離散數(shù)學(xué)試卷及答案.doc

離散數(shù)學(xué)試題與答案試卷一一、填空 20% （每小題2分）1設(shè) （N：自然數(shù)集，E+ 正偶數(shù)） 則 。2A，B，C表示三個集合，文圖中陰影部分的集合表達(dá)式為 A B C 。3設(shè)P，Q 的真值為0，R，S的真值為1，則的真值= 。4公式的主合取范式為 。5若解釋I的論域D僅包含一個元素，則 在I下真值為 。6設(shè)A=1，2，3，4，A上關(guān)系圖為則 R2 = 。7設(shè)A=a，b，c，d，其上偏序關(guān)系R的哈斯圖為則 R= 。8圖的補圖為 。9設(shè)A=a，b，c，d ，A上二元運算如下：*a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c那么代數(shù)系統(tǒng)的幺元是 ，有逆元的元素為 ，它們的逆元分別為 。10下圖所示的偏序集中，是格的為 。 二、選擇 20% （每小題 2分）1、下列是真命題的有（）A ； B；C ； D 。2、下列集合中相等的有（ ） A4，3；B，3，4；C4，3，3；D 3，4。3、設(shè)A=1，2，3，則A上的二元關(guān)系有（ ）個。 A 23 ； B 32 ； C ； D 。4、設(shè)R，S是集合A上的關(guān)系，則下列說法正確的是（ ） A若R，S 是自反的， 則是自反的； B若R，S 是反自反的， 則是反自反的； C若R，S 是對稱的， 則是對稱的； D若R，S 是傳遞的， 則是傳遞的。5、設(shè)A=1，2，3，4，P（A）（A的冪集）上規(guī)定二元系如下則P（A）/ R=（ ）AA ；BP(A) ；C1，1，2，1，2，3，1，2，3，4；D，2，2，3，2，3，4，A6、設(shè)A=，1，1，3，1，2，3則A上包含關(guān)系“”的哈斯圖為（ ）7、下列函數(shù)是雙射的為（ ）Af : IE , f (x) = 2x ； Bf : NNN, f (n) = ；Cf : RI , f (x) = x ； Df :IN, f (x) = | x | 。（注：I整數(shù)集，E偶數(shù)集， N自然數(shù)集，R實數(shù)集）8、圖 中 從v1到v3長度為3 的通路有（ ）條。A 0；B 1；C 2；D 3。9、下圖中既不是Eular圖，也不是Hamilton圖的圖是（ ）10、在一棵樹中有7片樹葉，3個3度結(jié)點，其余都是4度結(jié)點則該樹有（ ）個4度結(jié)點。A1；B2；C3；D4 。三、證明 26%、 R是集合X上的一個自反關(guān)系，求證：R是對稱和傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng) 和在R中有在R中。（8分）、 f和g都是群到的同態(tài)映射，證明是的一個子群。其中C= (8分)、 G= (|V| = v，|E|=e ) 是每一個面至少由k（k3）條邊圍成的連通平面圖，則， 由此證明彼得森圖（Peterson）圖是非平面圖。（11分）四、邏輯推演 16%用CP規(guī)則證明下題（每小題 8分）1、2、五、計算 18%1、設(shè)集合A=a，b，c，d上的關(guān)系R= , , , 用矩陣運算求出R的傳遞閉包t (R)。 （9分）2、如下圖所示的賦權(quán)圖表示某七個城市及預(yù)先算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設(shè)計方案，使得各城市之間能夠通信而且總造價最小。（分）試卷一答案：一、填空 20% （每小題2分）1、0，1，2，3，4，6； 2、；3、1； 4、； 5、1；6、, , , ；7、, IA ；8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；10、c; 二、選擇 20% （每小題 2分）題目12345678910答案C DB、CCADCADBA三、證明 26%1、 證：“” 若由R對稱性知，由R傳遞性得 “” 若，有 任意 ，因若 所以R是對稱的。若， 則 即R是傳遞的。2、 證，有 ，又 是 的子群。3、 證：設(shè)G有r個面，則，即 。而 故即得 。（8分）彼得森圖為，這樣不成立，所以彼得森圖非平面圖。（3分） 二、 邏輯推演 16%1、 證明：P（附加前提）TIPTITITIPTICP2、證明 P（附加前提）USPUSTIUGCP三、 計算 18%1、 解： ， ，t (R)= , , , , , , , , 2、 解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹。