高等數(shù)學(xué)課件：3-5函數(shù)圖形的描繪

3.5 函數(shù)圖形的描繪二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形描繪的步驟四、作圖舉例一、曲線凹凸性一、曲線凹凸性問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC1.定義定義定義的（或凸?。┑模ɑ蛲够。┥系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的圖形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有點(diǎn)點(diǎn)上任意兩上任意兩如果對如果對上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf2.曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在一階和二階導(dǎo)數(shù)一階和二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有內(nèi)具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x,0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0,(時，時，當(dāng)當(dāng)0 x,0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線),0.)0,0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,3、曲線的拐點(diǎn)及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導(dǎo)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)數(shù),則點(diǎn)則點(diǎn) )(,00 xfx是拐點(diǎn)的必要條件是是拐點(diǎn)的必要條件是0)(0 xf.(1 1)定義定義注意注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.(2 2)拐點(diǎn)的求法拐點(diǎn)的求法證證,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf ,)()(0兩邊變號兩邊變號在在則則xxfxf ,)(,(00是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)又又xfx,)(0取取得得極極值值在在xxf ,條件條件由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點(diǎn)及的拐點(diǎn)及求曲線求曲線 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:例例4 4.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 解解,0時時當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn)yyx ,0,)0,(y內(nèi)內(nèi)但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在,0,),0(y內(nèi)內(nèi)在在.),0上是凸的上是凸的曲線在曲線在.)0,0(3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)是曲線是曲線點(diǎn)點(diǎn)xy 二、曲線的漸近線定義定義:.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點(diǎn)如果點(diǎn)移向無窮點(diǎn)時移向無窮點(diǎn)時沿著曲線沿著曲線上的一動點(diǎn)上的一動點(diǎn)當(dāng)曲線當(dāng)曲線xfyLLPPxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條:.3,2 xx2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條:.2,2 yy3.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是曲曲線線那那么么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解).,1()1,(:D )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)(xxxxf三、函數(shù)圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對函數(shù)進(jìn)行奇對函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf;求求出出方方程程0)(xf和和0)(xf 在在函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的全全部部實(shí)實(shí)根根，用用這這些些根根同同函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)把把函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個個部部分分區(qū)區(qū)間間.第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論）；可列表進(jìn)行討論）；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢漸近線以及其他變化趨勢;第五步第五步 描描出出與與方方程程0)(xf和和0)(xf的的根根對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時時還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫畫出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.四、作圖舉例例例1 1.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解,0:xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無對稱性且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn),0)(xf令令.3 x得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平漸近線得水平漸近線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3)926,3(:補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn));0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf例例2 2.21)(22的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù)xex 解解),(:D偶函數(shù)偶函數(shù),圖形關(guān)于圖形關(guān)于y軸對稱軸對稱.,2)(22xexx ,0)(x令令,0 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn),0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn).4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值 21)21,1(e 列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):0拐點(diǎn)拐點(diǎn))21,1(e xyo11 212221)(xex 例例 3 描繪描繪 的圖形。的圖形。32(1)()(1)xyf xx 解解 (1)定義域：定義域：是間斷點(diǎn)。是間斷點(diǎn)。(,1)(1,);1x (2)令令23(1)(5)(),1.(1)xxfxxx()01,5.fxxx 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)424(1)(),1.(1)xfxxx()01.fxx 令得令得 (3)因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 3211(1)lim()lim,(1)xxxf xx 1x 是垂直漸近線是垂直漸近線;又因?yàn)橛忠驗(yàn)?2()(1)limlim1,(1)xxf xxkxx x 3222(1)lim()lim(1)521 lim5,(1)xxxxbf xkxxxxxx故有斜漸近線故有斜漸近線5.yx (4)列表討論列表討論x()fx()fx()yf x115000(1,0)拐拐 點(diǎn)點(diǎn)13.5極極 小小 (5)曲線還經(jīng)過如下一些點(diǎn)曲線還經(jīng)過如下一些點(diǎn):16133(0,(5,1,.78),(3),0.5),(0.51,),.,13.5)(6)曲線圖形如下曲線圖形如下:Oxy1115571013.5并并作作圖圖。極極值值、拐拐點(diǎn)點(diǎn)、漸漸進(jìn)進(jìn)線線，的的增增減減性性、凸凸凹凹性性、討討論論函函數(shù)數(shù) xxey 列表列表)(,：定定義義域域 解解 )(xeyx yxlim曲線過點(diǎn)曲線過點(diǎn)(0,0)xeyx 0)2(12(1,2)(,)(2 ,00+e 22exyyy+駐點(diǎn)：駐點(diǎn)：x=1x=2例4 極大值極大值(拐點(diǎn)拐點(diǎn))故故 y=0為水平漸近線為水平漸近線因因：X0y1漸進(jìn)線漸進(jìn)線：y=0(0,0)1,1(e)2,2(2e2xxey .(x +)e 列表列表：定定義義域域 y yxlim xxy3328 )22,(3 )21(,xyyy.對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：xxy xx解解 x所以，所以，曲線有漸近線曲線有漸近線 x=0=00(拐點(diǎn)拐點(diǎn))+因因（牛頓三叉戟線）（牛頓三叉戟線）21 x 223 x223)0,22(3 21)21(,00+3極小值極小值+yxlim例例50 .間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)0 xy21 3223 牛頓三叉戟線牛頓三叉戟線.xxy列表列表：定定義義域域 y ,yx1lim xxxy53)1()1(21 )(,),xyyy+.對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：對函數(shù)進(jìn)行全面討論并畫圖：xxy )(xxx xxxx xx解解 (在定義域內(nèi)在定義域內(nèi)),yx 1lim所以，所以，曲線有漸近線曲線有漸近線 y=1及及 x=-1=-110最小值最小值+因因 不不+01例例6(,1)1,+)0 xy111.小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察數(shù)應(yīng)用的綜合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy