高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)22 專題6 突破點(diǎn)22 排列組合、二項(xiàng)式定理 理

專題限時(shí)集訓(xùn)(二十二)排列組合、二項(xiàng)式定理 A組高考題、模擬題重組練一、排列、組合1(2016全國甲卷)如圖221，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()圖221A24B18C12D9B從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有336(條)所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6318.2(2016四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24 B48 C60 D72D第一步，先排個(gè)位，有C種選擇；第二步，排前4位，有A種選擇由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有CA72(個(gè))3(2016全國丙卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k2m，a1，a2，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A18個(gè) B16個(gè)C14個(gè) D12個(gè)C由題意知：當(dāng)m4時(shí)，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1，且必有a10，a81.不考慮限制條件“對(duì)任意k2m，a1，a2，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”，則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C20(種)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有：若a2a31，則有C4(種)；若a21，a30，則a41，a51，只有1種；若a20，則a3a4a51，只有1種綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20614(種)故共有14個(gè)故選C.4(2012全國卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A12種 B10種C9種 D8種A分兩步：第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有C2(種)選派方法；第二步，選派兩名學(xué)生到甲地，另外兩名到乙地，共有C6(種)選派方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的選派方案共有2612(種)5(2016哈爾濱一模)某中學(xué)高三學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，且在三班至多選1人，不同的選取法的種數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952083】A484 B472 C252 D232B分兩類，不選三班的同學(xué)，利用間接法，沒有條件得選擇3人，再排除3個(gè)同學(xué)來自同一班，有C3C208種；選三班的一位同學(xué)，剩下的兩位同學(xué)從剩下的12人中任選2人，有CC264種根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，得208264472，故選B.6(2016吉安一模)下列各式的展開式中x8的系數(shù)恰能表示從重量分別為1,2,3,4，10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是()A(1x)(1x2)(1x3)(1x10)B(1x)(12x)(13x)(110x)C(1x)(12x2)(13x3)(110x10)D(1x)(1xx2)(1xx2x3)(1xx2x10)A從重量分別為1,2,3,4，10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè)，使其總重量恰為8克的方法是選一個(gè)，8克，一種方法，選兩個(gè)，17,26,35，共3種方法，選三個(gè)，125，只有一種方法，其他不含1的三個(gè)的和至少是2348.四個(gè)以上的和都大于8，因此共有方法數(shù)為5.A中，x8的系數(shù)是1315(x8，xx7，x2x6，x3x5，xx2x5)，B中，x8的系數(shù)大于12345678，C中，x8的系數(shù)大于8(8x8的系數(shù)就是8)，D中，x8的系數(shù)大于C8(有四個(gè)括號(hào)里取x2，其余取1時(shí)系數(shù)為C)因此只有A是正確的，故選A.7(2016沈陽一模)將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有()A24種 B28種 C32種 D36種B法一：五本書分給四名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，那么這四名同學(xué)中有且僅有一名同學(xué)分到兩本書，第一步驟，先選出一名同學(xué)，即C；這名同學(xué)分到的兩本書有三種情況：兩本小說，兩本詩集或是一本小說和一本詩集，因?yàn)樾≌f、詩集都不區(qū)別，所以在第一種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本小說，其余兩名同學(xué)各分到一本詩集)，在第二種情況下有1種分法(剩下三名同學(xué)各分到一本小說)，在第三種情況下有C種分法(剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本詩集，其余兩名同學(xué)各分到一本小說)，這樣第二步驟共有情況數(shù)是C1C7，故本題的答案是7C28，選B.法二：將3本相同的小說記為a，a，a；2本相同的詩集記為b，b，將問題分成3種情況，分別是aa，a，b，b，此種情況有A12種；bb，a，a，a，此種情況有C4種；ab，a，a，b，此種情況有A12種，總共有28種，故選B.二、二項(xiàng)式定理8(2015全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A10B20C30D60C法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項(xiàng)為T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4xCx5.所以x5y2的系數(shù)為CC30.故選C.法二：(x2xy)5為5個(gè)x2xy之積，其中有兩個(gè)取y，兩個(gè)取x2，一個(gè)取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.9(2013全國卷)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a7b，則m()A5 B6 C7 D8B(xy)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C，aC.