算法略。結(jié)果如圖：樹權(quán)C(T)=23+1+4+9+3+17=57即為總造價。試卷二試題與答案一、填空 20% （每小題2分）1、 P：你努力，Q：你失敗。“除非你努力，否則你將失敗”的翻譯為 ；“雖然你努力了，但還是失敗了”的翻譯為 。2、論域D=1，2，指定謂詞PP (1,1)P (1,2)P (2,1)P (2,2)TTFF則公式真值為 。2、 設(shè)S=a1 ，a2 ，a8，Bi是S的子集，則由B31所表達(dá)的子集是 。3、 設(shè)A=2，3，4，5，6上的二元關(guān)系，則R= （列舉法）。R的關(guān)系矩陣MR= 。5、設(shè)A=1，2，3，則A上既不是對稱的又不是反對稱的關(guān)系R= ；A上既是對稱的又是反對稱的關(guān)系R= 。*a b cabca b cb b cc c b6、設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，其中A=a，b，c,則幺元是 ；是否有冪等 性 ；是否有對稱性 。7、4階群必是 群或 群。8、下面偏序格是分配格的是 。9、n個結(jié)點的無向完全圖Kn的邊數(shù)為 ，歐拉圖的充要條件是 。10、公式的根樹表示為 。二、選擇 20% （每小題2分）1、在下述公式中是重言式為（ ）A；B；C； D。2、命題公式 中極小項的個數(shù)為（ ），成真賦值的個數(shù)為（ ）。A0； B1； C2； D3 。3、設(shè)，則 有（ ）個元素。A3； B6； C7； D8 。4、 設(shè)，定義上的等價關(guān)系則由 R產(chǎn) 生的上一個劃分共有（ ）個分塊。A4； B5； C6； D9 。5、設(shè)，S上關(guān)系R的關(guān)系圖為則R具有（ ）性質(zhì)。A自反性、對稱性、傳遞性； B反自反性、反對稱性；C反自反性、反對稱性、傳遞性； D自反性 。6、設(shè) 為普通加法和乘法，則（ ）是域。A BC D= N 。7、下面偏序集（ ）能構(gòu)成格。8、在如下的有向圖中，從V1到V4長度為3 的道路有（ ）條。A1； B2； C3； D4 。9、在如下各圖中（ ）歐拉圖。10、設(shè)R是實數(shù)集合，“”為普通乘法，則代數(shù)系統(tǒng) 是（ ）。A群； B獨異點； C半群 。三、證明 46%1、 設(shè)R是A上一個二元關(guān)系，試證明若R是A上一個等價關(guān)系，則S也是A上的一個等價關(guān)系。（9分）2、 用邏輯推理證明：所有的舞蹈者都很有風(fēng)度，王華是個學(xué)生且是個舞蹈者。因此有些學(xué)生很有風(fēng)度。（11分）3、 若是從A到B的函數(shù)，定義一個函數(shù)對任意有，證明：若f是A到B的滿射，則g是從B到 的單射。（10分）4、 若無向圖G中只有兩個奇數(shù)度結(jié)點，則這兩個結(jié)點一定連通。（8分）5、 設(shè)G是具有n個結(jié)點的無向簡單圖，其邊數(shù)，則G是Hamilton圖（8分）四、計算 14%1、 設(shè)是一個群，這里+6是模6加法，Z6=0 ，1，2，3，4，5，試求出的所有子群及其相應(yīng)左陪集。（7分）2、 權(quán)數(shù)1，4，9，16，25，36，49，64，81，100構(gòu)造一棵最優(yōu)二叉樹。（7分）試卷二答案：一、 填空 20%（每小題2分）1、；2、T 3、4、R=,； 5、R=,；R=, 6、a ；否；有 7、Klein四元群；循環(huán)群 8、 B 9、；圖中無奇度結(jié)點且連通 10 、二、 選擇 20%（每小題 2分）題目12345678910答案B、DD；DDBDABBBB、C三、 證明 46%1、（9分）（1） S自反的，由R自反，（2） S對稱的（3） S傳遞的由（1）、（2）、（3）得；S是等價關(guān)系。2、11分證明：設(shè)P(x)：x 是個舞蹈者； Q(x) ：x很有風(fēng)度； S(x)：x是個學(xué)生； a：王華上述句子符號化為：前提：、 結(jié)論： 3分PPUSTI TITITIEG11分、0分證明 ：。4、8分證明：設(shè)G中兩奇數(shù)度結(jié)點分別為u 和v，若 u，v不連通，則G至少有兩個連通分支G1、G2 ，使得u和v分別屬于G1和G2，于是G1和G2中各含有1個奇數(shù)度結(jié)點，這與圖論基本定理矛盾，因而u，v一定連通。