微積分二課后題答案,復(fù)旦大學(xué)出版社.doc

第八章習(xí)題8-1求下列函數(shù)的定義域，并畫出其示意圖：(1)； (2)；(3)z=arcsin； (4)z=arccos（x+y）解：（1）要使函數(shù)有意義，必須即， 則函數(shù)的定義域?yàn)?，如圖8-1陰影所示. 圖8-1 圖8-1 （2）要使函數(shù)有意義，必須即，則函數(shù)的定義域?yàn)榍?如圖8-2所示為直線的下方且除去的點(diǎn)的陰影部分（不包含直線上的點(diǎn)）. （3）要使函數(shù)有意義，必須,即， 即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榍遥鐖D8-3陰影所示. 圖8-3 圖8-4 （4）要使函數(shù)有意義，必須 即 ,所以函數(shù)的定義域?yàn)?如圖8-4陰影所示.設(shè)函數(shù)f(x,y)=x3-2xy+3y2，求(1) f(-2,3); (2) f ； (3)f(x+y,x-y).解：（1）; （2）; （3） .設(shè)F(x,y)=f（），若當(dāng)y=1時(shí)，F(xiàn)(x,1)=x，求f(x)及F(x,y)的表達(dá)式解：由得即 令則代入上式有 所以 于是指出下列集合A的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn)：(1)；(2)；(3)A（x,y）xy； (4)解：（1）內(nèi)點(diǎn) 邊界點(diǎn) 聚點(diǎn)A （2）內(nèi)點(diǎn) 邊界點(diǎn)A 聚點(diǎn)A （3）內(nèi)點(diǎn)A 邊界點(diǎn)（0，0） 聚點(diǎn)A（4）內(nèi)點(diǎn) 邊界點(diǎn)0,2 聚點(diǎn)0,2習(xí)題8-2討論下列函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處的極限是否存在：(1) z=； (2)z=解：(1)當(dāng)沿曲線趨于（0，0）時(shí)，有這個(gè)值隨的不同而不同，所以函數(shù)在處的極限不存在. (2)當(dāng)沿直線趨于時(shí)，有，這個(gè)極限值隨的不同而不同，所以函數(shù)在處的極限不存在.求下列極限：(1) ； (2)；(3)； (4)解：（1） （2） （3） （4）當(dāng)時(shí)，是無窮小量，而是有界函數(shù)，所以它們的積為無窮小量,即.求函數(shù)z=的間斷點(diǎn)解:由于時(shí)函數(shù)無定義，故在拋物線處函數(shù)間斷，函數(shù)的間斷點(diǎn)是.習(xí)題8-3求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) z=(+x)y; (2) z=lntan；(3) z=arctan； (4) u=解：（1） ; （2） （3） （4） 已知f(x,y)=e-sinx(x+2y)，求(0，1)，(0，1)解： 所以 設(shè)z=x+y+(y-1)arcsin，求解： 又 所以.驗(yàn)證z=滿足解： 所以 設(shè)函數(shù)z=,試判斷它在點(diǎn)(0，0)處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在?解： 所以函數(shù)在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在且.求曲線在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與x軸正向所成的傾角解：因?yàn)?，故曲線在點(diǎn)（2，4，5）的切線斜率是,所以切線與軸正向所成的傾角.求函數(shù)z=xy在(2,3)處，當(dāng)x0.1與y=0.2時(shí)的全增量z與全微分dz解： 而當(dāng)時(shí)， .求下列函數(shù)的全微分：(1) 設(shè)u=，求du(1,1,1)(2) 設(shè)z=，求dz解：（1） ; ,于是 （2） 習(xí)題8-4求下列各函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：(1) z=e2x+3y, x=cost, y=t2; (2)z=tan(3t+2x2+y3), x=，y=解：（1） （2） .求下列各函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) z=x2y-xy2, x=ucosv, y=usinv;(2)z=euv, u=ln, v=arctan解：（1） （2） 求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中f可微：(1) u=f ()； (2)z=f(x2+y2)； (3)u=f(x, xy, xyz)解：（1） （2）令則 （3）令,則. 