二階常微分方程的解法及其應用本科畢業(yè)論文.doc

本科畢業(yè)論文 二階常微分方程的解法及其應用 畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的本人所呈交的畢業(yè)論畢業(yè)論文（文（設計設計）是我在）是我在導師導師的指的指導導下下進進行的研究行的研究 工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經經注明引用的內容外，本注明引用的內容外，本 論論文（文（設計設計）不包含其他個人已）不包含其他個人已經發(fā)經發(fā)表或撰寫表或撰寫過過的研究成果。的研究成果。對對本本論論文文 （ （設計設計）的研究做出重要）的研究做出重要貢貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確獻的個人和集體，均已在文中作了明確說說明明 并表示并表示謝謝意。意。 作者作者簽簽名：名： 日期：日期： 畢業(yè)論文（設計）授權使用說明畢業(yè)論文（設計）授權使用說明 本本論論文（文（設計設計）作者完全了解）作者完全了解*學院有關保留、使用學院有關保留、使用畢業(yè)論畢業(yè)論文（文（設計設計） ） 的的規(guī)規(guī)定，學校有定，學校有權權保留保留論論文（文（設計設計）并向相關部）并向相關部門門送交送交論論文（文（設計設計）的）的電電 子版和子版和紙質紙質版。有版。有權權將將論論文（文（設計設計）用于非）用于非贏贏利目的的少量復制并允利目的的少量復制并允許許 論論文（文（設計設計） ）進進入學校入學校圖書館圖書館被被查閱查閱。學?？梢怨?。學?？梢怨颊撜撐模ㄎ模ㄔO計設計）的全部）的全部 或部分內容。保密的或部分內容。保密的論論文（文（設計設計）在解密后適用本）在解密后適用本規(guī)規(guī)定。定。 作者作者簽簽名：名： 指指導導教教師簽師簽名：名： 日期：日期： 日期：日期： 注 意 事 項 1.設計（論文）的內容包括： 1）封面（按教務處制定的標準封面格式制作） 2）原創(chuàng)性聲明 3）中文摘要（300 字左右） 、關鍵詞 4）外文摘要、關鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入） 6）論文主體部分：引言（或緒論） 、正文、結論 7）參考文獻 8）致謝 9）附錄（對論文支持必要時） 2.論文字數(shù)要求：理工類設計（論文）正文字數(shù)不少于 1 萬字（不包括圖紙、程序清單等） ， 文科類論文正文字數(shù)不少于 1.2 萬字。 3.附件包括：任務書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復印件） 。 4.文字、圖表要求： 1）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯別字，不準 請他人代寫 2）工程設計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應符 合國家技術標準規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準用徒 手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表應繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應有程序清單，并提供電子文檔 5.裝訂順序 1）設計（論文） 2）附件：按照任務書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復印件）次序裝訂 3）其它 目 錄 1 引言5 2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法.5 2.1 特征方程法5 2.1.1 特征根是兩個實根的情形6 2.1.2 特征根有重根的情形.6 2.2 常數(shù)變易法.8 2.3 拉普拉斯變換法9 3 常微分方程的簡單應用10 3.1 特征方程法11 3.2 常數(shù)變易法.13 3.3 拉普拉斯變換法14 4 總結及意義15 參考文獻.16 二階常微分方程的解法及其應用 摘要摘要：本文主要介紹了二階常系數(shù)微分方程的三種解法：特征方程法、常數(shù) 變異法和拉普拉斯變換法，并著重討論了特征方程根為實根、復根及重根的情形。 針對這三種解法的特點，分別將其應用到求解彈簧振子系統(tǒng)的振子的運動方程。 