5、8分證明： 證G中任何兩結(jié)點之和不小于n。反證法：若存在兩結(jié)點u，v 不相鄰且,令，則G-V1是具有n-2個結(jié)點的簡單圖，它的邊數(shù),可得，這與G1=G-V1為n-2個結(jié)點為簡單圖的題設(shè)矛盾，因而G中任何兩個相鄰的結(jié)點度數(shù)和不少于n。所以G為Hamilton圖.四、 計算 14%1、 7分解：子群有；0的左陪集：0，1；2，3；4，50，3的左陪集：0，3；1，4；2，50，2，4的左陪集：0，2，4；1，3，5Z6的左陪集：Z6 。2、 7分試卷三試題與答案一、 填空 20% （每空 2分）1、 設(shè) f，g是自然數(shù)集N上的函數(shù)，則 。2、 設(shè)A=a，b，c，A上二元關(guān)系R= , , , 則s（R）= 。3、 A=1，2，3，4，5，6，A上二元關(guān)系，則用列舉法 T= ；T的關(guān)系圖為 ；T具有 性質(zhì)。4、 集合的冪集= 。5、 P，Q真值為0 ；R，S真值為1。則的真值為 。6、 的主合取范式為 。7、 設(shè) P（x）：x是素數(shù)， E(x)：x 是偶數(shù)，O(x)：x是奇數(shù) N (x,y)：x可以整數(shù)y。則謂詞的自然語言是 。8、 謂詞的前束范式為 。二、 選擇 20% （每小題 2分）1、 下述命題公式中，是重言式的為（ ）。A、； B、；C、； D、。2、 的主析取范式中含極小項的個數(shù)為（ ）。A 、2； B、 3； C、5； D、0； E、 8 。3、 給定推理PUSPESTIUG推理過程中錯在（ ）。A、-; B、-; C、-; D、-; E、-4、 設(shè)S1=1，2，8，9，S2=2，4，6，8，S3=1，3，5，7，9，S4=3，4，5，S5=3，5，在條件下X與（ ）集合相等。A、 X=S2或S5 ； B、X=S4或S5；C、X=S1，S2或S4； D、X與S1，S5中任何集合都不等。5、 設(shè)R和S是P上的關(guān)系，P是所有人的集合，則表示關(guān)系 （ ）。A、；B、；C、 ； D、。6、 下面函數(shù)（ ）是單射而非滿射。A、；B、；C、；D、。其中R為實數(shù)集，Z為整數(shù)集，R+，Z+分別表示正實數(shù)與正整數(shù)集。7、 設(shè)S=1，2，3，R為S上的關(guān)系，其關(guān)系圖為 則R具有（ ）的性質(zhì)。A、 自反、對稱、傳遞； B、什么性質(zhì)也沒有；C、反自反、反對稱、傳遞； D、自反、對稱、反對稱、傳遞。8、 設(shè)，則有（ ）。A、1,2 ；B、1,2 ； C、1 ； D、2 。9、 設(shè)A=1 ,2 ,3 ，則A上有（ ）個二元關(guān)系。A、23 ； B、32 ； C、； D、。10、全體小項合取式為（ ）。A、可滿足式； B、矛盾式； C、永真式； D、A，B，C 都有可能。三、 用CP規(guī)則證明 16% （每小題 8分）1、2、四、（14%） 集合X=, , , ，R=,|x1+y2 = x2+y1 。1、 證明R是X上的等價關(guān)系。 （10分）2、 求出X關(guān)于R的商集。（4分）五、（10%）設(shè)集合A= a ,b , c , d 上關(guān)系R= , , , 要求 1、寫出R的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖。（4分） 2、用矩陣運算求出R的傳遞閉包。（6分）六、（20%）1、（10分）設(shè)f和g是函數(shù)，證明也是函數(shù)。2、（10分）設(shè)函數(shù)，證明 有一左逆函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f是入射函數(shù)。答案：五、 填空 20%（每空2分）1、2(x+1)；2、；3、；4、反對稱性、反自反性；4、；5、1；6、；7、任意x，如果x是素數(shù)則存在一個y，y是奇數(shù)且y整除x ；8、。六、 選擇 20%（每小題 2分）題目12345678910答案CCCCABDADC七、 證明 16%(每小題8分)1、P（附加前提）TIPTITITIPTICP2、 P（附加前提）TEESPUSTIEGCP八、 14%（1） 證明：1、 自反性： 2、 對稱性： 3、 傳遞性：即由（1）（2）（3）知：R是X上的先等價關(guān)系。