高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題6 突破點18 導數(shù)的應用（酌情自選）教師用書 理

突破點18導數(shù)的應用(酌情自選)提煉1導數(shù)與函數(shù)的單調性(1)函數(shù)單調性的判定方法在某個區(qū)間(a，b)內，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內單調遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內單調遞減(2)常數(shù)函數(shù)的判定方法如果在某個區(qū)間(a，b)內，恒有f(x)0，那么函數(shù)yf(x)是常數(shù)函數(shù)，在此區(qū)間內不具有單調性(3)已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍設可導函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內單調遞增(或遞減)，則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內f(x)0(或f(x)0)，從而轉化為恒成立問題來解決(注意等號成立的檢驗).提煉2函數(shù)極值的判別注意點(1)可導函數(shù)極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，如函數(shù)f(x)x3，當x0時就不是極值點，但f(0)0.(2)極值點不是一個點，而是一個數(shù)x0，當xx0時，函數(shù)取得極值在x0處有f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件(3)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點函數(shù)值中的最大值，函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點函數(shù)值中的最小值.提煉3函數(shù)最值的判別方法(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上最值的關鍵是求出f(x)0的根的函數(shù)值，再與f(a)，f(b)作比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值(2)求函數(shù)f(x)在非閉區(qū)間上的最值，只需利用導數(shù)法判斷函數(shù)f(x)的單調性，即可得結論回訪1導數(shù)與函數(shù)的單調性1(2016全國乙卷)若函數(shù)f(x)xsin 2xasin x在(，)單調遞增，則a的取值范圍是()A1,1B.C. D.C取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)單調遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.2(2015全國卷)設函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導函數(shù)，f(1)0，當x>0時，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A設yg(x)(x0)，則g(x)，當x>0時，xf(x)f(x)<0，g(x)<0，g(x)在(0，)上為減函數(shù)，且g(1)f(1)f(1)0.f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，g(x)的圖象的示意圖如圖所示當x>0，g(x)>0時，f(x)>0,0<x<1，當x<0，g(x)<0時，f(x)>0，x<1，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A.回訪2函數(shù)的極值與最值3(2014全國卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)Bf(x)3ax26x，當a3時，f(x)9x26x3x(3x2)，則當x(，0)時，f(x)>0；x時，f(x)<0；x時，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示(1)不符合題意，排除A、C.當a時，f(x)4x26x2x(2x3)，則當x時，f(x)<0，x時，f(x)>0，x(0，)時，f(x)<0，注意f(0)1，f，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示(2)不符合題意，排除D.4(2016北京高考)設函數(shù)f(x)(1)若a0，則f(x)的最大值為_；(2)若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是_2a<1由當xa時，f(x)3x230，得x1.如圖是函數(shù)yx33x與y2x在沒有限制條件時的圖象(1)若a0，則f(x)maxf(1)2.(2)當a1時，f(x)有最大值；當a<1時，y2x在x>a時無最大值，且2a>(x33x)max，所以a<1.熱點題型1利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題題型分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題常在解答題的第(1)問中呈現(xiàn)，有一定的區(qū)分度，此類題涉及函數(shù)的極值點、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、不等式的恒成立等.(2016遼寧葫蘆島模擬)已知x1是f(x)2xln x的一個極值點(1)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間；(2)設函數(shù)g(x)f(x)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間1,2內單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：85952067】解(1)因為f(x)2xln x，所以f(x)2，因為x1是f(x)2xln x的一個極值點，所以f(1)2b10，解得b3，經檢驗，符合題意，所以b3.則函數(shù)f(x)2xln x，其定義域為(0，).4分令f(x)20，解得x1，所以函數(shù)f(x)2xln x的單調遞減區(qū)間為(0,1.6分(2)因為g(x)f(x)2xln x，所以g(x)2.8分因為函數(shù)g(x)在1,2上單調遞增，所以g(x)0在1,2上恒成立，即20在x1,2上恒成立，所以a(2x2x)max，而在1,2上，(2x2x)max3，所以a3.所以實數(shù)a的取值范圍為3，).12分根據(jù)函數(shù)yf(x)在(a，b)上的單調性，求參數(shù)范圍的方法：(1)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調遞增，轉化為f(x)0在(a，b)上恒成立求解(2)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調遞減，轉化為f(x)0在(a，b)上恒成立求解(3)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上單調，轉化為f(x)在(a，b)上不變號即f(x)在(a，b)上恒正或恒負(4)若函數(shù)yf(x)在(a，b)上不單調，轉化為f(x)0在(a，b)上有解變式訓練1(2016重慶模擬)設函數(shù)f(x)(aR)(1)若f(x)在x0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若f(x)在3，)上為減函數(shù)，求a的取值范圍解(1)對f(x)求導得f(x).2分因為f(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即a0.