2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)41 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 理 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)41綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B三個(gè)內(nèi)角都大于60°C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°B至少有一個(gè)包含“一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)”，故其對(duì)立面三個(gè)內(nèi)角都大于60°，故選B.2分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明<1時(shí)，索的因是()Ax2>1Bx2>4Cx2>0Dx2>1C因?yàn)閤>0，所以要證<1，只需證()2<2，即證0<，即證x2>0，因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立3(2019·哈爾濱模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n(nN，n2)”時(shí)，由nk(k2)時(shí)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1B2k1C2kD2k1Cnk1時(shí)，左邊1，增加了，共(2k11)(2k1)2k項(xiàng)，故選C.4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x20，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值B恒等于零C恒為正值D無(wú)法確定正負(fù)A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)0，故選A.5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立D由條件可知不等式的性質(zhì)只對(duì)大于等于號(hào)成立，所以A錯(cuò)誤；若f(1)1成立，則得到f(2)4，與f(2)<4矛盾，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)f(3)9成立，無(wú)法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯(cuò)誤；若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立，所以D正確二、填空題6.與2的大小關(guān)系為_(kāi)>2要比較與2的大小，只需比較()2與(2)2的大小，只需比較672與854的大小，只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，42>40，>2.7用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_不等式的左邊增加的式子是.8若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_若二次函數(shù)f(x)0在區(qū)間1,1內(nèi)恒成立，則解得p3或p，故滿(mǎn)足題干要求的p的取值范圍為.三、解答題9已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，求證：>8.證明因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且xyz1，所以1，1，1，由××，得>8.10設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？解(1)證明：假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當(dāng)q1時(shí)，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列假設(shè)Sn是等差數(shù)列，則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，由于a10，2(1q)2qq2，即qq2.得q0，這與公比q0矛盾綜上，當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列1設(shè)x，y，z0，則三個(gè)數(shù)，()A都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2D至少有一個(gè)不大于2C因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，故選C.2已知函數(shù)f(x)x，a，b是正實(shí)數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABCBACBCBCADCBAA，又f(x)x在R上是減函數(shù)，ff()f，即ABC.3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(xiàn)(n3)，其中有且僅有兩條直線(xiàn)互相平行，任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時(shí)，f(n)_(用n表示)5(n1)(n2)由題意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以歸納出每增加一條直線(xiàn)，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線(xiàn)的條數(shù)，所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜測(cè)得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)4在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論(2)證明：.解(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時(shí)，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立(2).當(dāng)n2時(shí)，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.綜上，原不等式成立1(2019·廣州模擬)十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“當(dāng)整數(shù)n2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xnynzn沒(méi)有正整數(shù)解”經(jīng)歷三百多年，于二十世紀(jì)九十年代中期由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想，使它終成費(fèi)馬大定理，則下面說(shuō)法正確的是()A至少存在一組正整數(shù)組(x，y，z)使方程x3y3z3有解B關(guān)于x，y的方程x3y31有正有理數(shù)解C關(guān)于x，y的方程x3y31沒(méi)有正有理數(shù)解D當(dāng)整數(shù)n3時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xnynzn沒(méi)有正實(shí)數(shù)解C由于B，C兩個(gè)命題是對(duì)立的，故正確選項(xiàng)是這兩個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)假設(shè)關(guān)于x，y的方程x3y31有正有理數(shù)解，故x，y可寫(xiě)成整數(shù)比值的形式，不妨設(shè)x，y，其中m，n為互質(zhì)的正整數(shù)，a，b為互質(zhì)的正整數(shù)代入方程得1，兩邊乘以a3n3得，(am)3(bn)3(an)3，由于am，bn，an都是正整數(shù)，這與費(fèi)馬大定理矛盾，故假設(shè)不成立，所以關(guān)于x，y的方程x3y31沒(méi)有正有理數(shù)解故選C.2已知xi>0(i1,2,3，n)，我們知道(x1x2)·4成立(1)求證：(x1x2x3)9.(2)同理我們也可以證明出(x1x2x3x4)·16.由上述幾個(gè)不等式，請(qǐng)你猜測(cè)一個(gè)與x1x2xn和(n2，nN)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解(1)證明：法一：(x1x2x3)3·39(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x3時(shí)，等號(hào)成立)法二：(x1x2x3)332229(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x3時(shí)，等號(hào)成立)(2)猜想：(x1x2xn)n2(n2，nN)證明如下：當(dāng)n2時(shí)，由已知得猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，猜想成立，即(x1x2xk)k2，則當(dāng)nk1時(shí)，(x1x2xkxk1)(x1x2xk)(x1x2xk)xk11k2(x1x2xk)xk11k21k2221k22k1(k1)2，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立綜合可知，猜想成立7