2、X/R=九、 10%1、； 關(guān)系圖2、 t (R)= , , , , , , , , 。 六、 20%1、（1）（2）。2、證明：。試卷四試題與答案一、 填空 10% （每小題 2分）1、 若P，Q，為二命題，真值為0 當(dāng)且僅當(dāng) 。2、 命題“對于任意給定的正實數(shù)，都存在比它大的實數(shù)”令F(x)：x為實數(shù)，則命題的邏輯謂詞公式為 。3、 謂詞合式公式的前束范式為 。4、 將量詞轄域中出現(xiàn)的 和指導(dǎo)變元交換為另一變元符號，公式其余的部分不變，這種方法稱為換名規(guī)則。5、 設(shè)x是謂詞合式公式A的一個客體變元，A的論域為D，A(x)關(guān)于y是自由的，則 被稱為存在量詞消去規(guī)則，記為ES。二、 選擇 25% （每小題 2.5分）1、 下列語句是命題的有（ ）。A、 明年中秋節(jié)的晚上是晴天； B、；C、當(dāng)且僅當(dāng)x和y都大于0； D、我正在說謊。2、 下列各命題中真值為真的命題有（ ）。A、 2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù)；B、2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù)；C、2+24當(dāng)且僅當(dāng)3是奇數(shù)； D、2+24當(dāng)且僅當(dāng)3不是奇數(shù)；3、 下列符號串是合式公式的有（ ）A、；B、；C、；D、。4、 下列等價式成立的有（ ）。A、；B、；C、 ； D、。5、 若和B為wff，且則（ ）。A、稱為B的前件； B、稱B為的有效結(jié)論C、當(dāng)且僅當(dāng)；D、當(dāng)且僅當(dāng)。6、 A，B為二合式公式，且，則（ ）。A、為重言式； B、；C、； D、； E、為重言式。7、 “人總是要死的”謂詞公式表示為（ ）。（論域為全總個體域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。A、； B、C、；D、8、 公式的解釋I為：個體域D=2，P(x)：x3, Q(x)：x=4則A的真值為（ ）。A、1； B、0； C、可滿足式； D、無法判定。9、 下列等價關(guān)系正確的是（ ）。A、；B、；C、；D、。10、 下列推理步驟錯在（ ）。PUSPESTIEGA、；B、；C、；D、三、 邏輯判斷30% 1、 用等值演算法和真值表法判斷公式的類型。（10分）2、 下列問題，若成立請證明，若不成立請舉出反例：（10分）（1） 已知，問成立嗎？（2） 已知，問成立嗎？3、 如果廠方拒絕增加工資，那么罷工就不會停止，除非罷工超過一年并且工廠撤換了廠長。問：若廠方拒絕增加工資，面罷工剛開始，罷工是否能夠停止。（10分）四、計算10%1、 設(shè)命題A1，A2的真值為1，A3，A4真值為0，求命題的真值。（5分）2、 利用主析取范式，求公式的類型。（5分）五、謂詞邏輯推理 15%符號化語句：“有些人喜歡所有的花，但是人們不喜歡雜草，那么花不是雜草”。并推證其結(jié)論。六、證明：（10%）設(shè)論域D=a , b , c，求證：。答案：十、 填空 10%（每小題2分）1、P真值為1，Q的真值為0；2、；3、；4、約束變元；5、，y為D的某些元素。十一、 選擇 25%（每小題2.5分）題目12345678910答案A,CA,DC,DA,DB,CA,B,C,D,ECAB(4)十二、 邏輯判斷 30%1、（1）等值演算法（2）真值表法P QA1 1111111 0010010 1100010 011111所以A為重言式。2、（1）不成立。若取但A與B不一定等價，可為任意不等價的公式。（2）成立。 證明：即：所以故 。3、解：設(shè)P：廠方拒絕增加工資；Q：罷工停止；R罷工超壺過一年；R：撤換廠長前提： 結(jié)論：PPTIPTITETI罷工不會停止是有效結(jié)論。四、計算 10%（1） 解：（2）它無成真賦值，所以為矛盾式。五、謂詞邏輯推理 15%解： 證明：PESTITIPUSTITEUSUSTIUG十三、 證明10% 試卷五試題與答案一、填空15%（每空3分）1、設(shè)G為9階無向圖，每個結(jié)點度數(shù)不是5就是6，則G中至少有 個5度結(jié)點。2、n階完全圖，Kn的點數(shù)X (Kn) = 。3、有向圖 中從v1到v2長度為2的通路有 條。