當a0時，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，從而f(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，化簡得3xey0.6分(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.8分當xx1時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)；當x1xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為增函數(shù)；當xx2時，g(x)0，即f(x)0，故f(x)為減函數(shù)由f(x)在3，)上為減函數(shù)，知x23，解得a，故a的取值范圍為.12分熱點題型2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題題型分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值是高考重點考查內容，主要以解答題的形式考查，難度較大.(2016汕頭一模)已知函數(shù)f(x)ax2(a21)xaln x.(1)若函數(shù)f(x)在上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a時，求f(x)在1,2上的最大值和最小值(注意：ln 20.7) 【導學號：85952068】解(1)因為f(x)在上單調遞減，所以f(x)ax(a21)0在上恒成立，即axa21.2分當a0時，結論成立；當a0時，不等式等價為xa在上恒成立；當x0時，h(x)x在(0,1)上是減函數(shù)，在1，)上是增函數(shù)，所以要使函數(shù)h(x)h(a)在上恒成立，則0x或xe，綜上a或ae.4分(2)f(x)ax(a21).由f(x)0得xa或.6分當0a時，即f(x)0時，f(x)在1,2上遞減；所以f(x)minf(2)2a2(a21)aln 2，f(x)maxf(1)a(a21)；當a時，當1x時，f(x)0，當x2，f(x)0，所以f(x)minfaaln a，8分f(2)f(1)a(a21)aln 2，設h(x)x(x21)xln 2，x.h(x)2xln 2，因為x，所以h(x)0，則h(x)在x上單調遞增，所以h(x)maxln 2ln 20，所以f(2)f(1)，所以f(x)maxf(1)a(a21)，綜上當0a時，f(x)min2a2(a21)aln 2，f(x)maxf(1)a(a21)，當a時，f(x)minaaln a，f(x)maxf(1)a(a21).12分利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法1若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號2若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解3求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值變式訓練2(2016全國丙卷)設函數(shù)f(x)cos 2x(1)(cos x1)，其中>0，記|f(x)|的最大值為A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)證明|f(x)|2A.解(1)f(x)2sin 2x(1)sin x2分(2)當1時，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32f(0)故A32.當0<<1時，將f(x)變形為f(x)2cos2x(1)cos x1.令g(t)2at2(1)t1，則A是|g(t)|在1,1上的最大值，g(1)，g(1)32，且當t時，g(t)取得極小值，極小值為g1.令1<<1，解得>.6分當0<時，g(t)在(1,1)內無極值點，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|g(1)|，所以A23.當<<1時，由g(1)g(1)2(1)>0，知g(1)g(1)>g.又|g(1)|0，所以A.綜上，A8分(3)證明：由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.當0<時，|f(x)|1242(23)2A.當<1時，A1，所以|f(x)|12A.當1時，|f(x)|31642A.所以|f(x)|2A.12分熱點題型3利用導數(shù)解決不等式問題題型分析：此類問題以函數(shù)、導數(shù)與不等式相交匯為命題點，實現(xiàn)函數(shù)與導數(shù)、不等式及求最值的相互轉化，達成了綜合考查考生解題能力的目的.設函數(shù)f(x)x2ln(x1)(1)求證：當x(0，)時，f(x)x恒成立；(2)求證：ln 2 016；(3)求證： n(1cos 1ln 2)證明(1)設g(x)xf(x)xx2ln(x1)，則g(x)12x.當x0時，g(x)0，所以g(x)在(0，)上遞減，所以g(x)g(0)0，即xf(x)恒成立.4分(2)由(1)知，x0時，xx2ln(x1)，令x(nN*)，得ln ，所以 ，即ln 2 016.(3)因為ysin x在0,1上單調遞增，所以sin nnsin xdxn(cos x)|n(1cos 1)又y在0,1上單調遞減，9分所以 nndxnln(1x)|nln 2.11分所以 n(1cos 1ln 2).12分1利用導數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形(2)構造新的函數(shù)h(x)(3)利用導數(shù)研究h(x)的單調性或最值(4)根據(jù)單調性及最值，得到所證不等式特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題2構造輔助函數(shù)的四種方法(1)移項法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x)的問題轉化為證明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0)，進而構造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(2)構造“形似”函數(shù)：對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構，根據(jù)“相同結構”構造輔助函數(shù)(3)主元法：對于(或可化為)f(x1，x2)A的不等式，可選x1(或x2)為主元，構造函數(shù)f(x，x2)(或f(x1，x)(4)放縮法：若所構造函數(shù)最值不易求解，可將所證明不等式進行放縮，再重新構造函數(shù)變式訓練3(名師押題)已知函數(shù)f(x)ln xmxm，mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)0在x(0，)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，任意的0ab，求證：.解(1)f(x)m(x(0，)當m0時，f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調遞增；當m0時，由f(x)m0，則x，則f(x)在上單調遞增，在上單調遞減.4分(2)由(1)得：當m0時顯然不成立；當m0時，f(x)maxfln1mmln m1，只需mln m10，即令g(x)xln x1，則g(x)1，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增，所以g(x)ming(1)0.則若f(x)0在x(0，)上恒成立，m1.8分(3)證明：11，由0ab得1，由(2)得：ln1，則11，則原不等式成立.12分