2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)43 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 理（含解析）新人教版

課時(shí)作業(yè)43空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1在下列命題中，不是公理的是(A)A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線解析：選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的2若空間三條直線a，b，c滿足ab，bc，則直線a與c(D)A一定平行 B一定相交C一定是異面直線 D一定垂直解析：兩條平行線中一條與第三條直線垂直，另一條直線也與第三條直線垂直故選D.3空間四邊形兩對(duì)角線的長分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(A)A6 B12C12 D24解析：如圖，已知空間四邊形ABCD，對(duì)角線AC6，BD8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，EFG或FGH為AC與BD所成的角，大小為45°，故S四邊形EFGH3×4×sin45°6.故選A.4(2019·南寧市摸底聯(lián)考)在如圖所示的正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點(diǎn)，異面直線BF與D1E所成角的余弦值為(D)A. B.C. D.解析：如圖，過點(diǎn)E作EMAB，過M點(diǎn)作MNAD，取MN的中點(diǎn)G，連接NE，D1G，所以平面EMN平面ABCD，易知EGBF，所以異面直線BF與D1E的夾角為D1EG，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則GE，D1G，D1E3，在D1EG中，cosD1EG，故選D.5已知異面直線a，b分別在平面，內(nèi)，且c，那么直線c一定(C)A與a，b都相交 B只能與a，b中的一條相交C至少與a，b中的一條相交 D與a，b都平行解析：如果c與a、b都平行，那么由平行線的傳遞性知a、b平行，與異面矛盾故選C.6到空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)為(C)A1 B4C7 D8解析：當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí)，則四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，如圖1.令截面與四棱錐的四個(gè)面之一平行，第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對(duì)的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個(gè)；當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，如圖2，當(dāng)平面過AB，BD，CD，AC的中點(diǎn)時(shí)，滿足條件因?yàn)槿忮F的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面有3個(gè)所以滿足條件的平面共有7個(gè)，故選C.二、填空題7三條直線可以確定三個(gè)平面，這三條直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0或1.解析：因三條直線可以確定三個(gè)平面，所以這三條直線有兩種情況：一是兩兩相交，有1個(gè)交點(diǎn)；二是互相平行，沒有交點(diǎn)8(2019·武漢調(diào)研)在正四面體ABCD中，M，N分別是BC和DA的中點(diǎn)，則異面直線MN和CD所成角的余弦值為.解析：取AC的中點(diǎn)E，連接NE，ME，由E，N分別為AC，AD的中點(diǎn)，知NECD，故MN與CD所成的角即MN與NE的夾角，即MNE.設(shè)正四面體的棱長為2，可得NE1，ME1，MN，故cosMNE.9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，則下列說法正確的是.(填寫所有正確說法的序號(hào))EF與GH平行；EF與GH異面；EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以E，F(xiàn)，G，H共面因?yàn)镋HBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上同理，點(diǎn)M在平面ACD上，點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，又AC是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)M一定在直線AC上三、解答題10.如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)問：(1)AM與CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B與CC1是否是異面直線？說明理由解：(1)AM與CN不是異面直線理由如下：如圖，連接MN，A1C1，AC.因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MNA1C1.又因?yàn)锳1A綊C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線(2)D1B與CC1是異面直線理由如下：因?yàn)锳BCD­A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，這與B，C，C1，D1不共面矛盾所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線11如圖，在三棱錐P­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐P­ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解：(1)SABC×2×22，三棱錐P­ABC的體積為VSABC·PA×2×2.(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.12如圖是三棱錐D­ABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析：由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖，從A出發(fā)的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且ABAC2，AD1，O是BC中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)E，連接DE，DO，OE，則OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角在直角三角形DAE中，DE，由于O是BC的中點(diǎn)，在直角三角形ABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求異面直線DO與AB所成角的余弦值為.13正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(填序號(hào))ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐E­ABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.解析：因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VE­ABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯(cuò)誤14.如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，EC2FB2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值解：(1)解法1：如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1底面ABC.又因?yàn)镋C2FB2，所以O(shè)MECFB且OMECFB，所以四邊形OMBF為矩形，BMOF.因?yàn)镺F平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)解法2：如圖所示，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，PB，BQ.因?yàn)镋C2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因?yàn)镻BPQP，PB平面PBQ，PQ平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因?yàn)锽Q平面PBQ，所以BQ平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)(2)由(1)知，BM與EF異面，OFE(或MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM與EF所成的角的余弦值為.15平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為(A)A. B.C. D.解析：如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，因?yàn)槠矫鍯B1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.16(2019·成都診斷性檢測)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD為正方形，P為A1D1的中點(diǎn)，AD2，AA1，點(diǎn)Q是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且QCQP，則線段BQ的長度的最大值為6.解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因?yàn)镼CQP，所以(x2)2(y2)24，所以(y2)24(x2)24|y2|24y0，BQ，根據(jù)4y0可得448y36，所以2BQ6，故線段BQ的長度的最大值為6.8