中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8講《分式方程及其應(yīng)用》試題

2017年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8講分式方程及其應(yīng)用【考點(diǎn)解析】題型一 分式方程的解法【例題】（2016十堰）用換元法解方程=3時(shí)，設(shè)=y，則原方程可化為（）Ay=3=0 By3=0 Cy+3=0 Dy+3=0【分析】直接利用已知將原式用y替換得出答案【解答】解：設(shè)=y，=3，可轉(zhuǎn)化為：y=3，即y3=0故選：B【點(diǎn)評】此題主要考查了換元法解分式方程，正確得出y與x值間的關(guān)系是解題關(guān)鍵【變式】1(2015湖北衡陽)方程的解為 【答案】x=-1.【解析】 此題考查解分式方程，首先去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：原方程兩邊同時(shí)乘以x(x-2)，得x-2=3x，移項(xiàng)得，x3x=2，合并同類項(xiàng)得，2x=2，系數(shù)化為1，得x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，x(x-2)0，所以x=1是原方程的根.注意解分式方程必須要檢驗(yàn)根的合理性.【點(diǎn)評】解分式方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)去分母時(shí)，要將最簡公分母乘以每一個(gè)式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡公分母看其是否為0即可若能使最簡公分母為0，則該解是原方程的增根 2.解方程：【答案】【解析】方程兩邊同乘以，得，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根原方程的解為題型二 分式方程的增根【例題】1（2016涼山州）關(guān)于x的方程無解，則m的值為（）A5 B8 C2 D5【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可【解答】解：去分母得：3x2=2x+2+m，由分式方程無解，得到x+1=0，即x=1，代入整式方程得：5=2+2+m，解得：m=5，故選A【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0【變式】2.若方程有增根，則m的值為 【答案】3【解析】兩邊同乘x-3，得x=2(x-3)+m原分式方程有曾根x-3=0x=3m=3題型三 分式方程的應(yīng)用【例題】1（2016深圳）施工隊(duì)要鋪設(shè)一段全長2000米的管道，因在中考期間需停工兩天，實(shí)際每天施工需比原計(jì)劃多50米，才能按時(shí)完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天施工多少米設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）A=2 B=2C=2 D=2【分析】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米，則實(shí)際施工時(shí)每天鋪設(shè)（x+50）米，根據(jù)：原計(jì)劃所用時(shí)間實(shí)際所用時(shí)間=2，列出方程即可【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則實(shí)際每天施工（x+50）米，根據(jù)題意，可列方程：=2，故選：A【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程（2016山東省菏澤市3分）列方程或方程組解應(yīng)用題：為了響應(yīng)“十三五”規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的倡議，某校文印室提出了每個(gè)人都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”已知打印一份資料，如果用A4厚型紙單面打印，總質(zhì)量為400克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用A4薄型紙雙面打印，這份資料的總質(zhì)量為160克，已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克，求A4薄型紙每頁的質(zhì)量（墨的質(zhì)量忽略不計(jì)）【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用【分析】設(shè)A4薄型紙每頁的質(zhì)量為x克，則A4厚型紙每頁的質(zhì)量為（x+0.8）克，然后根據(jù)“雙面打印，用紙將減少一半”列方程，然后解方程即可 【解答】解：設(shè)A4薄型紙每頁的質(zhì)量為x克，則A4厚型紙每頁的質(zhì)量為（x+0.8）克，根據(jù)題意，得： =2，解得：x=3.2，經(jīng)檢驗(yàn)：x=3.2是原分式方程的解，且符合題意，答：A4薄型紙每頁的質(zhì)量為3.2克【點(diǎn)評】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意準(zhǔn)確找到相等關(guān)系并據(jù)此列出方程是解題的關(guān)鍵【變式】1（2016南充）某次列車平均提速20km/h，用相同的時(shí)間，列車提速前行駛400km，提速后比提速前多行駛100km，設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，下列方程正確的是（）A =B =C =D =【分析】直接利用相同的時(shí)間，列車提速前行駛400km，提速后比提速前多行駛100km，進(jìn)而得出等式求出答案【解答】解：設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)題意可得：=故選：A【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵2.（2015遼寧大連）甲乙兩人制作某種機(jī)械零件.已知甲每小時(shí)比乙多做3個(gè)，甲做96個(gè)所用時(shí)間與乙做84個(gè)所用時(shí)間相等，求甲乙兩人每小時(shí)各做多少個(gè)零件？