應(yīng)用回歸分析第九章部分答案

第9章 非線性回歸9.1 在非線性回歸線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換應(yīng)注意什么問(wèn)題？答：在對(duì)非線性回歸模型線性化時(shí)，對(duì)因變量作變換時(shí)不僅要注意回歸函數(shù)的形式， 還要注意誤差項(xiàng)的形式。如：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為，(2) 加性誤差項(xiàng)，模型形式為。對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型（1）可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型，（2）不能線性化。一般總是假定非線性模型誤差項(xiàng)的形式就是能夠使回歸模型線性化的形式，為了方便通常省去誤差項(xiàng)，僅考慮回歸函數(shù)的形式。9.2為了研究生產(chǎn)率與廢料率之間的關(guān)系，記錄了如表9.14所示的數(shù)據(jù)，請(qǐng)畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)擬合適當(dāng)?shù)幕貧w模型。表9.14生產(chǎn)率x（單位/周） 1000200030003500400045005000廢品率y（%）5.26.56.88.110.210.313.0解：先畫(huà)出散點(diǎn)圖如下圖：從散點(diǎn)圖大致可以判斷出x和y之間呈拋物線或指數(shù)曲線，由此采用二次方程式和指數(shù)函數(shù)進(jìn)行曲線回歸。（1）二次曲線SPSS輸出結(jié)果如下：從上表可以得到回歸方程為：由x的系數(shù)檢驗(yàn)P值大于0.05，得到x的系數(shù)未通過(guò)顯著性檢驗(yàn)。由x2的系數(shù)檢驗(yàn)P值小于0.05，得到x2的系數(shù)通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)。（2）指數(shù)曲線從上表可以得到回歸方程為：由參數(shù)檢驗(yàn)P值0<0.05，得到回歸方程的參數(shù)都非常顯著。從R2值，的估計(jì)值和模型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值、t值及擬合圖綜合考慮，指數(shù)擬合效果更好一些。9.3 已知變量x與y的樣本數(shù)據(jù)如表9.15，畫(huà)出散點(diǎn)圖，試用e/x來(lái)擬合回歸模型，假設(shè)：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/xe(2) 加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/x+。表9.15序號(hào)xy序號(hào)xy序號(hào)xy14.200.08663.200.150112.200.35024.060.09073.000.170122.000.44033.800.10082.800.190131.800.62043.600.12092.600.220141.600.94053.400.130102.400.240151.401.620解： 散點(diǎn)圖：(1) 乘性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/xe線性化：lny=ln+/x + 令y1=lny, a=ln,x1=1/x .做y1與x1的線性回歸，SPSS輸出結(jié)果如下：從以上結(jié)果可以得到回歸方程為：y1=-3.856+6.08x1 F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)的P值0<0.05，得到回歸方程及其參數(shù)都非常顯著。回代為原方程為：y=0.021e6.08/x （2）加性誤差項(xiàng)，模型形式為y=e/x+不能線性化，直接非線性擬合。給初值=0.021，=6.08（線性化結(jié)果），NLS結(jié)果如下：從以上結(jié)果可以得到回歸方程為： y=0.021e6.061/x根據(jù)R21，參數(shù)的區(qū)間估計(jì)不包括零點(diǎn)且較短，可知回歸方程擬合非常好，且其參數(shù)都顯著。9.4 Logistic回歸函數(shù)常用于擬合某種消費(fèi)品的擁有率，表8.17（書(shū)上239頁(yè)，此處略）是北京市每百戶家庭平均擁有的照相機(jī)數(shù)，試針對(duì)以下兩種情況擬合Logistic回歸函數(shù)。（1）已知，用線性化方法擬合，（2）u未知，用非線性最小二乘法擬合。根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義知道，u是擁有率的上限，初值可取100；b0>0,0<b1<1初值請(qǐng)讀者自己選擇。解：（1），時(shí)，的線性擬合。對(duì)函數(shù)線性化得到：，令，作關(guān)于的線性回歸分析，SPSS輸出結(jié)果如下：由表Model Summary得到，趨于1，回歸方程的擬合優(yōu)度好，由表ANOVA得到回歸方程顯著，由Coefficients表得到，回歸系數(shù)都是顯著的，得到方程：，進(jìn)一步計(jì)算得到：，（）回代變量得到最終方程形式為： 最后看擬合效果，通過(guò)sequence畫(huà)圖：由圖可知回歸效果比較令人滿意。（2）非線性最小二乘擬合,取初值,：一共循環(huán)迭代8次，得到回歸分析結(jié)果為：>0.994，得到回歸效果比線性擬合要好，且：，回歸方程為：。最后看擬合效果，由sequence畫(huà)圖：得到回歸效果很好，而且較優(yōu)于線性回歸。9.5表9.17（書(shū)上233頁(yè)，此處略）數(shù)據(jù)中GDP和投資額K都是用定基居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）縮減后的，以1978年的價(jià)格指數(shù)為100。