關鍵詞：關鍵詞：二階常微分方程;特征根法；常數(shù)變異法；拉普拉斯變換 METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper mainly introduces three kinds of solution for two order differential equation with constant coefficients: the characteristic equation method, the method of variation of constant and Laplasse transform method, and discusses the characteristics of Fang Chenggen is the real root, complex roots and root. According to the characteristics of the three solution, were applied to the equations of motion of vibrator for spring oscillator system. Keywords:second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言引言 數(shù)學發(fā)展的歷史告訴我們，300年來數(shù)學分析是數(shù)學的首要分支，而微分方 程又是數(shù)學分析的心臟，它還是數(shù)學分析里大部分思想和理論的根源。人所共知， 常微分方程從它產生的那天起，就是研究自然界變化規(guī)律、研究人類社會結構、 生態(tài)結構和工程技術問題的強有力工具。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù) 保持著進一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。常微 分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、 彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。 二階常系數(shù)常微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和 物理學中都有十分廣泛的應用。關于它的解結構己有十分完美的結論，但其求解 方法卻各有不同，因此.二階常系數(shù)線性微分方程的求解方法成為常微分方程研 究的熱點問題之一。而本文正是在這一背景下對于二階常系數(shù)常微分方程的解法 和應用做出研究。 2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法 通常來說，縱觀二階常系數(shù)常微分方程的解法來看，其中比較有代表性的是 特征方程法、常數(shù)變易法、拉普拉斯變換法這三種解法，因為篇幅和個人能力有 限，本文則選取這三種具備代表性的解法進行分析。 2.1 特征方程法 所謂特征方程，實際上就是為研究相應的數(shù)學對象而引入的一些等式，它因 研究對象的不同而不同，包括數(shù)列特征方程，矩陣特征方程，微分方程特征方程， 積分方程特征方程等等。 求微分方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的通解. 解 特征方程 0 2 qp 的根 21, , (1)若這是兩個不等實根,則該方程有兩個實值解 12 , tt ee ,故通解為 12 12 tt xc ec e （ 21,c c 為任意常數(shù)）. (2)若這兩個根相等,則該方程有二重根,因此方程的通解具有形狀 11 12 tt xc ec te （ 21,c c 為任意常數(shù)）. (3)若這兩個根為共軛復根z abi ,則該方程的通解具有形狀 12 (sincos) at xecbtcbt （ 21,c c 為任意常數(shù)）. 數(shù)學的許多公式與定理都需要證明,下面本文給出上面前兩個解答的理論依據(jù). 2.1.1 特征根是兩個實根的情形 設 12 , 是上面特征方程的兩個不相等的實根,從而相應的方程有如下兩個解 12 , tt ee , 我們指出這兩個解在a tb 上線性無關,從而它們能夠組成方程的基本解組.事 實上,這時 12 12 12 () 12 12 11 ( ) tt t tt ee w te ee , 而最后一個行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式,它等于 21 () .由 于假設 21 ,故此行列式不等于零,從而 ( )0w t ,于是 12 , tt ee 線性無關,這就是 所要證明的.而此方程的通解可表示為 12 12 tt xc ec e （其中 12 ,c c 為任意數(shù)）. 如果特征方程有復根,則因方程的系數(shù)是實常數(shù),復根將成對共軛出現(xiàn).設 1 i 是一特征根,則 2 i 也是特征根,因而與這對共軛復根對應的,方 程有兩個復值解 () (cossin) itt eetit , () (cossin) itt eetit . 