【答案】24和21個(gè)【解析】試題分析：設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè)零件，則甲每小時(shí)做（x+3)個(gè)零件，根據(jù)等量關(guān)系：甲做96個(gè)所用時(shí)間與乙做84個(gè)所用時(shí)間相等，列出方程即可得解；試題解析：設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè)零件，則甲每小時(shí)做（x+3)個(gè)零件，由題意得：解得x=21，經(jīng)檢驗(yàn)x=21是方程的解，x+3=24.答：甲乙兩人每小時(shí)各做24和21個(gè)零件.【點(diǎn)評】列分式方程解決實(shí)際問題關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，將實(shí)際問題抽象為方程問題同時(shí)，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)是否合理張老師為獲得演講比賽的同學(xué)購買獎品，計(jì)劃用26元買軟面筆記本，用18元買圓珠筆。已知每本軟面筆記本比每支圓珠筆比貴1.2元，請你利用所學(xué)的方程知識幫張老師算一算能否買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆?！敬鸢浮坎荒苜I到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆，【解析】首先設(shè)每支圓珠筆x元，則每本軟面筆記本（x+1.2）元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：26元買軟面筆記本的數(shù)量=用18元買圓珠筆的數(shù)量，求出每支圓珠筆的價(jià)錢，再算出購買的圓珠筆的數(shù)量即可判斷試題解析：設(shè)每支圓珠筆x元，則每本軟面筆記本（x+1.2）元，由題意得：，解得：x=2.7，經(jīng)檢驗(yàn)：x=2.7是分式方程的解，182.7=，不是整數(shù)，不能買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆，答：不能買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆【典例解析】【例題1】（2016黑龍江）關(guān)于x的分式方程=3的解是正數(shù)，則字母m的取值范圍是（）Am3 Bm3 Cm3 Dm3【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程解為正數(shù)確定出m的范圍即可【解答】解：分式方程去分母得：2xm=3x+3，解得：x=m3，由分式方程的解為正數(shù)，得到m30，且m31，解得：m3，故選D【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，始終注意分式方程分母不為0這個(gè)條件?！纠}2】（2016賀州）若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）Aa1 Ba1 Ca1且a4 Da1且a4【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)及分式方程分母不為0求出a的范圍即可 【解答】解：去分母得：2（2xa）=x2，解得：x=，由題意得：0且2，解得：a1且a4，故選：C【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時(shí)候都要考慮分母不為0【例題3】（2016臨夏州）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)800臺所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時(shí)間相同設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A =B =C =D =【分析】根據(jù)題意可知現(xiàn)在每天生產(chǎn)x+50臺機(jī)器，而現(xiàn)在生產(chǎn)800臺所需時(shí)間和原計(jì)劃生產(chǎn)600臺機(jī)器所用時(shí)間相等，從而列出方程即可【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，根據(jù)題意得： =，故選：A【點(diǎn)評】此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器”這一個(gè)隱含條件，進(jìn)而得出等式方程是解題關(guān)鍵【例題4】（2016山東省東營市8分）東營市某學(xué)校2015年在某商場購買甲、乙兩種不同足球，購買甲種足球共花費(fèi)2000元，購買乙種足球共花費(fèi)1400元，購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍且購買一個(gè)乙種足球比購買一個(gè)甲種足球多花20元 (1)求購買一個(gè)甲種足球、一個(gè)乙種足球各需多少元； (2)2016年為響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號召，這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)恰逢該商場對兩種足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)提高 了10%，乙種足球售價(jià)比第一次購買時(shí)降低了10%如果此次購買甲、乙兩種足球的總 費(fèi)用不超過2900元，那么這所學(xué)校最多可購買多少個(gè)乙種足球？【知識點(diǎn)】分式方程分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用【思路分析】（1）設(shè)一個(gè)甲種足球需x元，則一個(gè)乙種足球需(x20)元，根據(jù)購買甲種足球數(shù)量是購買乙種品牌足球數(shù)量的2倍，列出分式方程解答即可；（2）設(shè)此次可購買y個(gè)乙種足球，則購進(jìn)甲種足球（50y）個(gè)，根據(jù)購買兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過2900元，列出不等式解決問題 【解答】(1)設(shè)購買一個(gè)甲種足球需x元，則購買一個(gè)乙種足球需(x20)元，由題意得：2.解得：x50.經(jīng)檢驗(yàn)，x50是原方程的解.x2070.