2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破6 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理

考問(wèn)題6三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)1(2011·新課標(biāo)全國(guó))已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2()A B C. D.答案：B由題意知，tan 2，cos 2.2(2012·湖南)函數(shù)f(x)sin xcos的值域?yàn)?)A2,2 B. C1,1 D.答案：B因?yàn)閒(x)sin xcos xsin x·sin，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?(2011·新課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則()Af(x)在單調(diào)遞減 Bf(x)在單調(diào)遞減Cf(x)在單調(diào)遞增 Df(x)在單調(diào)遞增答案：Af(x)sin(x)cos(x)sin.由最小正周期為得，2，又由f(x)f(x)可知f(x)為偶函數(shù)，|<可知，所以f(x)cos 2x在單調(diào)遞減4(2012·全國(guó))當(dāng)函數(shù)ysin xcos x(0x2)取得最大值時(shí)，x_.解析ysin xcos x22sin的最大值為2，又0x2，故當(dāng)x，即x時(shí)，y取得最大值答案1對(duì)三角函數(shù)圖象的考查主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)利用“五點(diǎn)法”作出圖象；(2)圖象變換；(3)由三角函數(shù)的圖象(部分)確定三角函數(shù)的解析式2三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，它既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題常通過(guò)三角變換，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式，再研究其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)經(jīng)常與向量綜合進(jìn)行考查由于本部分高考試題的難度不大，經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了高考的要求，二輪復(fù)習(xí)就是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的鞏固和強(qiáng)化，在復(fù)習(xí)中注意如下幾點(diǎn)：(1)該專題具有基礎(chǔ)性和工具性，雖然沒(méi)有什么大的難點(diǎn)問(wèn)題，但包含的內(nèi)容非常廣泛，概念、公式很多，不少地方容易混淆，在復(fù)習(xí)時(shí)要根據(jù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，系統(tǒng)掌握其知識(shí)體系(2)抓住考查的主要題型進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)解析式或者求函數(shù)值.必備知識(shí)同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件五點(diǎn)法作yAsin(x)的簡(jiǎn)圖：五點(diǎn)取法是設(shè)Xx，由X取0、2來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖函數(shù)yAsin(x)B(其中A0，0)最大值是AB，最小值是BA，周期是T，頻率是f，相位是x，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線xk(kZ)，凡是該圖象與直線yB的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心由ysin x的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysin x 遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的遞增區(qū)間是(kZ)，遞減區(qū)間是(kZ)；ytan x的遞增區(qū)間是(kZ)必備方法1三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧：(1)方程思想：sin cos ，sin cos ，sin cos 三者中，知一可求二；(2)“1”的替換：sin2cos21；(3)切弦互化：弦的齊次式可化為切2函數(shù)yAsin(x)的問(wèn)題：(1)“五點(diǎn)法”畫(huà)圖：分別令x0、2，求出五個(gè)特殊點(diǎn)；(2)給出yAsin(x)的部分圖象，求函數(shù)表達(dá)式時(shí)，比較難求的是，一般從“五點(diǎn)法”中取靠y軸較近的已知點(diǎn)代入突破；(3)求對(duì)稱軸方程：令xk(kZ)，求對(duì)稱中心：令xk(kZ)基本關(guān)系的應(yīng)用?？疾槔萌呛瘮?shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值主要以小題形式考查，在綜合性問(wèn)題第(1)問(wèn)中也經(jīng)常涉及到三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值，多為基礎(chǔ)問(wèn)題【例1】 (2012·山東萊蕪檢測(cè))若tan()，則的值為()A B. C. D審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 先求tan ，再將所求三角函數(shù)式分子分母同除cos 化成切的式子C由tan()得，tan ，. 在三角函數(shù)求值類試題中，一般是先化簡(jiǎn)題目的已知條件或是目標(biāo)式，把已知和求解之間的關(guān)系明朗化后，再選擇解決問(wèn)題的方法【突破訓(xùn)練1】 如圖，以O(shè)x為始邊作角(0)，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為.求的值解由三角函數(shù)定義，得cos ，sin ，原式2cos2 2×2.象及解析式?？疾椋豪靡呀o三角函數(shù)的圖象特點(diǎn)，求三角函數(shù)解析式；函數(shù)yAsin(x)的圖象變換考查學(xué)生三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況【例2】 (2012·惠州二模)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)的圖象的一部分如圖所示則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 觀察圖象，由周期確定，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定.解析由圖象知A2，2T8，所以，得f(x)2sin.由對(duì)應(yīng)點(diǎn)得當(dāng)x1時(shí)，×1.所以f(x)2sin.答案f(x)2sin 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x002k(kZ)，其他依次類推即可【突破訓(xùn)練2】 (2012·北京東城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)sin (x)，(其中|)的圖象如圖所示，為了得到g(x)sin x的圖象，則只要將f(x)的圖象()A向右平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位 D向左平移個(gè)單位答案：A由圖象可知，T，2，再由2×.得，所以f(x)sin，故只需將f(x)sin2向右平移個(gè)單位，得到g(x)sin 2x.