根據(jù)定理可知,復值解的實部和虛部也是方程的解.這樣一來,對應于特征方 程的一對共軛復根 i ,我們可求的方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的兩個實值解 cos,sin tt et et . 2.1.2 特征根有重根的情形 設特征方程有k重根 1, 則眾所周知 (1) 111 ()()()0, k FFF ( ) 1 ()0 k F , 先設 1 0 ,即特征方程有因子 k ,于是 11 0 nnn k aaa , 也就是特征方程的形狀為 1 1 0 nnk n k aa , 而對應的方程 1 11 1 0 nn nn nn d xdx L xaaa x dtdt 變?yōu)?1 1 1 0 nnk n k nnk d ydyd y aa dxdxdx . 易見它有k個解1, 21 , k t tt ,而且它們是線性無關的.這樣一來,特征方程的 k重零根就對應方程的k個線性無關的解1, 21 , k t tt .如果這個k重根 1 0 ,我 們作變量變換 1t xye ,注意到 11 ()()()(1)2(2) 111 (1) () 2! ttmmmmmm m m xyeeymyyy ， 可得 111 1 11 1 () nn ttt n nn d ydy L yebb y eLy e dtdt , 于是對應方程化為 1 11 1 0 nn n nn d ydy Lybb y dtdt , 其中 123 , n b b bb 仍為常數(shù),而相應的特征方程為 1 11 ( )0 nn nn Gbbb , 直接計算易得 1111 ()()() 11 ()( ) ttttt FeL eLeeGe , 因此 1 ()( )FG , 從而 1 ()( ) jj FG ， 1,2,jk , 這樣,問題就化為前面討論過的情形了. 2.2 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法是求解微分方程的一種很重要的方法,常應用于一階線性微分方 程的求解。在常數(shù)變易法中，通過將常數(shù) C 放入當中就可以得到非齊次線 XU 性方程的通解。它是拉格朗日十一年的研究成果，我們所用僅是他的結論，并無 過程。它是連接非齊次線性微分方程與相應的齊次線性微分方程的橋梁。 對于二階常系數(shù)非線性常微分方程的解法,只要先求出其一個特解,再運用特 征方程法求得方程的通解. 求常微分方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解. 解 方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 對應齊次方程為 2 2 0 d xdx pqx dtdt , 其特征方程為 0 2 qp . 由于方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的通解等于其對應的齊次線性微分方程的通解 與其自身的一個特解之和，而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解我們已經研究 過了,所以此處只需求出其一個特解. 若為上面方程的實根,則 t xe 是方程 2 2 0 d xdx pqx dtdt 的解.由常數(shù)變易 法設 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的一個解為 * ( ) t xc t e ,代入原方程并化簡得 “ ( )(2) ( )( ) t c tp c tef t , 這是關于 ( ) c t 的一階線性微分方程,其一個特解為 (2)() ( )( ) p tp t c teef tdt dt , 從而得上面方程的一個特解為 *(2)() ( ) tp tp t xeeef t dt dt . 若為上面方程的復根,我們可以設 , ,abi a bR 且 0b ，則 * sin at xebt 是方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的解，根據(jù)常數(shù)變易法可設其一個特解 為 * ( )sin at xc t ebt ，與情形 1 的解法類似得方程 2 2 ( ) d xdx pqxf t dtdt 的一個特解 為 (2 )(2 ) * 2 ( )sin sin. sin papa t at ef t ebtdt xebtdt bt 由于 * x 是特解,則積分常量可以都取零. 2.3 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換法是工程數(shù)學中常用的一種積分變換法，又名拉氏轉換法。拉 氏變換法是一個線性變換法，可將一個有因數(shù)實數(shù)的函數(shù)轉換為 )0(tt 一個因數(shù)為復數(shù) s 的函數(shù)。