中考數(shù)學(xué)命題研究 第一編 教材知識(shí)梳理篇 第二章 方程（組）與不等式（組）第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用（精講）試題

第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用,貴陽(yáng)五年中考命題規(guī)律) 年份題型題號(hào)考查點(diǎn)考查內(nèi)容分值總分2016選擇10一元二次方程根的定義及判定以一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為條件比較實(shí)數(shù)的大小332015未考2014未考2013解答21一元二次方程的應(yīng)用以汽車增加量為背景，列關(guān)于增長(zhǎng)率的一元二次方程10102012未考命題規(guī)律縱觀貴陽(yáng)市5年中考，只有兩年考查了一元二次方程，2016年考查了一元二次方程根的定義及判別式，分值3分，題型是選擇題，題目難度較大；2013年考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，分值10分，題目難度一般命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)中考考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題可能性較大.,貴陽(yáng)五年中考真題及模擬) 一元二次方程根的定義與判別式(1次)1(2016貴陽(yáng)10題3分)若m，n(n<m)是關(guān)于x的一元二次方程1(xa)(xb)0的兩個(gè)根，且b<a，則m，n，b，a的大小關(guān)系是( D )Am<a<b<n Ba<m<n<bCb<n<m<a Dn<b<a<m 一元二次方程的應(yīng)用(1次)2(2013貴陽(yáng)21題10分)2010年年底某市汽車擁有量為100萬(wàn)輛，而截止到2012年年底，該市的汽車擁有量已達(dá)到144萬(wàn)輛(1)求2010年年底至2012年年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率；(2)該市交通部門為控制汽車擁有量的增長(zhǎng)速度，要求到2013年年底全市汽車擁有量不超過(guò)155.52萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)2013年報(bào)廢的汽車數(shù)量是2012年年底汽車擁有量的10%，求2012年年底至2013年年底該市汽車擁有量的年增長(zhǎng)率要控制在什么范圍才能達(dá)到要求解：(1)設(shè)2010年年底至2012年年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意：100(1x)2144，解得x10.220%，x22.2(舍去)；(2)設(shè)2012年年底到2013年年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為y，根據(jù)題意得：144(1y)14410%155.52，解得y0.18，年增長(zhǎng)率要控制在不超過(guò)18%才能達(dá)到要求3關(guān)于x的一元二次方程(a6)x28x60有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是( C )A6 B7C8 D94某商品原售價(jià)289元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后售價(jià)為256元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程中正確的是( A )A289(1x)2256 B256(1x)2289C289(12x)256 D256(12x)2895(2016貴陽(yáng)模擬)天山旅行社為吸引游客組團(tuán)去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(如圖所示)： 某單位組織員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給旅行社旅游費(fèi)用27 000元，請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少名員工去具有喀斯特地貌特征的黃果樹(shù)風(fēng)景區(qū)旅游？解：設(shè)該單位去黃果樹(shù)旅游人數(shù)為x人，則人均費(fèi)用為1 00020(x25)元由題意得x1 00020(x25)27 000，整理得x275x1 3500，解得x145，x230.當(dāng)x45時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 00020(x25)600<700，不符合題意，應(yīng)舍去當(dāng)x30時(shí)，人均旅游費(fèi)用為1 00020(x25)900>700，符合題意x30.,中考考點(diǎn)清單) 一元二次方程的概念1只含有_1_個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是_2_，像這樣的_整式_方程叫一元二次方程其一般形式是_ax2bxc0(a0)_【溫馨提示】判斷一個(gè)方程是一元二次方程的條件：是整式方程；二次項(xiàng)系數(shù)不為零；未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且只含有一個(gè)未知數(shù) 一元二次方程的解法2.直接開(kāi)平方法這種方法適合于左邊是一個(gè)完全平方式，而右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的一元二次方程，即形如(xm)2n(n>0)的方程配方法配方法一般適用于解二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的這類一元二次方程，配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的_完全平方_式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)公式法求根公式為_(kāi)x(b24ac0)_，適用于所有的一元二次方程因式分解法因式分解法的步驟：(1)將方程右邊化為_(kāi)0_；(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積；(3)令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.【溫馨提示】關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的解法：(1)當(dāng)b0，c0時(shí)，x2，考慮用直接開(kāi)平方法解；(2)當(dāng)c0，b0時(shí)，用因式分解法解；(3)當(dāng)a1，b為偶數(shù)時(shí)，用配方法解簡(jiǎn)便 一元二次方程根的判別式3根的判別式：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況可由_b24ac_來(lái)判定，我們將_b24ac_稱為根的判別式4判別式與根的關(guān)系：(1)當(dāng)b24ac>0方程有_兩個(gè)不相等_的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)b24ac<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)b24ac0方程有_兩個(gè)相等_的實(shí)數(shù)根【溫馨提示】(1)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b24ac0.