2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓14 導數(shù)的綜合應(yīng)用 理

專題限時集訓(十四)導數(shù)的綜合應(yīng)用(建議用時：40分鐘)1已知函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)f(x)在1，)上的值域；(2)若x1，)，ln x(ln x4)2ax4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解(1)易知f(x)0(x1)，f(x)在1，)上單調(diào)遞減，f(x)maxf(1)2.x1時，f(x)0，f(x)在1，)上的值域為(0,2(2)令g(x)ln x(ln x4)2ax4，x1，)，則g(x)2，若a0，則由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(e)12ae0，與題設(shè)矛盾，a0不符合要求若a2，則由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上單調(diào)遞減g(x)g(1)2a40，a2符合要求若0a2，則x0(1，)，使得a，則g(x)在1，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(x0)ln x0(ln x04)2ax04.ln x0ax02，g(x)max(ax02)(ax02)2ax04(ax02)(ax04)由題意知g(x)max0，即(ax02)(ax04)0，2ax04，即2ln x0241x0e2.a，且由(1)可知f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，a2.綜上，a的取值范圍為.2已知函數(shù)f(x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a1時，證明：對任意的x0，f(x)exx2x2.解(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)2x(a2)，當a0時，f(x)0對任意x(0，)恒成立，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)單調(diào)遞增；當a0時，由f(x)0得x，由f(x)0，得0x，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)證明：當a1時，f(x)x2xln x，要證明f(x)exx2x2，只需證明exln x20，設(shè)g(x)exln x2，則問題轉(zhuǎn)化為證明對任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為x0，則x0滿足e，當x變化時，g(x)和g(x)變化情況如下表x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)遞減遞增g(x)ming(x0)eln x02x02，因為x00，且x01，所以g(x)min220，因此不等式得證3已知函數(shù)f(x)ex(1aln x)，其中a0，設(shè)f(x)為f(x)的導函數(shù)(1)設(shè)g(x)exf(x)，若g(x)2恒成立，求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x0，函數(shù)f(x)的極小值點為x1，當a2時，求證：x0x1.解(1)由題設(shè)知，f(x)ex(x0)，g(x)exf(x)1aln x，g(x)(x0)當x(0,1)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，當x(1，)時，g(x)0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故g(x)在x1處取得最小值，且g(1)1a.由于g(x)2恒成立，所以1a2，得a1，即a的取值范圍為1，)(2)證明：設(shè)h(x)f(x)ex，則h(x)ex.設(shè)H(x)1aln x(x0)，則H(x)0，故H(x)在(0，)上單調(diào)遞增，因為a2，所以H(1)a10，H1aln 20，故存在x2，使得H(x2)0，則h(x)在區(qū)間(0，x2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x2，)上單調(diào)遞增，故x2是h(x)的極小值點，因此x2x1.由(1)可知，當a1時，ln x1.因此h(x)h(x1)e e(1a)0，即f(x)在(0，)上單調(diào)遞增由于H(x1)0，即1aln x10，即1aln x1，所以f(x1)e(1aln x1)ae0f(x0)又f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以x1x0.4已知函數(shù)f(x)xln xx2(a1)x，其導函數(shù)f(x)的最大值為0.(1)求實數(shù)a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，證明：x1x22.解(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，其導函數(shù)f(x)ln xa(x1)，記h(x)f(x)，則h(x). 當a0時，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0，所以任意x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成立當a0時，若x，則h(x)0；若x，則h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以h(x)maxhln aa1.令g(a)ln aa1，則g(a)1.當0a1時，g(a)0；當a1時，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)證明：當a1時，f(x)xln xx2，則f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln xx0恒成立，所以f(x)xln xx2在(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1) 不妨設(shè)0x1x2，則0x11x2，欲證x1x22，只需證x22x1.因為f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以只需證f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)1，所以只需證1f(x1)f(2x1)，即f(2x1)f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，則F(1)1.所以欲證f(2x1)f(x1)1，只需證F(x)F(1)，x(0,1)，F(xiàn)(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln(2x)2x，整理得F(x)ln xln(2x)2(1x)，x(0,1)，令m(x)F(x)，則m(x)0，x(0,1)，所以F(x)ln xln(2x)2(1x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以任意x(0,1)，f(x)ln xln(2x)2(1x)0，所以函數(shù)F(x)f(x)f(2x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以F(x)F(1)，x(0,1)，故x1x22.題號內(nèi)容押題依據(jù)1函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造法證明不等式、分類討論思想高考的熱點問題，將等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想放在一起考查學生分析問題的能力，同時雙變量問題的合理轉(zhuǎn)化是近幾年的熱點，應(yīng)引起重視【押題】已知函數(shù)f(x)x2ax(a1)ln x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若對任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1，求實數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)xa(x1)x(a1)，若a2，由f(x)0，得0x1或xa1，由f(x)0，得1xa1，則f(x)在(0,1)，(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減；若a2，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；若1a2，由f(x)0，得0xa1或x1，由f(x)0，得a1x1，則f(x)在(0，a1)，(1，)上單調(diào)遞增，在(a1,1)上單調(diào)遞減；若a1，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1，則f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減綜上，若a2，則f(x)在(0,1)，(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減；若a2，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；若1a2，則f(x)在(0，a1)，(1，)上單調(diào)遞增，在(a1,1)上單調(diào)遞減；若a1，則f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減(2)f(x1)f(x2)x2x1f(x1)x1f(x2)x2，令F(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx，對任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1等價于函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)f(x)xa1x2(a1)xa1，令g(x)x2(a1)xa1，當a10，即a1時，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g(0)0，即a10，a1，無解當a10，即a1時，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g0，即(a1)·a10，化簡得(a1)(a5)0，解得1a5.綜上，實數(shù)a的取值范圍是1,5- 6 -