有些情形下一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中進行一些運算 并不容易，但若將實變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復數(shù)域中作各種運算，再將 運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數(shù)域中的相應結果，往往在計算上容易得多。 拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程 化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制 系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的 一個主要優(yōu)點，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來描述系統(tǒng)的特性。這就 為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個特性、分析控制系統(tǒng)的運動 過程，以及提供控制系統(tǒng)調整的可能性。常系數(shù)線性微分方程可以應用拉普拉斯 變換法進行求解，這往往比較簡單。 由積分 ( )( ) 0 st F sef t dt . 所定義的確定于復平面（Re ）上的復變數(shù)s的函數(shù) ( )F s ,稱為函數(shù) ( )f t 的拉普 拉斯變換,我們稱 ( )f t 為原函數(shù),而 ( )F s 稱為像函數(shù). 拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程轉換成復 平面s的代數(shù)方程.通過一些代數(shù)運算,一般地再利用拉普拉斯變換表,即可求出微 分方程的解.方法十分簡單方便,為工程技術工作者所普遍采用.當然,方法本身有 一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)。 求解方程 2 2 2, (1)(1)0 t d xdx xexx dtdt . 解 先使 1t ，將問題化為 2 (1) 2 2, (0)(0)0 t d xdx xexx dtdt , 再對新方程兩邊作拉普拉斯變換,得到 2 11 ( )2( )( ) 1 s X ssX sX s se , 因此 3 11 ( ) (1) X s se , 查拉普拉斯變換表可得 21 1 ( ) 2 xe , 從而 2 1 ( )(1) 2 t x tte , 這就是所要求的解. 當然,求解二階或者更高階的常微分方程的方法還有很多,這里我們不能一一 列出.然而我們利用上面的一些結論就可以解決下面的幾個物理問題了。 3 常微分方程的簡單應用常微分方程的簡單應用 為直觀的了解常微分方程的簡單應用，本文特選取動力學方程當中簡單應用 常微分方程。通常來說，對于物理問題進行求解主要應該分為以下三個步驟內容： 第一步是對問題進行分析從而做到對方程的建立并且對定解條件進行明確；第二 步是對解的性質進行討論或者求出方程以便滿足初始條件的特解；第三步是定性 分析對解，對原來問題反著進行解釋，其中最為關鍵的因素就是要將方程列出， 而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬時變化法。而在對阻尼振動進行研究 的過程當中，對運動方程所進行的求解這一問題顯得比較復雜，以下就分別使用 特征值法、常數(shù)變異法以及拉普拉斯變換法來求動力學方程。 3.1 特征方程法 例如在彈簧振子系統(tǒng)當中，測試出物體的阻尼系數(shù) 1 10.0s ，物體質量 1.0mkg ,該彈簧所具備的勁度系數(shù) 1 75kN m ,在此背景下，假設整個質點 從靜止狀態(tài)開始逐步運動，求解彈簧振子的位移方程。 解：按照牛頓的第二運動定律的結果可以得到 kxcvma , （1） 或 2 2 0 d xdx mckx dtdt , （2） 相對來說振動系統(tǒng)這是之前給定的，其中的常量為 , ,m k c，如果可以確定 2 0, 2k mc m ,那么以上的方程式可以轉變?yōu)椋?2 2 0 2 20 dd dtdt , （3） 那么把所得到的數(shù)據(jù)代入公式（3）就可以得到 2 2 20750 d xdx x dtdt . （4） 通過對以上公式的細致觀察和研究則可以得到對其進行求解能夠使用特征值 法，那么在這里的特征方程可以表述為： 2 20750 ,并且在這一特征方程 當中包含有兩個分別根 12 15,5 ,這樣相對應的則(4)的兩個根分別為 515 12 , tt ee （5） 那么按照公式（5）進行計算可以得到固有角頻率數(shù)值為 0 5 2k m ， 在這時候阻尼系數(shù)值為 10 ,也就是說 22 0 ,則方程(5)的解可以表述為 515tt AeBe （初始條件覺得 ,A B數(shù)值）. （6） 在公式（6）當中，所保持的屬于一個非振動狀態(tài)，在如此背景之下，所存 在的質點也只是在原先的不平衡位置逐步恢復到平衡狀態(tài)當中，質點并不具備周 期振動的特征。