2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)41 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用 理(含解析)北師大版
課后限時(shí)集訓(xùn)(四十一)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用(建議用時(shí):60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,2,3),B(2,1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A垂直B平行C異面 D相交但不垂直B由題意得,(3,3,3),(1,1,1),3,與共線,又與沒有公共點(diǎn),ABCD2在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),若A,B,C,D四點(diǎn)共面,則()A2xyz1Bxyz0Cxyz4Dxyz0AA(1,1,2),B(1,2,3),C(1,3,0),D(x,y,z)(x,y,zR),(0,1,1),(2,2,2),(x1,y1,z2)A,B,C,D四點(diǎn)共面,存在實(shí)數(shù),使得,即(x1,y1,z2)(0,1,1)(2,2,2),解得2xyz1,故選A.3如圖所示,三棱錐OABC中,M,N分別是AB,OC的中點(diǎn),設(shè)a,b,c,用a,b,c表示,則()A.(abc)B(abc)C.(abc)D(abc)B()()(abc)4在空間直角坐標(biāo)系中,A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1,1),B(3,4,),C(2,7,1),若,則()A3 B1C±3 D3C由題知,(1,3,1),(1,3,1),由,可得·0,即19210,即29,±3,故選C.5已知正四面體ABCD的棱長為1,且2,2,則·()A. BC DD因?yàn)?,2,所以EFBD,EFBD,即,則··|cos .故選D二、填空題6.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM的位置關(guān)系是_垂直以A為原點(diǎn),分別以,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,0),M,O,N,··0,ON與AM垂直7已知平面內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一個(gè)法向量n(1,1,1),則不重合的兩個(gè)平面與的位置關(guān)系是_設(shè)平面的法向量為m(x,y,z),由m·0,得x·0yz0yz,由m·0,得xz0xz,取x1,m(1,1,1),mn,mn,.8如圖所示,在平行四邊形ABCD中,ABACCD1,ACD90°,把ADC沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,則BD的長為_2或AB與CD成60°角,60°或120°.又ABACCD1,ACCD,ACAB,|,|2或.BD的長為2或.三、解答題9已知空間中三點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),設(shè)a,b.(1)若|c|3,且c,求向量c;(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值解(1)c,(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2),cmm(2,1,2)(2m,m,2m),|c|3|m|3,m±1.c(2,1,2)或(2,1,2)(2)a(1,1,0),b(1,0,2),a·b(1,1,0)·(1,0,2)1,又|a|,|b|,cosa,b,故向量a與向量b的夾角的余弦值為.10.如圖所示,四棱錐PABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA底面ABCD,且PAAD2,E,F(xiàn),H分別是線段PA,PD,AB的中點(diǎn),求證:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(xiàn)(0,1,1),H(1,0,0)(1)E,H分別是線段AP,AB的中點(diǎn),PBEH.PB平面EFH,且EH平面EFH,PB平面EFH.(2)(0,2,2),(1,0,0),(0,1,1),·0×02×1(2)×10,·0×12×0(2)×00.PDAF,PDAH.又AFAHA,PD平面AHF.B組能力提升1若x,yR,有下列命題:若pxayb,則p與a,b共面;若p與a,b共面,則pxayb;若xy,則P,M,A,B共面;若點(diǎn)P,M,A,B共面,則xy.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4B正確;中若a,b共線,p與a不共線,則pxayb就不成立;正確;中若M,A,B共線,點(diǎn)P不在此直線上,則xy不正確2.(2019·四川名校聯(lián)考)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1MAN,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A相交B平行C垂直D不能確定B正方體棱長為a,A1MAN,().又是平面B1BCC1的法向量,且··0,MN平面B1BCC1.故選B3已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)對于結(jié)論:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正確的是_·0,·0,ABAP,ADAP,則正確又與不平行,是平面ABCD的法向量,則正確(2,3,4),(1,2,1),與不平行,故錯(cuò)誤4.如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,點(diǎn)P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證:ACSD;(2)若SD平面PAC,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE平面PAC,若存在,求SEEC的值;若不存在,試說明理由解(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)O,則ACBD連接SO,由題意知SO平面ABCD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖底面邊長為a,則高SOa,于是S,D,B,C,則·0.故OCSD從而ACSD(2)棱SC上存在一點(diǎn)E,使BE平面PAC.理由如下:由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量,且,.設(shè)t,則t,而·0t.即當(dāng)SEEC21時(shí),.而BE平面PAC,故BE平面PAC. - 7 -