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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)23 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例(含解析)理

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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)23 正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例(含解析)理

課后限時集訓(xùn)(二十三)(建議用時:60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖所示,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的( )A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°D由條件及題圖可知,AB40°,又BCD60°,所以CBD30°,所以DBA10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°,燈塔B在觀察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為( )Aa km B.a kmC.a km D2a kmB在ABC中,ACBCa,ACB120°,AB2a2a22a2cos 120°3a2,ABa.3如圖,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D,測得BCD15°,BDC30°,CD30 m,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于( )A5 m B15 mC5 m D15 mD在BCD中,CBD180°15°30°135°.由正弦定理得,解得BC15(m)在RtABC中,ABBCtanACB15×15(m)4(2019·重慶模擬)一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( )A10海里 B10海里C20海里 D20海里A如圖所示,易知,在ABC中,AB20海里,CAB30°,ACB45°,根據(jù)正弦定理得,解得BC10(海里)5如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°,北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為( A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里A連接AB,由題意可知CD40,ADC105°,BDC45°,BCD90°,ACD30°,CAD45°,ADB60°,在ACD中,由正弦定理得,AD20,在RtBCD中,BDC45°,BCD90°,BDCD40.在ABD中,由余弦定理得AB20.故選A.二、填空題6如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上,則燈塔A在燈塔B的_的方向上北偏西10°由題意知ABC(180°80°)50°,則燈塔A在燈塔B的北偏西10°的方向上7(2019·衡水模擬)如圖,為了測量河對岸電視塔CD的高度,小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30°,塔底C與A的連線同河岸成15°角,小王向前走了1 200 m到達(dá)M處,測得塔底C與M的連線同河岸成60°角,則電視塔CD的高度為_m.600在ACM中,MCA60°15°45°,AMC180°60°120°,由正弦定理得,即,解得AC600.在ACD中,tanDAC,DC600×600.8如圖所示,小明同學(xué)在山頂A處觀測到,一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點(diǎn)的俯角分別為30°,45°,且BAC135°.若山高AD100 m,汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時14 s,則這輛汽車的速度為_ m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù):1.414,2.236.22.6由題意可得AB200,AC100,在ABC中,由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC105,則BC100141.4×2.236,又歷時14 s,所以速度為22.6 m/s.三、解答題9某航模興趣小組的同學(xué),為了測定在湖面上航模航行的速度,采用如下辦法:在岸邊設(shè)置兩個觀察點(diǎn)A,B,且AB長為80米,當(dāng)航模在C處時,測得ABC105°和BAC30°,經(jīng)過20秒后,航模直線航行到D處,測得BAD90°和ABD45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度(答案可保留根號)解在ABD中,BAD90°,ABD45°,ADB45°,ADAB80,BD80.在ABC中,BC40.在DBC中,DC2DB2BC22DB·BCcos 60°(80)2(40)22×80×40×9 600.DC40,航模的速度v2米/秒10如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度;(2)求sin 的值解(1)依題意知,BAC120°,AB12,AC10×220,BCA.在ABC中,由余弦定理,得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784,解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(2)在ABC中,因?yàn)锳B12,BAC120°,BC28,BCA,由正弦定理,得,即sin .B組能力提升1(2019·六安模擬)一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是 ( )A50 m B100 m C120 m D150 mA設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在ABC中,A60°,ACh,AB100,BCh,根據(jù)余弦定理得,(h)2h210022·h·100·cos 60°,即h250h5 0000,即(h50)(h100)0,即h50,故水柱的高度是50 m2如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為330 m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點(diǎn)作為觀測點(diǎn),現(xiàn)測得PAB90°,PAQPBAPBQ60°,則P,Q兩點(diǎn)間的距離為_m.990由已知,得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°,AQB30°,ABBQ.又PB為公共邊,PABPQB,PQPA.在RtPAB中,APAB·tan 60°990,故PQ990,P,Q兩點(diǎn)間的距離為990 m3如圖所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角,在山坡的A處測得DAC15°,從A處沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測得DBC45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _.1由DAC15°,DBC45°可得BDA30°,DBA135°,BDC90°(15°)30°45°,由內(nèi)角和定理可得DCB180°(45°)45°90°,根據(jù)正弦定理可得,即DB100sin 15°100×sin(45°30°)25(1),又,即,得到cos 1.4如圖,一條巡邏船由南向北行駛,在A處測得山頂P在北偏東15°(BAC15°)方向上,勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處,測得山頂P位于北偏東60°方向上,此時測得山頂P的仰角60°,若山高為2千米(1)船的航行速度是每小時多少千米?(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處,問此時山頂位于D處的南偏東什么方向?解(1)在BCP中,tanPBCBC2.在ABC中,由正弦定理得:,所以AB2(1),船的航行速度是每小時6(1)千米(2)在BCD中,由余弦定理得:CD,在BCD中,由正弦定理得:sinCDB,所以,山頂位于D處南偏東45°.- 8 -

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