而我們的關注點是在基于 0 此種情況下,質點呈現(xiàn)出逐漸衰減 的振動?？墒钦怯捎谑艿阶枘嶙饔玫挠绊懀荒軌蜷L久的維持這種自由振動系 統(tǒng)的振動，通常都會經歷著從振動的逐漸衰減延續(xù)至振動停止，為了保持震蕩持 續(xù)不停的狀態(tài)，就必須不斷的從外界當中獲得必要的能量，學術界將這種因為受 到外部持續(xù)作用而產生的振動歸納成為強迫振動。 又例如案例：假如在以上的振動系統(tǒng)當中受到某個外力 100cos(30 )Ft N 的 作用，在公式當中 100 A F 表示為驅動力所具備的幅度值， 30 則表示為驅動 力所擁有的圓頻率， f 也就是驅動力所保持的頻率。 解：在質點振動系統(tǒng)當中受到驅動力的作用，那么就可以得到關于系統(tǒng)振動 的方程為： 2 2 d xdx mckxF dtdt , (7) 或者還可以將上述公式改成 2 2 0 2 2cos(30 ) d xdx xHt dtdt . (8) 在以上的公式當中 A F H m 表示為在單位質量上面所受到的外力幅值。 （7）與 （8）這兩個方程式都屬于質點強迫振動方程。從本質上來看，這種強迫振動方 程屬于二階的非齊次常微分方程，這個方程所得到的一般解也就是這個方程所得 到的某一個特解和相對應的齊次方程一般解兩者之和。由于在之前的篇幅當中已 經得到相對應的自由振動方程的一般解，這就導致其在的關鍵問題就是對于 （8）當中的一個特解進行尋找，把所得到的數(shù)據(jù)代入到（8）當中就可以得到： 2 2 2075100cos(30 ) d xdx xt dtdt , （9） 在這里可以通過假設（9）有著 1 sin30cos30 xAtBt 這樣的特解，將這個特別往 （9）當中進行替代并且將其進行簡化之后得到 (3324 )sin30(2433 )cos304cos30ABtABtt , 按照比較同類項系數(shù)可以得到 3244 , 555555 AB ,這樣就可以進一步得到 1 3244 sin30cos30 555555 xtt ,根據(jù)以上所得到的結果沒那么原方程所存的通解就可 以表述為 515 3244 ( )sin30cos30 555555 tt x tAeBett . 在以上的公式當中，初始條件決定 ,A B的數(shù)值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩 項，瞬態(tài)項能夠對于整個系統(tǒng)的自由衰減振動進行有效描述，而所能夠起作用的 只是在震動的開始階段，而當經歷比較長的時間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會 逐漸的減弱并且在最后階段消失。穩(wěn)態(tài)解則是之后的兩項，穩(wěn)態(tài)解則是對于系統(tǒng) 受到驅動力的作用之下進行強制振動的狀態(tài)進行描述，這主要是由于立足于恒定 的幅值條件下，從而將這種狀態(tài)稱之為穩(wěn)定振動。從以上的公式可以得到，如果 質點振動系統(tǒng)受到外力作用之后，整個系統(tǒng)有著比較復雜的振動狀態(tài)，這屬于穩(wěn) 態(tài)振動和自由衰減振動兩者的有機合成體，在這樣的振動狀態(tài)之下對于強迫振動 當中逐步建立穩(wěn)態(tài)振動的過程進行有效描述。如果經歷一定時間之后，就會消失 瞬態(tài)振動，使得整個系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。 3.2 常數(shù)變易法 從之前的分析當中可以了解到 5t xe 這屬于特征方程 2 20750 的實根， 那么就可以得到 5t xe 這個屬于方程（9）當中的一個根，然后通過常數(shù)變異法 設置 *5 ( ) t xc t e ，那么在這一過程當中也可以得到方程的一個解為 * x ，把數(shù)值代 入到（9）當中并且進行簡化之后可以得到 “5 ( ) 10 ( )100cos30 t c tc tet . 以上屬于 ( ) c t 的一階線性微分方程,并且在方程當中一個特解為 55 1 84 ( )sin30cos30 33 tt c tetetc , 從而得出（9）的一個特解為（取 12 0cc ） *555 12 84 ( )( (sin30cos30 ) 33 ttt x teetet dtc 3244 sin30cos30 555555 tt , 從而可得（9）的通解 515 3244 ( )sin30cos30 555555 tt x tAeBett . 