三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等是高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換交匯命題，在考查三角恒等變換的方法與技巧的同時(shí)，又考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，難度中低檔【例3】 (2012·湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 對(duì)于第(1)問(wèn)的求解主要是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的定義進(jìn)行合一化簡(jiǎn)求最小正周期；對(duì)于第(2)問(wèn)的求解則要對(duì)三角函數(shù)在定義域內(nèi)求值域解(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2x2sin x·cos xcos 2xsin 2x2sin.由直線x是yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，得f0，即2sin2sin，即.故f(x)2sin，由0x，得x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，2 在解答三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性的問(wèn)題時(shí)，通常是將三角函數(shù)化為只含一個(gè)函數(shù)名稱且角度唯一、最高次數(shù)為一次的形式，即yAsin(x)m，其中A0，0，0,2)，若給定區(qū)間xa，b，則最大(小)值、單調(diào)區(qū)間隨之確定；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且k(kZ)，m0，則yAsin(x)m是奇函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且k(kZ)，m0，則yAsin(x)m是偶函數(shù)；其周期為T.【突破訓(xùn)練3】 已知f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)若xR，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若x時(shí)，f(x)的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值解因f(x)2cos2 xsin 2xacos 2x1sin 2xa2sina1.(1)令2k2x2k，得kxk(kZ)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)若x，2x，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最大值a3.則由條件有a34，得a1.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的綜合交匯點(diǎn)，是高考命題的重點(diǎn)，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、圖象變換等，近幾年關(guān)于三角函數(shù)綜合應(yīng)用的高考題不斷求新求異，但考查的知識(shí)方法不變，首先是化簡(jiǎn)所給式子，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解相關(guān)問(wèn)題【例4】 已知函數(shù)f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0<<)，其圖象過(guò)點(diǎn)，.(1)求的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，盡量化為yAsin(x)B的形式，然后再求解解(1)f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0<<)，f(x)sin 2xsin cos cos sin 2xsin cos 2xcos (sin 2xsin cos 2xcos )cos(2x)，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，cos，即cos1，又0<<，.(2)由(1)知f(x)cos，將函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，可知g(x)f(2x)cos，因?yàn)閤，所以4x0，因此4x，故cos1.所以yg(x)在上的最大值和最小值分別為和. (1)形如yasin xbcos x型的三角函數(shù)通過(guò)引入輔助角化為ysin(x)的形式(2)求三角函數(shù)式最值的方法將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解【突破訓(xùn)練4】 若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2xm在區(qū)間上的最大值為6.(1)求常數(shù)m的值；(2)作函數(shù)f(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得函數(shù)f1(x)的圖象，再把f1(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得f2(x)的圖象，求函數(shù)f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間解(1)f(x)sin 2xcos 2x1m2sin1m，由于x，所以2x，所以sin1.所以mf(x)3m，所以3m6，所以m3.(2)由(1)得f(x)2sin4，f1(x)2sin4，f2(x)2sin42sin4.由2k2x2k，kZ，得f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式的應(yīng)用利用輔助角公式化已知三角函數(shù)式為“標(biāo)準(zhǔn)式”，是歷年高考的熱點(diǎn)，三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式在求三角函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)時(shí)有著重要作用化簡(jiǎn)時(shí)常常要結(jié)合三角恒等變換知識(shí)，這是解決三角函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此，要牢固掌握這一解題技巧【示例】 (2012·重慶)設(shè)f(x)4cossin xcos(2x)，其中0.(1)求函數(shù)yf(x)的值域；(2)若f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值滿分解答(1)f(x)4sin xcos 2x2sin xcos x2sin2xcos2xsin2xsin 2x1，(4分)因?yàn)?sin 2x1，所以函數(shù)yf(x)的值域?yàn)?，1(6分)(2)因ysin x在每個(gè)閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)，故f(x)sin 2x1(0)在每個(gè)閉區(qū)間(kZ)上為增函數(shù)(8分)依題意知對(duì)某個(gè)kZ成立，此時(shí)必有k0，于是解得，故的最大值為.(12分)老師叮嚀：本題考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后數(shù)形結(jié)合找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的最值.其中，第(1)問(wèn)需利用三角恒等變換知識(shí)將三角函數(shù)式化為標(biāo)準(zhǔn)式，是解(2)問(wèn)的基礎(chǔ)；第(2)問(wèn)得分率不高，不少考生找不到解題突破口是失分原因.【試一試】 (2012·杭州模擬)要得到函數(shù)ycos x的圖象，只需將函數(shù)ysin的圖象上所有的點(diǎn)的()A橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度答案：C將函數(shù)ysin圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)ysin的圖象；再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后便得：ysincos x的圖象，故選C.12