4、設(shè)R，+，是代數(shù)系統(tǒng)，如果R，+是交換群 R，是半群 則稱R，+，為環(huán)。5、設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，則滿足冪等律，即對有 。二、選擇15%（每小題3分）1、 下面四組數(shù)能構(gòu)成無向簡單圖的度數(shù)列的有（ ）。A、（2，2，2，2，2）； B、（1，1，2，2，3）；C、（1，1，2，2，2）； D、（0，1，3，3，3）。2、 下圖中是哈密頓圖的為（ ）。3、 如果一個有向圖D是強連通圖，則D是歐拉圖，這個命題的真值為（ ）A、真； B、假。4、 下列偏序集（ ）能構(gòu)成格。5、 設(shè)，*為普通乘法，則S，*是（）。A、代數(shù)系統(tǒng)； B、半群； C、群； D、都不是。三、證明 48%1、（10%）在至少有2個人的人群中，至少有2 個人，他們有相同的朋友數(shù)。2、（8%）若圖G中恰有兩個奇數(shù)度頂點，則這兩個頂點是連通的。3、（8%）證明在6個結(jié)點12條邊的連通平面簡單圖中， 每個面的面數(shù)都是3。4、（10%）證明循環(huán)群的同態(tài)像必是循環(huán)群。5、（12%）設(shè)是布爾代數(shù)，定義運算*為，求證B，*是阿貝爾群。四、計算22%1、在二叉樹中1） 求帶權(quán)為2，3，5，7，8的最優(yōu)二叉樹T。（5分）2） 求T對應(yīng)的二元前綴碼。（5分）2、 下圖所示帶權(quán)圖中最優(yōu)投遞路線并求出投遞路線長度（郵局在D點）。答案：一、填空（15%）每空3 分1、 6；2、n；3、2；4、+對分配且對+分配均成立；5、。二、選擇（15%）每小題3分題目12345答案A,BB,DBCD三、證明（48%）1、（10分）證明：用n個頂點v1，vn表示n個人，構(gòu)成頂點集V=v1，vn，設(shè)，無向圖G=（V，E）現(xiàn)證G中至少有兩個結(jié)點度數(shù)相同。事實上，（1）若G中孤立點個數(shù)大于等于2，結(jié)論成立。（2） 若G中有一個孤立點，則G中的至少有3個頂點，既不考慮孤立點。設(shè)G中每個結(jié)點度數(shù)均大于等于1，又因為G為簡單圖，所以每個頂點度數(shù)都小于等于n-1，由于G中n頂點其度數(shù)取值只能是1，2，n-1，由鴿巢原理，必然至少有兩個結(jié)點度數(shù)是相同的。2、（8分）證：設(shè)G中兩個奇數(shù)度結(jié)點分別為u，v。若 u，v不連通則至少有兩個連通分支G1、G2，使得u，v分別屬于G1和G2。于是G1與G2中各含有一個奇數(shù)度結(jié)點，與握手定理矛盾。因而u，v必連通。3（8分）證：n=6,m=12 歐拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8由圖論基本定理知：，而，所以必有，即每個面用3條邊圍成。4（10分） 證：設(shè)循環(huán)群A，的生成元為a，同態(tài)映射為f，同態(tài)像為f（A），*，于是都有對n=1有n=2, 有若n=k-1時 有對n=k時，這表明，f(A)中每一個元素均可表示為，所以f(A),*為f(a) 生成的循環(huán)群。5、證：（1） 交換律：有 （2） 結(jié)合律：有而：（3） 幺：有（4） 逆： 綜上所述：B，*是阿貝爾群。四、計算（22%）1、（10分）（1）（5分）由Huffman方法,得最佳二叉樹為：（2）（5分）最佳前綴碼為：000，001，01，10，112、（12分） 圖中奇數(shù)點為E、F ，d(E)=3,d(F)=3,d(E,F)=28 p=EGF復(fù)制道路EG、GF，得圖G，則G是歐拉圖。由D開始找一條歐拉回路：DEGFGEBACBDCFD。道路長度為：35+8+20+20+8+40+30+50+19+6+12+10+23=281。試卷六試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1、 n階完全圖結(jié)點v的度數(shù)d(v) = 。2、 設(shè)n階圖G中有m條邊，每個結(jié)點的度數(shù)不是k的是k+1，若G中有Nk個k度頂點，Nk+1個k+1度頂點，則N k = 。3、 算式 的二叉樹表示為 。4、 如圖給出格L，則e的補元是 。5、 一組學(xué)生，用二二扳腕子比賽法來測定臂力的大小，則幺元是 。