2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)41 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版
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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)41 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版
課后限時(shí)集訓(xùn)41綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法建議用時(shí):45分鐘一、選擇題1用反證法證明命題:“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí),應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B三個(gè)內(nèi)角都大于60°C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°B至少有一個(gè)包含“一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)”,故其對(duì)立面三個(gè)內(nèi)角都大于60°,故選B.2分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法,已知x>0,用分析法證明<1時(shí),索的因是()Ax2>1Bx2>4Cx2>0Dx2>1C因?yàn)閤>0,所以要證<1,只需證()2<2,即證0<,即證x2>0,因?yàn)閤>0,所以x2>0成立,故原不等式成立3(2019·哈爾濱模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n(nN,n2)”時(shí),由nk(k2)時(shí)不等式成立,推證nk1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1B2k1C2kD2k1Cnk1時(shí),左邊1,增加了,共(2k11)(2k1)2k項(xiàng),故選C.4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1x20,則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值B恒等于零C恒為正值D無(wú)法確定正負(fù)A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1x20,可知x1x2,f(x1)f(x2)f(x2),則f(x1)f(x2)0,故選A.5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿(mǎn)足:“當(dāng)f(k)k2成立時(shí),總可推出f(k1)(k1)2成立”那么,下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立,則f(10)<100成立B若f(2)<4成立,則f(1)1成立C若f(3)9成立,則當(dāng)k1時(shí),均有f(k)k2成立D若f(4)16成立,則當(dāng)k4時(shí),均有f(k)k2成立D由條件可知不等式的性質(zhì)只對(duì)大于等于號(hào)成立,所以A錯(cuò)誤;若f(1)1成立,則得到f(2)4,與f(2)<4矛盾,所以B錯(cuò)誤;當(dāng)f(3)9成立,無(wú)法推導(dǎo)出f(1),f(2),所以C錯(cuò)誤;若f(4)16成立,則當(dāng)k4時(shí),均有f(k)k2成立,所以D正確二、填空題6.與2的大小關(guān)系為_(kāi)>2要比較與2的大小,只需比較()2與(2)2的大小,只需比較672與854的大小,只需比較與2的大小,只需比較42與40的大小,42>40,>2.7用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中,由nk推導(dǎo)nk1時(shí),不等式的左邊增加的式子是_不等式的左邊增加的式子是.8若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1,在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立,則解得p3或p,故滿(mǎn)足題干要求的p的取值范圍為.三、解答題9已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且xyz1,求證:>8.證明因?yàn)閤,y,z是互不相等的正數(shù),且xyz1,所以1,1,1,由××,得>8.10設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列;(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?解(1)證明:假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列,則SS1S3,即a(1q)2a1·a1·(1qq2),因?yàn)閍10,所以(1q)21qq2,即q0,這與公比q0矛盾,所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當(dāng)q1時(shí),Snna1,故Sn是等差數(shù)列;當(dāng)q1時(shí),Sn不是等差數(shù)列假設(shè)Sn是等差數(shù)列,則2S2S1S3,即2a1(1q)a1a1(1qq2),由于a10,2(1q)2qq2,即qq2.得q0,這與公比q0矛盾綜上,當(dāng)q1時(shí),數(shù)列Sn是等差數(shù)列;當(dāng)q1時(shí),數(shù)列Sn不是等差數(shù)列1設(shè)x,y,z0,則三個(gè)數(shù),()A都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2D至少有一個(gè)不大于2C因?yàn)?,當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2,故選C.2已知函數(shù)f(x)x,a,b是正實(shí)數(shù),Af,Bf(),Cf,則A,B,C的大小關(guān)系為()AABCBACBCBCADCBAA,又f(x)x在R上是減函數(shù),ff()f,即ABC.3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(xiàn)(n3),其中有且僅有兩條直線(xiàn)互相平行,任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)_;當(dāng)n4時(shí),f(n)_(用n表示)5(n1)(n2)由題意知f(3)2,f(4)5,f(5)9,可以歸納出每增加一條直線(xiàn),交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線(xiàn)的條數(shù),所以f(4)f(3)3,f(5)f(4)4,猜測(cè)得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1),所以f(n)(n1)(n2)4在數(shù)列an,bn中,a12,b14,且an,bn,an1成等差數(shù)列,bn,an1,bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜想an,bn的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論(2)證明:.解(1)由條件得2bnanan1,abnbn1.由此可得a26,b29,a312,b316,a420,b425.猜測(cè)ann(n1),bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN,k1)時(shí),結(jié)論成立,即akk(k1),bk(k1)2.那么當(dāng)nk1時(shí),ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2),bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論也成立由,可知ann(n1),bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立(2).當(dāng)n2時(shí),由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.綜上,原不等式成立1(2019·廣州模擬)十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想:“當(dāng)整數(shù)n2時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xnynzn沒(méi)有正整數(shù)解”經(jīng)歷三百多年,于二十世紀(jì)九十年代中期由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想,使它終成費(fèi)馬大定理,則下面說(shuō)法正確的是()A至少存在一組正整數(shù)組(x,y,z)使方程x3y3z3有解B關(guān)于x,y的方程x3y31有正有理數(shù)解C關(guān)于x,y的方程x3y31沒(méi)有正有理數(shù)解D當(dāng)整數(shù)n3時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xnynzn沒(méi)有正實(shí)數(shù)解C由于B,C兩個(gè)命題是對(duì)立的,故正確選項(xiàng)是這兩個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)假設(shè)關(guān)于x,y的方程x3y31有正有理數(shù)解,故x,y可寫(xiě)成整數(shù)比值的形式,不妨設(shè)x,y,其中m,n為互質(zhì)的正整數(shù),a,b為互質(zhì)的正整數(shù)代入方程得1,兩邊乘以a3n3得,(am)3(bn)3(an)3,由于am,bn,an都是正整數(shù),這與費(fèi)馬大定理矛盾,故假設(shè)不成立,所以關(guān)于x,y的方程x3y31沒(méi)有正有理數(shù)解故選C.2已知xi>0(i1,2,3,n),我們知道(x1x2)·4成立(1)求證:(x1x2x3)9.(2)同理我們也可以證明出(x1x2x3x4)·16.由上述幾個(gè)不等式,請(qǐng)你猜測(cè)一個(gè)與x1x2xn和(n2,nN)有關(guān)的不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)證明:法一:(x1x2x3)3·39(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x3時(shí),等號(hào)成立)法二:(x1x2x3)332229(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x3時(shí),等號(hào)成立)(2)猜想:(x1x2xn)n2(n2,nN)證明如下:當(dāng)n2時(shí),由已知得猜想成立;假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN)時(shí),猜想成立,即(x1x2xk)k2,則當(dāng)nk1時(shí),(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k2221k22k1(k1)2,所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立綜合可知,猜想成立7