設(shè)z=xy+x2(u),u=，（u）可導(dǎo)證明：證： 利用全微分形式不變性求全微分：(1) z=(x2+y2)sin(2x+y)； (2) u=，f可微解：（1）令，則 （2） 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) 設(shè)ex+y+xyz=ex，求,； (2)設(shè)=ln，求解：（1）設(shè)，則 故（2）設(shè),則 故 設(shè)x+z=yf(x2-z2)，其中f可微，證明：證：設(shè)則 故 從而 設(shè)x=eucosv, y=eusinv, z=uv,求及解法一：由得 故 解法二：設(shè)方程組確定了函數(shù),對方程組的兩個(gè)方程關(guān)于求偏導(dǎo)得解方程組得又方程組的兩個(gè)方程關(guān)于求偏導(dǎo)得解方程組得：從而 設(shè)u=f(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)和z=z(x)分別由方程和ez-xz=0確定，求解：方程兩邊對求導(dǎo)得，解得方程兩邊對求導(dǎo)得解得從而 習(xí)題8-5求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1) z=x4+y4-4x2y2； (2) z=arctan；(3)z=yx； (4)z=xln(xy)解：（1） （2） （3） （4） 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，其中f(u,v)可微：(1) z=f(x2+y2)； (2)z=f(xy,x+2y)解：（1） （2） 求由ez-xyz=0所確定的z=f(x,y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)解：設(shè)，則于是從而 習(xí)題8-6 求z=x+y在點(diǎn)(1，2)處沿從點(diǎn)(1，2)到點(diǎn)(2，2+)的方向的方向?qū)?shù)解：設(shè)，則射線的方向就是向量的方向，將單位化得：于是,又于是所以 設(shè)u=xyz+x+y+z,求u在點(diǎn)(1，1，1)處沿該點(diǎn)到點(diǎn)(2，2，2)的方向的方向?qū)?shù)解：設(shè),則射線l的方向就是向量=(1,1,1)的方向，將單位化得，于是又，于是,所以.求函數(shù)z=x-xy+y在點(diǎn)（，）處沿與Ox軸的正方向所成角為的方向l上的方向?qū)?shù)問在什么情況下，此方向?qū)?shù)取得最大值?最小值?等于零?解：, 當(dāng)=1，時(shí)，即時(shí)，此方向?qū)?shù)有最大值當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此方向?qū)?shù)有最小值當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，此方向?qū)?shù)為0.習(xí)題8-7求下列函數(shù)的極值：(1) z=x-4x2+2xy-y2+3； (2) z=e2x(x+2y+y2)；(3) z=xy(a-x-y)，a0解：（1）由方程組：得駐點(diǎn)（0，0），（2，2）又在點(diǎn)（0，0）處，,又，所以函數(shù)取得極大值在點(diǎn)（2，2）處，該點(diǎn)不是極值點(diǎn).（2）由方程組得駐點(diǎn).又，在點(diǎn)處且,所以函數(shù)取得極小值（3）由方程組得四個(gè)駐點(diǎn)（0，0），又.在點(diǎn)（0，0）處，該點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)處，,該點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)處，,該點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)處,，所以函數(shù)在該點(diǎn)有極值，且極值為,由于故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值,當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.求函數(shù)z=x3-4x2+2xy-y2在閉區(qū)域D：-1x4,-1y1上的最大值和最小值分析由在上連續(xù)，所以必有最大最小值，又由于在D內(nèi)可導(dǎo)，所以的最值在D的內(nèi)部駐點(diǎn)或在D的邊界上，由在D內(nèi)部駐點(diǎn)上值與邊界上函數(shù)比較可求出的最大和最小值.解：由方程得駐點(diǎn)（0，0），（2，2）（2，2）應(yīng)該舍去，（可由充分條件判別知是極大值）.D的邊界可分為四部分：在上，因?yàn)樗詥握{(diào)遞減，因而最大，最小.