答：購買一個(gè)甲種足球需50元,購買一個(gè)乙種足球需70元(2)設(shè)這所學(xué)校再次購買y個(gè)乙種足球，則購買(50y)個(gè)甲種足球，由題意得：50(110% )(50y)70(170% )y2900.解得：y18.75.由題意知，最多可購買18個(gè)乙種足球.笞：這所學(xué)校此次最多可購買18個(gè)乙種足球【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，找出題目蘊(yùn)含的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵【中考熱點(diǎn)】考點(diǎn)1（2016宜昌）分式方程=1的解為（）Ax=1 Bx=Cx=1 Dx=2【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2x1=x2，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是分式方程的解，則分式方程的解為x=1故選：A【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，還有注意不要忘了檢驗(yàn)考點(diǎn)2（2016重慶）從3，1，1，3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為a，若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無解，且使關(guān)于x的分式方程=1有整數(shù)解，那么這5個(gè)數(shù)中所有滿足條件的a的值之和是（）A3 B2 CD【分析】根據(jù)不等式組無解，求得a1，解方程得x=，于是得到a=3或1，即可得到結(jié)論【解答】解：解得，不等式組無解，a1，解方程=1得x=，x=為整數(shù)，a1，a=3或1，所有滿足條件的a的值之和是2，故選B【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)3（2016內(nèi)江）甲、乙兩人同時(shí)分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地已知A，C兩地間的距離為110千米，B，C兩地間的距離為100千米甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時(shí)結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)C地求兩人的平均速度，為解決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)由題意列出方程其中正確的是（）A =B =C =D =【分析】設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時(shí)，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲騎110千米所用時(shí)間=乙騎100千米所用時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可【解答】解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)，由題意得：=，故選：A【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程考點(diǎn)4.（2016四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò)，騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛，各種品牌的山地自行車相繼投放市場順風(fēng)車行經(jīng)營的A型車2015年6月份銷售總額為3.2萬元，今年經(jīng)過改造升級后A型車每輛銷售價(jià)比去年增加400元，若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同，則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%（1）求今年6月份A型車每輛銷售價(jià)多少元（用列方程的方法解答）；（2）該車行計(jì)劃7月份新進(jìn)一批A型車和B型車共50輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過A型車數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多？A、B兩種型號車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表：A型車B型車進(jìn)貨價(jià)格（元/輛）11001400銷售價(jià)格（元/輛）今年的銷售價(jià)格2400【分析】（1）設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛（x+400）元，列出方程即可解決問題（2）設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車（50m）輛，獲得的總利潤為y元，先求出m的范圍，構(gòu)建一次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題 【解答】解：（1）設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛（x+400）元，根據(jù)題意得，解之得x=1600，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是方程的解答：今年A型車每輛2000元（2）設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車（50m）輛，獲得的總利潤為y元，根據(jù)題意得50m2m解之得m，y=（20001100）m+（24001400）（50m）=100m+50000，y隨m 的增大而減小，當(dāng)m=17時(shí)，可以獲得最大利潤答：進(jìn)貨方案是A型車17輛，B型車33輛【點(diǎn)評】不同考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列出方程解決問題，注意分式方程必須檢驗(yàn)，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用一次函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題中的最值問題，屬于中考?？碱}型