g(x2)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_答案解析問(wèn)題等價(jià)于f(x)ming(x)max.f(x)ln xx1,所以f(x),令f(x)>0得x24x3<0,解得1<x<3,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)和(3,),故在區(qū)間(0,2)上,x1是函數(shù)的極小值點(diǎn),這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的,故也是最小值點(diǎn),所以f(x)minf(1).由于函數(shù)g(x)x22bx4,x1,2當(dāng)b<1時(shí),g(x)maxg(1)2b5;當(dāng)1b2時(shí);g(x)maxg(b)b24;當(dāng)b>2時(shí),g(x)maxg(2)4b8.故問(wèn)題等價(jià)于或或解第一個(gè)不等式組得b<1,解第二個(gè)不等式組得1b,第三個(gè)不等式組無(wú)解綜上所述,b的取值范圍是.5滿足條件AB2,ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_答案2解析可設(shè)BCx,則ACx,根據(jù)面積公式得SABCx,由余弦定理計(jì)算得cos B,代入上式得SABCx.由得22<x<22.故當(dāng)x2時(shí),SABC有最大值2.6已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為_答案1,)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a,由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0,則由題意得解得a1.7設(shè)函數(shù)f(x)ln x(a為常數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線與x軸平行,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若函數(shù)f(x)在(e,)內(nèi)有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1,),由f(x)ln x得f(x),由于曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線與x軸平行,所以f(2)0,即0,所以a.(2)因?yàn)閒(x),若函數(shù)f(x)在(e,)內(nèi)有極值,則函數(shù)yf(x)在(e,)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),令(x)x2(2a)x1.設(shè)x2(2a)x1(x)(x),可知1,不妨設(shè)>,則(0,1),(1,),若函數(shù)yf(x)在(e,)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),即y(x)在(e,)內(nèi)有異號(hào)零點(diǎn),所以>e,又(0)1>0,所以(e)e2(2a)e1<0,解得a>e2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2,)8已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍解(1)f(x)exax1(xR),f(x)exa.令f(x)0,得exa,當(dāng)a0時(shí),f(x)>0在R上恒成立;當(dāng)a>0時(shí),有xln a.綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,);當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(ln a,)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)exa0恒成立,即aex在R上恒成立當(dāng)xR時(shí),ex>0,a0,即a的取值范圍是(,09已知橢圓C:1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí),求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1x2,x1x2.所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d,所以AMN的面積為S|MN|d.由,解得k1.所以k的值為1或1.10已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2,且a32是a2,a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)若bnanlog2,Snb1b2bn,求使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,依題意,有即由得q23q20,解得q1或q2.當(dāng)q1時(shí),不合題意舍去;當(dāng)q2時(shí),代入得a12,所以an22n12n.(2)bnanlog22nlog22nn.所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因?yàn)镾n2n147<0,所以2n12nn22n147<0,即n2n90>0,解得n>9或n<10.因?yàn)閚N*,故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.