高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)9 隨機(jī)變量及其分布 理

突破點(diǎn)9隨機(jī)變量及其分布提煉1離散型隨機(jī)變量的分布列離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn則(1)pi0.(2)p1p2pipn1(i1,2,3，n)(3)E(X)x1p1x2p2xipixnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn叫做隨機(jī)變量X的方差(4)均值與方差的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b；D(aXb)a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))(5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p).提煉2幾種常見概率的計(jì)算(1)條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A).(2)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.提煉3正態(tài)分布(1)若XN(，2)，則P(<X)0.682 6；P(2<X2)0.954 4；P(3<X3)0.9974.(2)若XN(，2)，則正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱且P(X<a)1P(Xa)；P(X<a)P(X>a)回訪1條件概率1(2015全國卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A0.648B0.432C0.36D0.312A3次投籃投中2次的概率為P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率為P(k3)0.63，所以通過測試的概率為P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故選A.2(2014全國卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45A已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P0.8.回訪2正態(tài)分布3(2012全國卷)圖91某一部件由三個電子元件按如圖91所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(ABAB)C，該部件的使用壽命超過1 000小時的概率P.回訪3隨機(jī)變量的分布列、期望、方差4(2016全國乙卷)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：圖92以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.1分從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.3分所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.044分(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，7分故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)當(dāng)n19時，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；9分當(dāng)n20時，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.11分可知當(dāng)n19時所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n19.12分熱點(diǎn)題型1相互獨(dú)立事件的概率與條件概率題型分析：高考對條件概率的考查，主要體現(xiàn)在對條件概率的了解層次，難度較小，對事件相互獨(dú)立性的考查相對較頻繁，難度中等.(1)(2016山西考前模擬)某同學(xué)用計(jì)算器產(chǎn)生了兩個0,1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，分別記作x，y.當(dāng)y<x2時，x>的概率是() 【導(dǎo)學(xué)號：85952034】A.B.C. D.(2)如圖93，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨(dú)立已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.圖93求p；求電流能在M與N之間通過的概率(1)D記“y<x2”為事件A，“x>”為事件B，所以(x，y)構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，所以S10x2dxx30，S2x2dxS1x3，則所求概率為，故選D.(2)記Ai表示事件：電流能通過Ti，i1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流，B表示事件：電流能在M與N之間通過123，1，2，3相互獨(dú)立，2分P()P(123)P(1)P(2)P(3)(1p)3.3分又P()1P(A)10.9990.001，4分故(1p)30.001，p0.9.6分BA44A1A341A2A3，8分P(B)P(A44A1A341A2A3)P(A4)P(4A1A3)P(41A2A3)P(A4)P(4)P(A1)P(A3)P(4)P(1)P(A2)P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1.12分1解決條件概率的關(guān)鍵是明確“既定條件”2求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法(1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解(2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進(jìn)行求解對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解變式訓(xùn)練1(2016全國甲卷)某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值解(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.2分(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.10.050.15.4分又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.6分(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.059分E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.11分因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.12分熱點(diǎn)題型2離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差題型分析：離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點(diǎn)，常以實(shí)際生活為背景，涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等.(名師押題)第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動會已于2016年8月5日21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行完畢下表是近六屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(單位：枚).第31屆巴西第30屆倫敦第29屆北京第28屆雅典第27屆悉尼第26屆亞特蘭大中國263851322816俄羅斯192423273226(1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可)；(2)甲、乙、丙三人競猜下屆中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個獲得的金牌數(shù)多(假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會相等)，規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個代表團(tuán)中選一個，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個代表團(tuán)互不影響現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團(tuán)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下：通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散.6分(2)X的可能取值為0,1,2,3，設(shè)事件A，B，C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則P(X0)P()P()P()2，7分P(X1)P(A)P(B)P(C)C2，8分P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)2C，9分P(X3)P(A)P(B)P(C)2.10分故X的分布列為X0123P11分E(X)0123.12分解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解提醒：明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練2(2016益陽模擬)某工廠有兩條相互不影響的生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品出廠前需要對產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測檢測得分低于80的為不合格品，只能報廢回收；得分不低于80的為合格品，可以出廠，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各60件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：得分60,70)70,80)80,90)90,100甲種產(chǎn)品的件數(shù)5103411乙種產(chǎn)品的件數(shù)812319(1)試分別估計(jì)甲、乙兩種產(chǎn)品下生產(chǎn)線時為合格品的概率；(2)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品則虧損20元；生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品則虧損15元在(1)的前提下：記X為生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品和1件乙種產(chǎn)品所獲得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；求生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲得的利潤不少于300元的概率解(1)甲種產(chǎn)品為合格品的概率約為，乙種產(chǎn)品為合格品的概率約為.2分(2)隨機(jī)變量X的所有取值為190,85,70，35，且P(X190)，P(X85)，P(X70)，P(X35).所以隨機(jī)變量X的分布列為X190857035P6分所以E(X)125.8分設(shè)生產(chǎn)的5件乙種產(chǎn)品中合格品有n件，則不合格品有(5n)件，依題意得，90n15(5n)300，解得n，取n4或n5，設(shè)“生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲得的利潤不少于300元”為事件A，則P(A)C45.12分熱點(diǎn)題型3正態(tài)分布問題題型分析：由于正態(tài)分布與頻率分布直方圖有極大的相似性，故在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)適度關(guān)注這一知識間的聯(lián)系，同時對正態(tài)分布的圖象特征給予高度關(guān)注.(2014全國卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：圖94(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 6，P(2<Z<2)0.954 4.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，3分s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.6分(2)由(1)知，ZN(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 6.9分由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100,0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.12分解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對稱性求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率變式訓(xùn)練3(1)設(shè)XN(1，2) ，其正態(tài)分布密度曲線如圖95所示，且P(X3)0.022 8，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10 000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為()圖95(附：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，2)，則P(<X<)68.26%，P(2<X<2)95.44%)A6 038 B6 587C7 028 D7 539(2)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，2)，若P(>3)0.023，則P(33)_.(1)B(2)0.954(1)由題意得，P(X1)P(X3)0.022 8，P(1<X<3)10.022 820.954 4，121，1，P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估計(jì)的個數(shù)為10 000(10.341 3)6 587，故選B.(2)N(0，2)，正態(tài)曲線的對稱軸為0.故P(33)2P(03)而由正態(tài)曲線的對稱性，可知P(0)P(0)0.5，故P(03)0.5P(>3)0.50.0230.477，P(33)2P(03)20.4770.954.