同理，bC.13a7b，13C7C.137.m6.10(2013全國卷)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D1D(1x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系數(shù)為105a5，a1，故選D.11(2016全國乙卷)(2x)5的展開式中，x3的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫答案)10(2x)5展開式的通項(xiàng)為Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系數(shù)為254C2C10.12(2016山東高考)若5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a_.2Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展開式中x5的系數(shù)為80，則有Ca380，解得a2.13(2015全國卷)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.3設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.14(2014全國卷)(xy)(xy)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_(用數(shù)字填寫答案)20x2y7x(xy7)，其系數(shù)為C，x2y7y(x2y6)，其系數(shù)為C，x2y7的系數(shù)為CC82820.15(2016正定一模)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有(mx)(1x)6a0a1xa2x2a7x7，若a1a3a5a732，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952084】0設(shè)(1x)6b0b1xb2x2b6x6，則a1b0mb1，a3b2mb3，a5b4mb5，a7b6，所以a1a3a5a7(b0b2b4b6)m(b1b3b5)，又由二項(xiàng)式定理知b0b2b4b6b1b3b5(11)632，所以3232m32，m0.B組“124”模擬題提速練一、選擇題1(2016韶關(guān)一模)某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定：每位同學(xué)選修三門，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是()A70B98C108D120B可分為兩類：選A，B，C中的一門，其它7科中選兩門，有CC63；不選A，B，C中的一門，其它7科中選三門，有C35；所以共有98種，故選B.2(2016臨汾二模)已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，則a8等于()A5 B5 C90 D180D因?yàn)?1x)10(21x)10，所以a8等于C(2)2454180.故選D.3(2016福州模擬)甲、乙等5人在9月3號(hào)參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利70周年閱兵慶典后，在天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有()A12種 B24種 C48種 D120種B甲乙相鄰，將甲乙捆綁在一起看作一個(gè)元素，共有AA種排法，甲乙相鄰且在兩端有CAA種排法，故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有AACAA24(種)4(2016漳州二模)已知(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，則a2a3a9a10的值為()A20 B0 C1 D20D令x1得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又易知a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.5(2016昆明二模)在4的二項(xiàng)展開式中，如果x3的系數(shù)為20，那么ab3()A20 B15 C10 D5DTr1C(ax6)4rrCa4rbrx247r，令247r3，得r3，則4ab320，ab35.6(2016成都二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶光，4個(gè)紅包中兩個(gè)2元，兩個(gè)3元(紅包金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有()A36種 B24種 C18種 D9種C由題意可得丙、丁、戊中有1人沒有搶到紅包，且搶到紅包的4人中有2人搶到2元紅包，另2人搶到3元紅包，則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有CC18種，故選C.7(2016蘭州一模)七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙，丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的排法有()A240種 B192種 C120種 D96種B不妨令乙丙在甲左側(cè)，先排乙丙兩人，有A種站法，再取一人站左側(cè)有CA種站法，余下三人站右側(cè)，有A種站法，考慮到乙丙在右側(cè)的站法，故總的站法總數(shù)是2ACAA192，故選B.8(2016威海一模)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有()AAA種 BA54種CCA種 DC54種D有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有C種情況，其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況，故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有C54種，故選D.9(2016泉州模擬)在10的展開式中，含x2項(xiàng)的系數(shù)為()A10 B30 C45 D120C因?yàn)?010(1x)10C(1x)9C10，所以x2項(xiàng)只能在(1x)10的展開式中，所以含x2的項(xiàng)為Cx2，系數(shù)為C45，故選C.10(2016肇慶二模)(x2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952085】A68y7 B112x3y4 C672x2y5 D1 344x2y5C設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，則有即即解得又rZ，r5，系數(shù)最大的項(xiàng)為T6Cx225y5672x2y5.故選C.11(2016宜昌模擬)若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則(a0a2a4)2(a1a3)2的值是()A1 B1 C0 D2A令x1，則a0a1a4(2)4，令x1，則a0a1a2a3a4(2)4，(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.12(2016長(zhǎng)春一模)若n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于()A3 B4 C5 D6C由題意，n的展開式的項(xiàng)為Tr1C(x6)nrrCx6n6rrCx6nr，令6nr0，得nr，當(dāng)r4時(shí)，n取到最小值5.故選C.二、填空題13(2016烏魯木齊一模)若9的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是84，則實(shí)數(shù)a_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952086】19的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr1Carx93r，令93r0，即r3，常數(shù)項(xiàng)為T4Ca384a3，依題意，有84a384，a1.14(2016湖南東部六校聯(lián)考)如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是_21n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為n2n128，所以n7，所以n7，其展開式的通項(xiàng)為Tr1C(3x)7rrC37rx7r(x)r(1)rC37rx7r，由7r3，得r6，所以的系數(shù)是C(1)6321.15(2016長(zhǎng)春二模)小明試圖將一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒時(shí)只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有_種37由題可知，取出酒瓶的方式有3類，第一類：取6次，每次取出4瓶，只有1種方式；第二類：取8次，每次取出3瓶，只有1種方式；第三類：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法為C，為35種共計(jì)37種取法16(2016廣東八市聯(lián)考)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為_472由題意，不考慮特殊情況，共有C種取法，其中每一種卡片各取三張，有4C種取法，兩種紅色卡片，共有CC種取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472.