（1） 用線性化乘性誤差項(xiàng)模型擬合C-D生產(chǎn)函數(shù)；（2） 用非線性最小二乘擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；（3） 對(duì)線性化檢驗(yàn)自相關(guān)，如果存在自相關(guān)則用自回歸方法改進(jìn)；（4） 對(duì)線性化檢驗(yàn)多重共線性，如果存在多重共線性則用嶺回歸方法改進(jìn)；解：（1）對(duì)乘法誤差項(xiàng)模型可通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成線性模型。lny=lnA+ a lnK+ b lnL令y=lny,0=lnA,x1=lnK,x2=lnL,則轉(zhuǎn)化為線性回歸方程：y=0+ a x1+ b x2+ eSPSS輸出結(jié)果如下：模型綜述表從模型綜述表中可以看到，調(diào)整后的為0.993，說(shuō)明C-D生產(chǎn)函數(shù)擬合效果很好，也說(shuō)明GDP的增長(zhǎng)是一個(gè)指數(shù)模型。方差分析表從方差分析表中可以看到，F(xiàn)值很大，P值為零，說(shuō)明模型通過(guò)了檢驗(yàn)，這與上述分析結(jié)果一致。系數(shù)表根據(jù)系數(shù)表顯示，回歸方程為：盡管模型通過(guò)了檢驗(yàn)，但是也可以看到，常數(shù)項(xiàng)沒(méi)有通過(guò)檢驗(yàn)，但在這個(gè)模型里，當(dāng)lnK和lnL都為零時(shí)，lnY為-1.785，即當(dāng)K和L都為1時(shí)，GDP為0.168，也就是說(shuō)當(dāng)投入資本和勞動(dòng)力都為1個(gè)單位時(shí)，GDP將增加0.168個(gè)單位，這種解釋在我們的承受范圍內(nèi)，可以認(rèn)為模型可以用。最終方程結(jié)果為：y=0.618K0.801 L0.404（2） 用非線性最小二乘法擬合加性誤差項(xiàng)模型的C-D生產(chǎn)函數(shù)；上述假設(shè)誤差是乘性的，現(xiàn)假設(shè)誤差是加性的情況下使用非線性最小二乘法估計(jì)。初值采用（1）中參數(shù)的結(jié)果，SPSS輸出結(jié)果如下：參數(shù)估計(jì)表SPSS經(jīng)過(guò)多步迭代，最終得到的穩(wěn)定參數(shù)值為P=0.407，a=0.868，b=0.270y=0.407K0.868 L0.270為了比較這兩個(gè)方程，我們觀察下面兩個(gè)圖線性回歸估計(jì)擬合曲線圖非線性最小二乘估計(jì)擬合曲線圖我們知道，乘性誤差相當(dāng)于是異方差的，做了對(duì)數(shù)變換后，乘性誤差轉(zhuǎn)為加性誤差，這種情況下認(rèn)為方差是相等的，那么第一種情況（對(duì)數(shù)變換線性化）就大大低估了GDP數(shù)值大的項(xiàng)，因此，它對(duì)GDP前期擬合的很好，而在后期偏差就變大了，同時(shí)也會(huì)受到自變量之間的自相關(guān)和多重共線性的綜合影響；非線性最小二乘法完全依賴數(shù)據(jù)，如果自變量之間存在比較嚴(yán)重的異方差、自相關(guān)以及多重共線性，將對(duì)擬合結(jié)果造成很大的影響。因此，不排除異方差、自相關(guān)以及多重共線性的存在。（3） 對(duì)線性化回歸模型采用DW檢驗(yàn)自相關(guān)，結(jié)果如下：模型綜述表DW=0.715<1.27，落在自相關(guān)的區(qū)間，所以采用迭代法改進(jìn)將得到的數(shù)據(jù)再取對(duì)數(shù)，而后用普通最小二乘法估計(jì)，保留DW值模型綜述表方差分析表系數(shù)表從模型綜述表中可以看到，DW=1.618>1.45，認(rèn)為消除了自相關(guān)；方差分析表中可以看到F值很大，P值為零，說(shuō)明模型通過(guò)了檢驗(yàn)。從系數(shù)表可得回歸方程：再迭代回去，最終得方程為：LnytLnyt-1.8590.755(LnKtLnKt) 0.465(LnLtLnLt)（4） 對(duì)線性化回歸方程通過(guò)VIF檢驗(yàn)多重共線性：方差分析表系數(shù)表多重共線性診斷表直觀法：從模型綜述表上可以看到，F(xiàn)值很大，而t值很小，這是多重共線性造成的影響；VIF檢驗(yàn)法：從系數(shù)表上可以看到，VIF=13>10，也說(shuō)明多重共線性的存在；條件數(shù)：從診斷表上可以看到，最大的條件數(shù)是429，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于了100，所以自變量之間存在較為嚴(yán)重的多重共線性。利用嶺回歸改進(jìn)： R-SQUARE AND BETA COEFFICIENTS FOR ESTIMATED VALUES OF K K RSQ LNK LNL_ _ _ _.00000 .99394 .860706 .141014.05000 .99015 .646381 .330432.10000 .98639 .577758 .375355.15000 .98260 .539715 .390822.20000 .97843 .513383 .395623.25000 .97379 .492922 .395526.30000 .96869 .475918 .392882.35000 .96318 .461184 .388818.40000 .95730 .448063 .383937.45000 .95109 .436158 .378587.50000 .94462 .425211 .372979.55000 .93791 .415047 .367248.60000 .93101 .405541 .361481.65000 .92395 .396598 .355735.70000 .91677 .388147 .350049從嶺跡圖觀察，當(dāng)k=0.2時(shí)，變量基本趨于穩(wěn)定取k=0.2進(jìn)行嶺回歸， SPSS輸出結(jié)果為：=0.479，=1.127從嶺回歸給出的結(jié)果來(lái)看，說(shuō)明勞動(dòng)力L較資金K對(duì)GDP的影響較大，而我國(guó)屬于人口大國(guó)，就業(yè)人數(shù)對(duì)GDP的貢獻(xiàn)不一定有顯著的影響，相反，資金對(duì)GDP的影響按常理來(lái)說(shuō)是非常顯著的，這點(diǎn)普通最小二乘法給出了合理的解釋，但是，嶺回歸在理論上很可信的。總之，影響統(tǒng)計(jì)的因素有很多，例如統(tǒng)計(jì)員的失誤、國(guó)家政策等，造成函數(shù)系數(shù)的不穩(wěn)定。