2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)14 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 文

專題限時(shí)集訓(xùn)(十四)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)1(2019·唐山模擬)設(shè)f(x)2xln x1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：f(x)x2x2ln x.解(1)f(x)2(ln x1)所以當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值f1.(2)證明：x2x2ln xf(x)x(x1)2(x1)ln x(x1)，令g(x)x2ln x，則g(x)10，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又g(1)0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，所以(x1)0，即f(x)x2x2ln x.2已知函數(shù)f(x)x3ax2ln x.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x3x2ln x(x>0)，f(x)3x21.3x23x2>0恒成立，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)(2)f(x)x3ax2ln x0在(0，)上恒成立，當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)x2a0恒成立g(x)2x2×2×，令h(x)x3ln x1，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，g(x)<0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，g(x)>0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增g(x)ming(1)1a0，a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)3(2019·開封模擬)已知函數(shù)f(x)ln xmx2，g(x)mx2x，mR，令F(x)f(x)g(x)(1)當(dāng)m時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)一題多解若關(guān)于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整數(shù)m的最小值解(1)由題意得，f(x)ln xx2(x>0)，所以f(x)x(x>0)令f(x)0，得x1.由f(x)>0，得0<x<1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，由f(x)<0，得x>1，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)所以f(x)極大值f(1)，無極小值(2)法一：令G(x)F(x)(mx1)ln xmx2(1m)x1，所以G(x)mx(1m).當(dāng)m0時(shí)，因?yàn)閤>0，所以G(x)>0，所以G(x)在(0，)上是增函數(shù)又G(1)m2>0，所以關(guān)于x的不等式F(x)mx1不能恒成立當(dāng)m>0時(shí)，G(x).令G(x)0，得x，所以當(dāng)x時(shí)，G(x)>0；當(dāng)x時(shí)，G(x)<0.因此函數(shù)G(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)故函數(shù)G(x)的最大值為Gln m.令h(x)ln x，因?yàn)閔(1)>0，h(2)ln 2<0，h(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以當(dāng)x2時(shí)，h(x)<0，所以整數(shù)m的最小值為2.法二：由F(x)mx1恒成立，知m(x>0)恒成立令h(x)(x>0)，則h(x).令(x)2ln xx，因?yàn)閘n 4<0，(1)1>0，且(x)為增函數(shù)，所以存在x0，使(x0)0，即2ln x0x00.當(dāng)0<x<x0時(shí)，h(x)>0，h(x)為增函數(shù)，當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)<0，h(x)為減函數(shù)，所以h(x)maxh(x0).而x0，所以(1,2)，所以整數(shù)m的最小值為2.4(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x在(0，)上單調(diào)遞增，y在(0，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當(dāng)x<x0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)<f(1)2，又f(e2)e23>0，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由>x0>1得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根綜上，f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)- 4 -