二、選擇 15% （每小題 3分）1、設(shè)S=0,1,2,3,為小于等于關(guān)系，則S，是（ ）。A、群；B、環(huán)；C、域；D、格。2、設(shè)a , b , c，*為代數(shù)系統(tǒng)，*運算如下：*abcaabcbbaccccc則零元為（ ）。A、a； B、b； C、c； D、沒有。3、如右圖 相對于完全圖K5的補圖為（ ）。4、一棵無向樹T有7片樹葉，3個3度頂點，其余頂點均為4度。則T有（ ）4度結(jié)點。A、1； B、2； C、3； D、4。5、設(shè)A，+，是代數(shù)系統(tǒng)，其中+，為普通加法和乘法，則A=（ ）時，A，+，是整環(huán)。A、； B、；C、； D、。三、證明 50%1、設(shè)G是（n,m）簡單二部圖，則。（10分）2、設(shè)G為具有n個結(jié)點的簡單圖，且，則G是連通圖。（10分）3、記“開”為1，“關(guān)”為0，反映電路規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)0，1，+，的加法運算和乘法運算。如下：+0101001000110101證明它是一個環(huán)，并且是一個域。（14分）4、 是一代數(shù)格，“”為自然偏序，則L，是偏序格。（16分）四、10%設(shè)是布爾代數(shù)上的一個布爾表達(dá)式，試寫出的析取范式和合取范式（10分）五、10%如下圖所示的賦權(quán)圖表示某七個城市及預(yù)先算出它們之間的一些直接通信成路造價（單位：萬元），試給出一個設(shè)計方案，使得各城市之間既能夠通信又使總造價最小。答案：一、填空 15%（每小題3分）1、n-1；2、n(k+1)-2m；3、如右圖；4、0 ；5、臂力小者二、選擇 15%（每小題 3分）題目12345答案DCAAD三、證明 50%（1） 證：設(shè)G=（V，E）對完全二部圖有當(dāng)時，完全二部圖的邊數(shù)m有最大值故對任意簡單二部圖有。（2） 證：反證法：若G不連通，不妨設(shè)G可分成兩個連通分支G1、G2，假設(shè)G1和G2的頂點數(shù)分別為n1和n2，顯然與假設(shè)矛盾。所以G連通。（3） （1）0，1，+，是環(huán)0，1，+是交換群乘：由“+”運算表知其封閉性。由于運算表的對稱性知：+運算可交換。群： （0+0）+0=0+（0+0）=0 ；（0+0）+1=0+（0+1）=1；（0+1）+0=0+（1+0）=1 ； （0+1）+1=0+（1+1）=0；（1+1）+1=1+（1+1）=0 結(jié)合律成立。 幺：幺元為0。逆：0，1逆元均為其本身。0，1，是半群乘：由“ ”運算表知封閉群： （00）0=0（00）=0 ；（00）1=0（01）= 0；（01）0=0（10）=0 ； （01）1=0（11）=0；（11）1=1（11）=0 。對+的分配律 0（x+y）=0=0+0=(0 x)+(0y)； 1（x+y）當(dāng)x=y (x+y)=0 則；當(dāng)（）則所以均有同理可證：所以對+ 是可分配的。由得，0，1，+，是環(huán)。（2）0，1，+，是域因為0，1，+，是有限環(huán)，故只需證明是整環(huán)即可。乘交環(huán)： 由乘法運算表的對稱性知，乘法可交換。含幺環(huán)：乘法的幺元是1無零因子：11=10因此0，1，+，是整環(huán)，故它是域。4、證：（1 ）“”是偏序關(guān)系， 自然偏序 反自反性：由代數(shù)格冪等關(guān)系：。反對稱性： 若 即：，則 傳遞性：則：（2）在L中存在x,y的下（上）確界設(shè)則：事實上：若x , y 有另一下界c，則 是x , y 最大下界，即同理可證上確界情況。四、14%解：函數(shù)表為：00000011010001111000101111011111析取范式：合取范式：五、10%解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產(chǎn)生的最優(yōu)樹。算法為： 結(jié)果如圖：樹權(quán)C(T)=23+1+4+9+3+17=57（萬元）即為總造價試卷七試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1. 任何(n,m) 圖G = (V,E) , 邊與頂點數(shù)的關(guān)系是 。2. 當(dāng)n為 時,非平凡無向完全圖Kn是歐拉圖。3. 已知一棵無向樹T有三個3頂點,一個2度頂點,其余的都是1度頂點,則T中有 個1度頂點。