高考大題分層練 5 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(A組) 理 新人教版

高考大題分層練 5.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(A組)大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點！1.已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點M(m，2)，其焦點為F，且=2.(1)求拋物線C的方程.(2)設(shè)E為y軸上異于原點的任意一點，過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F：(x-1)2+y2=1相切，切點分別為A，B，求證：直線AB過定點.【解析】(1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為：x=-，所以=m+=2，又因為4=2pm，即4=2p，所以p2-4p+4=0，所以p=2.拋物線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)點E(0，t)(t0)，由已知切線不為y軸，設(shè)EA：y=kx+t，聯(lián)立消去y，可得k2x2+(2kt-4)x+t2=0，因為直線EA與拋物線C相切，所以=(2kt-4)2-4k2t2=0，即kt=1，代入x2-2x+t2=0，所以x=t2，即A(t2，2t)，設(shè)切點B(x0，y0)，則由幾何性質(zhì)可以判斷點O，B關(guān)于直線EF：y=-tx+t對稱，則解得：即B.方法一：直線AB的斜率為kAB=(t1)，直線AB的方程為y=(x-t2)+2t，整理y=(x-1)，所以直線AB過定點恒過定點F(1，0)，當(dāng)t=1時，A(1，2)，B(1，1)，此時直線AB為x=1，過點F(1，0).綜上，直線AB過定點恒過定點F(1，0).方法二：直線AF的斜率為kAF=(t1)，直線BF的斜率為kBF=(t1)，所以kAF=kBF，即A，B，F(xiàn)三點共線，當(dāng)t=1時，A(1，2)，B(1，1)，此時A，B，F(xiàn)共線.所以直線AB過定點F.2.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax.(a0)(1)若f(x)在x=0處取得極值，求a的值.(2)討論f(x)的單調(diào)性.(3)證明：<(nN*，e為自然對數(shù)的底數(shù)).【解析】(1)因為f(x)=+a，因為x=0是f(x)的一個極值點，則f(0)=0，所以a=0，驗證知a=0符合條件(2)因為f(x)=+a=，若a=0，所以f(x)在(0，+)單調(diào)遞增，在(-，0)單調(diào)遞減；若當(dāng)a-1時，f(x)0對xR恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減；若-1<a<0，由f(x)>0得ax2+2x+a>0，所以<x<，再令f(x)<0，可得x>或x<，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，綜上所述，若a-1，f(x)在(-，+)上單調(diào)遞減；若-1<a<0，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，和上單調(diào)遞減；若a=0，f(x)在(0，+)單調(diào)遞增，在(-，0)單調(diào)遞減.(3)由(2)知，當(dāng)a=-1時，f(x)在(-，+)單調(diào)遞減，當(dāng)x(0，+)時，由f(x)<f(0)=0，所以ln(1+x2)<x，所以ln=ln+ln+ln<+=<，所以<=(nN*，e為自然對數(shù)的底數(shù)).