由之前可知 2 2 d xdx mckxF dtdt . （10） 將數(shù)據(jù)代入公式中可以得到 2 2 20400cos(2 ) d xdx xt dtdt . （11） 按照自己所做的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進行求解的過程當中使用常數(shù)變異法，首要就 是必須得出公式（11） ，而在之前的研究當中可以得到公式（11）齊次線性微分 方程的特征方程為 2 204000 。這樣就可以進一步的假設特征方程的根為 10 10 3i ，那么 10 ( )sin(10 3 ) t x tet 這就是公式（11）的一個解。由常數(shù) 變易法可設為 *10 ( )( )sin(10 3 ) t x tc t et . 與情形 1 中的解法類似，將 *( ) x t 代入（12）并化簡得 * 1099 ( )sin(2 )cos(2 ) 3960439604 x ttt . 由于 * x 是特解,則積分常量可以都取零。 3.3 拉普拉斯變換法 依然使用之前的例子，由牛頓第二運動定律可以得到以下的公式 2 2 d xdx mckxF dtdt , 將這一公式代入數(shù)據(jù)之后可以得到 2 2 20400cos(2 ) d xdx xt dtdt , (12) 由于質點通過開設的靜止狀態(tài)逐步運動，那么就可以得到以下的公式 0 0,0 t dx x dt , 對方程(12)進行拉普拉斯變換,得到 2 2 ( )20( )400( ) 4 s s X ssX sX s s , 即 22 1 ( ) 420400 s X s sss , 把上式右端分解為部分分式 22 10299 ( ) 396044396044 s X s ss 2222 101 310 39910 11881239604(10)(10 3)(10)(10 3) s ss , 由拉普拉斯變換表可得 1099 ( )sin(2 )cos(2 ) 3960439604 x ttt 1010 101 399 sin(10 3 )cos(10 3 ) 11881239604 tt etet 。 4 總結及意義總結及意義 總而言之，現(xiàn)在常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，自動控制、 各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反 應過程穩(wěn)定性的研究等。現(xiàn)今對于二階常微分方程解法的研究已經取得了不少成 就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題方面卓有成效。而冪級數(shù)解法作 為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算 量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。另外，對于 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類 型是可以求解的。應該說，應用常微分方程理論已經取得了很大的成就，但是， 它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理 論更加完善。 參考文獻參考文獻 1 (瑞典)L.戈丁(Lars.Garding)著,胡作玄譯.數(shù)學概觀M.科學出版社, 2001：121-147 2 趙慈庚,朱鼎勛主編.大學數(shù)學自學指南M.中國青年出版社,1984:74- 91 3 王高雄等編.常微分方程M.高等教育出版社,1978:39-53 4 李瑞遐,何志慶編著.微分方程數(shù)值方法M.華東理工大學出版社, 2005：41-58 5 余德浩,湯華中編著.微分方程數(shù)值解法M.科學出版社,2003：14-21 6 胡燧林.一階方程初值問題解的存在與唯一性定理的幾點注記J.韶關 學院學報.1988(02)：38-47 7 弭魯芳,紀在秀.論一類常微分方程解的最大存在區(qū)間J.聊城大學學報 (自然科學版).2006(04):24-26+28 8 趙慧娟,陳偉麗,趙晨霞,袁書娟.關于常微分方程初值問題數(shù)值解法的分 析J.中國科教創(chuàng)新導刊.2011(08):83 9 李孝誠,劉兆麗.常微分方程解題模式的構建J.高等數(shù)學研究.2009(04)： 96-99 10 韋程東,高揚,陳志強.在常微分方程教學中融入數(shù)學建模思想的探索與 實踐J.數(shù)學的實踐與認識 2008(20)：228-233 11 舒小保.一類二階常微分方程邊值問題的無窮多個解J.系統(tǒng)科學與數(shù) 學.2008(01)：91-98