高考大題分層練 8 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組) 理 新人教版

高考大題分層練 8.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組)大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點(diǎn)！1.設(shè)橢圓C：+=1(a>b>0)，定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為x2+y2=，若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.(1)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程.(2)過(guò)“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明AOB為定值.【解析】(1)因?yàn)槿魭佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)為(1，0)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以c=1，又因?yàn)闄E圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，所以b=c=1，故橢圓C的方程為+y2=1，“相關(guān)圓”E的方程為x2+y2=.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線AB方程為x=，則A，B，所以AOB=.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組得x2+2(kx+m)2=2，即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0，即2k2-m2+1>0(*)，因?yàn)橹本€與相關(guān)圓相切，所以d=，所以3m2=2+2k2，所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=0，所以O(shè)AOB，所以AOB=為定值.2.已知函數(shù)f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(aR).(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若存在k(1，2)，使得當(dāng)x(0，k時(shí)，f(x)的值域是f(k)，+)，求a的取值范圍.(注：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.71828)【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1-=.由f(x)<0，解得0<x<1；由f(x)>0，解得x>1.所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1，+)，減區(qū)間為(0，1).(2)f(x)=1-2a(x-1)-=-=-.當(dāng)a0時(shí)，<0.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0，1)上為減函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(x)在(1，+)上為增函數(shù).所以，當(dāng)x(0，k(1<k<2)時(shí)，f(x)min=f(1)=0<f(k)，f(x)的值域是0，+).不符合題意.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=-.(i)當(dāng)<1，即a>時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下：x1(1，+)f(x)-0+0-f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)若滿(mǎn)足題意，只需滿(mǎn)足f>f(2)，即-1-a-ln>1-a-ln2.整理得+ln2a+ln2-1>0.令F(a)=+ln2a+ln2-1，當(dāng)a>時(shí)，F(xiàn)(a)=-=>0，所以F(a)在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)a>時(shí)，F(xiàn)(a)>F=ln2->ln-=0.可見(jiàn)，當(dāng)a>時(shí)，f>f(2)恒成立.故若a>，當(dāng)x(0，k(1<k<2)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域是f(k)，+).所以a>滿(mǎn)足題意.()當(dāng)=1，即a=時(shí)，f(x)=-0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).所以f(x)在(0，+)上為減函數(shù).從而f(x)在(0，k上為減函數(shù).符合題意.()當(dāng)>1，即0<a<時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，1)1f(x)-0+0-f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)若滿(mǎn)足題意，只需滿(mǎn)足f(2)<f(1)，且<2，即a>1-ln2，且a>.又1-ln2>，所以a>1-ln2.此時(shí)，1-ln2<a<.綜上，a>1-ln2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1-ln2，+).