2020版高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓10 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) 文

專題限時集訓(十)圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)專題通關(guān)練(建議用時：30分鐘)1(2019·合肥模擬)設雙曲線C：1(a0，b0)的虛軸長為4，一條漸近線的方程為yx，則雙曲線C的方程為()A.1B.1C.1 Dx21A由題意知，雙曲線的虛軸長為4，得2b4，即b2，又雙曲線的焦點在x軸上，則其一條漸近線的方程為yxx，可得a4，所以雙曲線C的方程為1，故選A.2(2019·全國卷)雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A2sin 40° B2cos 40°C. D.D由題意可得tan 130°，所以e.故選D.3一題多解(2019·長沙模擬)已知拋物線C：y28x的焦點為F，點A(1，a)(a0)在C上，|AF|3.若直線AF與C交于另一點B，則|AB|的值是()A12 B10C9 D4.5C法一：因為A(1，a)(a0)在拋物線C上，所以a28，解得a2或a2(舍去)，故直線AF的方程為y2(x2)，與拋物線的方程聯(lián)立，消去y，可得x25x40，解得x11，x24，由拋物線的定義，得|BF|426，所以|AB|AF|BF|9，故選C.法二：因為直線AB過焦點F，所以xAxBp24，又xA1，所以xB4，所以|AB|AF|BF|xAxB49，故選C.4(2019·青島模擬)已知拋物線x22py(p0)的焦點F是橢圓1(ab0)的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A，B兩點，若FAB是正三角形，則橢圓的離心率為()A. B.C. D.C如圖，由|AB|，F(xiàn)AB是正三角形，得×2c，化簡可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以2a23b20，所以，所以橢圓的離心率e，故選C.5(2019·全國卷)已知F是雙曲線C：1的一個焦點，點P在C上，O為坐標原點若|OP|OF|，則OPF的面積為()A. B.C. D.B由F是雙曲線1的一個焦點，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨設點P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，則解得所以P，所以SOPF|OF|·y0×3×.故選B.6(2019·延安一模)已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，過F作直線l交拋物線C于A，B兩點，若|AF|，|BF|2，則p_.1如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|，|BF|2，根據(jù)拋物線的定義可得x1，x22，92，p1.7(2019·長春模擬)如圖所示，A，B是橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，OC的延長線交橢圓于點M，且|OF|，若MFOA，則橢圓的方程為_1F為橢圓的右焦點，|OF|，c.設橢圓方程為1(b0)，A，B為橢圓的兩個頂點，C是AB的中點，OC交橢圓于點M，MFOA，A是長軸右端點，1，yM，M.A(，0)，B(0，b)，C.kOMkOC，b.所求橢圓方程是1.8(2019·全國卷)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為_(3，)設F1為橢圓的左焦點，分析可知M在以F1為圓心、焦距為半徑長的圓上，即在圓(x4)2y264上因為點M在橢圓1上，所以聯(lián)立方程可得解得又因為點M在第一象限，所以點M的坐標為(3，)能力提升練(建議用時：15分鐘)9已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，拋物線C上存在一點E(2，t)到焦點F的距離等于3.(1)求拋物線C的方程；(2)已知點P在拋物線C上且異于原點，點Q為直線x1上的點，且FPFQ，求直線PQ與拋物線C的交點個數(shù)，并說明理由解(1)拋物線C的準線方程為x，所以點E(2，t)到焦點F的距離為23，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)直線PQ與拋物線C只有一個交點理由如下：設點P，點Q(1，m)由(1)得焦點F(1,0)，則，(2，m)，由題意可得·0，故2my00，從而m.故直線PQ的斜率kPQ.故直線PQ的方程為yy0，得x.又拋物線C的方程為y24x，所以由得(yy0)20，故yy0，x.故直線PQ與拋物線C只有一個交點10(2019·永州三模)已知橢圓E：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓過點(0,2)，點Q為橢圓上一動點(異于左、右頂點)，且QF1F2的周長為44.(1)求橢圓E的方程；(2)過點F1，F(xiàn)2分別作斜率為k1，k2的直線l1，l2，分別交橢圓E于A，B和C，D四點，且|AB|CD|6，求k1k2的值解(1)由題意可知，解之得a2，b2，所以橢圓E的方程為1.(2)由題意可知，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設直線AB的方程為yk1(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(12k)x28kx8k80，(8k)24(12k)(8k8)32(k1)0，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|4，同理聯(lián)立方程，由弦長公式可知，|CD|4，|AB|CD|6，446，化簡得kk，則k1k2±.題號內(nèi)容押題依據(jù)1雙曲線的漸近線、離心率、直線與拋物線的位置關(guān)系雙曲線的離心率問題，歷來是高考的熱點本題以求雙曲線的離心率為背景，綜合考查雙曲線的基本性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系的應用考查學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)2橢圓、圓與橢圓(拋物線)、圓有關(guān)的圓錐曲線問題在近幾年高考中都有涉及，是高考的熱點題型，多作為壓軸題出現(xiàn)，本題將橢圓(拋物線)與圓相結(jié)合，考查三角形面積最值的求解，綜合考查學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng)，符合高考的命題規(guī)律【押題1】一題多解雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()A.B5C.D.D由于雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點，所以直線yx與拋物線yx21相切法一：由得ax2bxa0，則該方程有兩個相等的實數(shù)解，即b24a20，解得4，所以離心率e.故選D.法二：設切點為(x0，x1)，對yx21求導，得y2x，則x1x0,2x0，所以2，所以離心率e.故選D.【押題2】已知橢圓C：1(ab0)的頂點到直線l：yx的距離分別為，.(1)求橢圓C的離心率；(2)過圓O：x2y24上任意一點P作橢圓的兩條切線PM和PN分別與圓O交于點M，N，求PMN面積的最大值解(1)由直線l的方程知，直線l與兩坐標軸的夾角均為45°，則可得長軸端點到直線l的距離為a，短軸端點到直線l的距離為b，所以解得所以c.于是橢圓C的離心率e.(2)設P(xP，yP)，則xy4.若兩條切線中有一條切線的斜率不存在，則xP±，yP±1，另一條切線的斜率為0，從而PMPN.此時SPMN|PM|·|PN|×2×22.若兩條切線的斜率均存在，則xP±，由(1)知，橢圓方程為y21，設過點P的橢圓的切線方程為yyPk(xxP)，代入橢圓方程，消去y并整理，得(3k21)x26k(yPkxP)x3(yPkxP)230.依題意有0，即(3x)k22xPyPk1y0.設切線PM，PN的斜率分別為k1，k2，則k1k21，即PMPN.所以線段MN為圓O的直徑，所以|MN|4.所以SPMN|PM|·|PN|(|PM|2|PN|2)|MN|24，當且僅當|PM|PN|2時，SPMN取得最大值，最大值為4.綜合可得，PMN面積的最大值為4.- 7 -