4. n階完全圖Kn的點色數(shù)X(KN)= 。5. 一組學(xué)生,用兩兩扳腕子比賽來測定臂力大小,則幺元是 。二、 選擇 15% （每小題 3分）1、下面四組數(shù)能構(gòu)成無向圖的度數(shù)列的有( )。 A、 2,3,4,5,6,7； B、 1,2,2,3,4； C、 2,1,1,1,2； D、 3,3,5,6,0。2、圖 的鄰接矩陣為( )。A、；B、；C、；D、。3、下列幾個圖是簡單圖的有( )。A. G1=(V1,E1), 其中 V1=a,b,c,d,e,E1=ab,be,eb,ae,de；B. G2=(V2,E2)其中V2=V1,E2=,；C. G=(V3,E3), 其中V3=V1,E3=ab,be,ed,cc；D. G=(V4,E4),其中V4=V1,E4=（a,a）,（a,b）,（b,c）,（e,c）,（e,d）。4、下列圖中是歐拉圖的有( )。5、，其中，為集合對稱差運算，則方程的解為（ ）。A、； B、； C、； D、。三、 證明 34% 1、 證明：在至少有2 個人的人群中，至少有2 個人，他的有相同的朋友數(shù)。（8分）2、 若圖G中恰有兩個奇數(shù)頂點，則這兩個頂點是連通的。（8分）3、 證明：在6個結(jié)點12條邊的連通平面簡單圖中，每個面的面度都是3。（8分）4、 證明循環(huán)群的同態(tài)像必是循環(huán)群。（10分）四、 中國郵遞員問題13%求帶權(quán)圖G中的最優(yōu)投遞路線。郵局在v1點。五、 根樹的應(yīng)用 13%在通訊中，八進制數(shù)字出現(xiàn)的頻率如下：0：30%、1：20%、2：15% 、3：10%、4：10%、5：5%、6：5%、7：5%求傳輸它們最佳前綴碼（寫出求解過程）。六、 10%設(shè)B4=e , a , b , ab ，運算*如下表，*則是一個群（稱作Klein四元群答案：十四、 填空 15%（每小題3分）1、；2、奇數(shù)；3、5；4、n；5、臂力小者 十五、 選擇 15%（每小題 3分）題目12345答案BCBBA十六、 證明 34%1、（10分）證明：用n個頂點v1，vn表示n個人，構(gòu)成頂點集V=v1，vn，設(shè)，無向圖G=（V，E）現(xiàn)證G中至少有兩個結(jié)點度數(shù)相同。事實上，（1）若G中孤立點個數(shù)大于等于2，結(jié)論成立。（2） 若G中有一個孤立點，則G中的至少有3個頂點，現(xiàn)不考慮孤立點。設(shè)G中每個結(jié)點度數(shù)均大于等于1，又因為G為簡單圖，所以每個頂點度數(shù)都小于等于n-1，由于G中頂點數(shù)到值只能是1，2，n-1這n-1個數(shù)，因而取n-1個值的n個頂點的度數(shù)至少有兩個結(jié)點度數(shù)是相同的。2、（8分）證：設(shè)G中兩個奇數(shù)度結(jié)點分別為u，v。若 u，v不連通，即它們中無任何通路，則至少有兩個連通分支G1、G2，使得u，v分別屬于G1和G2。于是G1與G2中各含有一個奇數(shù)度結(jié)點，與握手定理矛盾。因而u，v必連通。3、（8分）證：n=6,m=12 歐拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8由圖論基本定理知：，而，所以必有，即每個面用3條邊圍成。4、（10分） 證：設(shè)循環(huán)群A，的生成元為a，同態(tài)映射為f，同態(tài)像為，于是都有對n=1有n=2, 有若n=k-1時 有對n=k時，這表明，f(A)中每一個元素均可表示為，所以是以f(a) 生成元的循環(huán)群。十七、 中國郵遞員問題 14%解：圖中有4個奇數(shù)結(jié)點，（1） 求任兩結(jié)點的最短路再找兩條道路使得它們沒有相同的起點和終點，且長度總和最短：（2） 在原圖中復(fù)制出，設(shè)圖G，則圖G中每個結(jié)點度數(shù)均為偶數(shù)的圖G存在歐拉回路，歐拉回路C權(quán)長為43。十八、 根樹的應(yīng)用13%解：用100乘各頻率并由小到大排列得權(quán)數(shù)（1） 用Huffman算法求最優(yōu)二叉樹：（2） 前綴碼用 00000傳送 5；00001傳送 6；0001傳送 7；100傳送 3；101傳送 4；001傳送 2；11傳送 1；01傳送 0 （頻率越高傳送的前綴碼越短）。十九、 10%證明：（1） 乘：由運算表可知運算*是封閉的。（2） 群：即要證明，這里有43=64個等式需要驗證但： e是幺元，含e的等式一定成立。