(2)當(dāng)a、c異號(hào)時(shí)>0. 一元二次方程的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))5列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；列方程；解方程；檢驗(yàn)；做結(jié)論6一元二次方程應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)的等量關(guān)系：(1)增長(zhǎng)率中的等量關(guān)系：增長(zhǎng)率增量基礎(chǔ)量；(2)利率中的等量關(guān)系：本息和本金利息，利息本金利率時(shí)間；(3)利潤(rùn)中的等量關(guān)系：毛利潤(rùn)售出價(jià)進(jìn)貨價(jià)，純利潤(rùn)售出價(jià)進(jìn)貨價(jià)其他費(fèi)用，利潤(rùn)率利潤(rùn)進(jìn)貨價(jià)【方法點(diǎn)撥】利用方程根的意義，把方程的根代入方程中，是解決一元二次方程有關(guān)問(wèn)題的一種重要方法，我們可以把這種方法稱為讓根回家 ,中考重難點(diǎn)突破) 一元二次方程的解法【例1】(1)(2014白銀中考)若方程(m1)xm21mx50是關(guān)于x的一元二次方程，則m_(2)解方程：(x1)(2x1)3(x1)【解析】方程兩邊都含有因式x1，如果在方程兩邊同時(shí)約去x1，就會(huì)導(dǎo)致方程失去一個(gè)根x1，本題可先移項(xiàng)，利用因式分解法求解【學(xué)生解答】解：(1)1；(2)方程化為(x1)(2x1)3(x1)0，即(x1)(2x13)0，所以x10或2x40，所以方程的解為x11，x22.【點(diǎn)撥】解一元二次方程時(shí)，不能隨便在方程兩邊約去含未知數(shù)的代數(shù)式，否則，可能導(dǎo)致方程失去一個(gè)根1(2016貴陽(yáng)考試說(shuō)明)用配方法解一元二次方程x24x50，此方程可變形為( A )A(x2)29 B(x2)29C(x2)21 D(x2)212(2016天津中考)方程x2x120的兩個(gè)根為( D )Ax12，x26 Bx16，x22Cx13，x24 Dx14，x233用因式分解法解方程：(1)(2015蘭州中考)x212(x1)；解：原方程化為x22x30，(x3)(x1)0，x30或x10，x13，x21； (2)(2016山西中考)2(x3)2x29.解：原方程可化為2(x3)2(x3)(x3)，2(x3)2(x3)(x3)0.(x3)2(x3)(x3)0.(x3)(x9)0.x30或x90.x13，x29. 一元二次方程判別式的應(yīng)用【例2】(2016懷化中考)一元二次方程x2x10的根的情況為( )A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D沒(méi)有實(shí)數(shù)根【解析】一元二次方程x2x10中，a1，b1，c1，b24ac(1)241(1)145，有兩個(gè)不相等實(shí)根【學(xué)生解答】A4(2016瀘州中考)若關(guān)于x的一元二次方程x22(k1)xk210有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( D )Ak1 Bk>1 Ck<1 Dk15(2016淮安中考)若關(guān)于x的x26xk0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k_9_6(2016河南中考)若關(guān)于x的一元二次方程x23xk0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_k>_7(2016白銀中考)已知關(guān)于x的方程x2mxm20.(1)若此方程的一個(gè)根為1，求m的值；(2)求證：不論m取何實(shí)數(shù)，此方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解：(1)把x1代入方程x2mxm20得1mn20，解得m；(2)m24(m2)(m2)24.(m2)20，(m2)24>0，即>0，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 一元二次方程的應(yīng)用【例3】(2016梅州中考)用一條長(zhǎng)40 cm的繩子圍成一個(gè)面積為64 cm2的矩形設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x cm，則可列方程為_(kāi)【解析】根據(jù)題意可知矩形的周長(zhǎng)為40 cm，一邊長(zhǎng)為x cm，則另一邊長(zhǎng)為(20x)cm.可列方程：x(20x)64.【學(xué)生解答】x(20x)648(2016丹東中考)某公司今年4月份營(yíng)業(yè)額為60萬(wàn)元，6月份營(yíng)業(yè)額達(dá)到100萬(wàn)元，設(shè)該公司5、6兩個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的月均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為_(kāi)60(1x)2100_9(2016畢節(jié)中考)為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2014年以來(lái)，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2014年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6 000萬(wàn)元.2016年投入教育經(jīng)費(fèi)8 640萬(wàn)元假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同(1)求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；(2)若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元解：(1)設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x.則有：6 000(1x)28 640，解得：x10.2，x22.2(不合題意，舍去)，該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%；(2)因?yàn)?016年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8 640萬(wàn)元，且增長(zhǎng)率為20%，2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)y8 640(10.2)10 368(萬(wàn)元)答：2017年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10 368萬(wàn)元