2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)19 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題 理 北師大版

課后限時(shí)集訓(xùn)19利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題建議用時(shí)：45分鐘1(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線解(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)閑ln x0，故點(diǎn)B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即ln x0，連接AB，則直線AB的斜率k.曲線yex在點(diǎn)B處切線的斜率是，曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處切線的斜率也是，所以曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線2(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論g(x)f(x)在區(qū)間0,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解(1)因?yàn)閒(x)exax1，所以f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增且f(0)0，所以f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，所以f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1ae時(shí)，f(x)在(0，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a,1)上單調(diào)遞增，而f(1)ea1，當(dāng)ea10，即1ae1時(shí)，f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)ea10，即e1ae時(shí)，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x時(shí)，由f0得a2(1)，所以當(dāng)a1或ae1或a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1ae1且a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有三個(gè)零點(diǎn)3(2019·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)4axaln x3a22a(a0)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，當(dāng)a變化時(shí)，求f(x1)f(x2)的最大值解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤0，對f(x)求導(dǎo)得f(x)x4a，x0，a0.令M(x)x24axa，則16a24a4a(4a1)當(dāng)0a時(shí)，0，M(x)0在(0，)上恒成立，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，0，f(x)0的根為x12a，x22a，由f(x)0得0x2a或x2a；由f(x)0得2ax2a.所以f(x)在(0,2a)，(2a，)上單調(diào)遞增；在(2a，2a)上單調(diào)遞減(2)由(1)得a，x12a，x22a，所以x1x24a，x1x2a，從而f(x1)f(x2)(xx)4a(x1x2)aln x1x26a24a(x1x2)2x1x210a24aaln aaln a2a23a.令g(a)aln a2a23a，則g(a)ln a4a4.令h(a)ln a4a4，則h(a)4.因?yàn)閍，所以h(a)0，所以h(a)在上單調(diào)遞減又h(1)0，所以a時(shí)，h(a)0，g(a)0，g(a)在上單調(diào)遞增；a(1，)時(shí)，h(a)0，g(a)0，g(a)在(1，)上單調(diào)遞減，所以a1時(shí)，g(a)取得最大值1.故f(x1)f(x2)的最大值為1.3