ab=a*b=b*a，如果對含a，b的等式成立，則對含a、b、ab的等式也都成立。剩下只需驗證含a、b等式，共有23=8個等式。即：(a*b)*a=ab*a=b=a*(b*a)=a*ab=b； (a*b)*b=ab*b=a=a*(b*b)=a*e=a；(a*a)*a=e*a=a=a*(a*a)=a*e=a ； (a*a)*b=e*b=b=a*(a*b)=a*ab=b；(b*b)*a=e*a=a=b*(b*a)=b*ab=a； (b*b)*b=e*b=b=b*(b*b)=b*e=b；(b*a)*a=ab*a=b=b*(a*a)=b*e=b ； (b*a)*b=ab*b=a=b*(a*b)=b*ab=a 。（3） 幺： e為幺元（4） 逆：e -1=e ；a -1=a ；b -1=b ； (ab) -1=ab 。所以為群。試卷八試題與答案一、 填空 15% （每小題 3分）1、 n階完全圖Kn的邊數(shù)為 。2、 右圖 的鄰接矩陣A= 。 3、 圖 的對偶圖為 。4、 完全二叉樹中，葉數(shù)為nt，則邊數(shù)m= 。5、 設(shè)為代數(shù)系統(tǒng)，* 運算如下：*abcaabcbbaccccc則它的幺元為 ；零元為 ； a、b、c的逆元分別為 。二、 選擇 15% （每小題 3分）1、 圖 相對于完全圖的補圖為（ ）。 2、 對圖G 則分別為（ ）。A、2、2、2； B、1、1、2； C、2、1、2； D、1、2、2 。3、 一棵無向樹T有8個頂點，4度、3度、2度的分枝點各1個，其余頂點均為樹葉，則T中有（ ）片樹葉。A、3； B、4； C、5； D、64、 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，其中+，為普通的加法和乘法，則A=（ ）時是整環(huán)。A、； B、；C、； D、。5、 設(shè)A=1，2，10 ，則下面定義的運算*關(guān)于A封閉的有（ ）。A、 x*y=max(x ,y)； B、x*y=質(zhì)數(shù)p的個數(shù)使得；C、x*y=gcd(x , y)； (gcd (x ,y)表示x和y的最大公約數(shù))；D、x*y=lcm(x ,y) （lcm(x ,y) 表示x和y的最小公倍數(shù)）。三、 證明 45% 1、設(shè)G是（n,m）簡單二部圖，則。（8分）2、設(shè)G為具有n個結(jié)點的簡單圖，且則G是連通圖。（8分）3、設(shè)G是階數(shù)不小于11的簡單圖，則G或中至少有一個是非平圖。（14分）4、記“開”為1，“關(guān)”為0，反映電路規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)0，1，+，的加法運算和乘法運算。如下：+0101001000110101證明它是一個環(huán)，并且是一個域。（15分）四、 生成樹及應(yīng)用 10%1、（10分）如下圖所示的賦權(quán)圖表示某七個城市及預(yù)先測算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設(shè)計方案，使得各城市之間既能夠通信而且總造價最小。2、（10分）構(gòu)造H、A、P、N、E、W、R、對應(yīng)的前綴碼，并畫出與該前綴碼對應(yīng)的二叉樹，寫出英文短語HAPPY NEW YEAR的編碼信息。五、 5%對于實數(shù)集合R，在下表所列的二元遠(yuǎn)算是否具有左邊一列中的性質(zhì)，請在相應(yīng)位上填寫“Y”或“N”。MaxMin+可結(jié)合性可交換性存在幺元存在零元答案：二十、 填空 15%（每小題3分）1、；2、；3、；4、；5、a，c，a、b、沒有二十一、 選擇 15%（每小題 3分）題目12345答案AACDA，C二十二、 證明 45%1、 （8分）：設(shè)G=（V，E），對完全二部圖有當(dāng)時，完全二部圖的邊數(shù)m有最大值。故對任意簡單二部圖有。2、 （8分）反證法：若G不連通，不妨設(shè)G可分成兩個連通分支G1、G2，假設(shè)G1和G2的頂點數(shù)分別為n1和n2，顯然。與假設(shè)矛盾。所以G連通。3、（14分）（1）當(dāng)n=11時，邊數(shù)條，因而必有或的邊數(shù)大于等于28，不妨設(shè)G的邊數(shù)，設(shè)G有k個連通分支，則G中必有回路。（否則G為k棵樹構(gòu)成的森林，每棵樹的頂點數(shù)為ni，邊數(shù)mi，