在上，令得.而, 分別是在上的最小值與最大值.類似討論可得：在上，分別是的最大值與最小值;在上=-8分別是的最大值與最小值. 比較在內(nèi)部駐點(diǎn)（0，0）與整個(gè)邊界上函數(shù)值的情況得到是函數(shù)在D上的最大值，.求函數(shù)z=x+y在條件 (x,y)下的條件極值解：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得,故得駐點(diǎn)(2,2)。又, 由知，所以函數(shù)在(2,2)處有極小值.*求曲線y=上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a,0)的最小距離解：設(shè)為曲線上的任一點(diǎn)，到定點(diǎn)的距離為，則此問題可轉(zhuǎn)化為求在條件下的最小值.先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得 由題意故.于是當(dāng)時(shí)，最短距離為.又時(shí)，最短距離.把正數(shù)a分解成三個(gè)正數(shù)之和，使它們的乘積最大解：設(shè)三個(gè)正數(shù)為,則要求函數(shù)在條件下的極值.先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得,.又 由得 所以當(dāng)時(shí)，乘積有最大值.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量f(x,y)與所用甲、乙兩種原料的數(shù)量x,y之間有關(guān)系式f(x,y)0.005x2y，已知甲，乙兩種原料的單價(jià)分別為1元，2元，現(xiàn)用150元購料，問購進(jìn)兩種原料各多少，使產(chǎn)量f(x,y)最大?最大產(chǎn)量是多少?解：依題意知要求函數(shù)=0.005在條件下的極值，為此，先構(gòu)造拉格朗日函數(shù).,解方程組 得 或 （依題意，舍去）得駐點(diǎn)（100，25），由問題實(shí)際意義知，函數(shù)的最值一定存在，故當(dāng)時(shí)，產(chǎn)量最大，最大產(chǎn)量為.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單位價(jià)分別為10萬元和9萬元，若生產(chǎn)x件甲產(chǎn)品和y件乙產(chǎn)品的總成本為：=400+2x+3y+0.01 (3x2+xy+3y2)（萬元）又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤時(shí)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量解：依題意銷售x件甲產(chǎn)品和y件乙產(chǎn)量的總收入總利潤 又知，故要求函數(shù)在約束條件的極值，為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù):解方程組得唯一駐點(diǎn)，由問題的實(shí)際意義知，最值一定存在，故當(dāng)時(shí)，即生產(chǎn)甲產(chǎn)品70件，乙產(chǎn)品30件時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤為萬元.習(xí)題8-81 將二重積分化為二次積分(兩種次序都要)，其中積分區(qū)域D是：(1) x1,y2;(2) 由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成；(3) 由x軸及半圓周x2+y2=r2(y0)所圍成解：（1） 圖8-5 （2）解方程得兩交點(diǎn) (0,0),(4,4). 故 圖8-6 （3）由得故 圖8-7 2 交換下列兩次積分的次序：(1); (2);(3)解：（1）由積分限，作出積分區(qū)域D，如圖8-8所示，區(qū)域D也可以表示為 圖8-8 圖8-9于交換積分次序得（2）由積分限，作出積分區(qū)域D如圖8-9所示區(qū)域D也可表示為：, 于是交換積分次序得 （3）由已給積分限，作出積分區(qū)域,由,作出區(qū)域,與組成積分區(qū)域D，如圖8-10所示，D也可表示為于是交換積分次序得：. 圖8-103 計(jì)算下列二重積分：(1) ， D: x1,y1;(2) ,D由直線y=1,x=2及y=x圍成；(3) ,D由y=x和y=x圍成；(4) ，D : x+y1;(5) ，D由與y=x圍成；(6) ，D是圓域x2y2R2；(7) ，D是由圓x2y2=4,x2y2=1，直線y=0和y=x所圍成的第一象限的區(qū)域；(8) ， D：x2y21, x+y1解：（1）D可表示為： 故 （2）作出積分區(qū)域D如圖8-11所示，D可表示為 圖8-11 圖8-12 故 （3）作出積分區(qū)域D如圖8-12所示，可求得直線與的交點(diǎn)為（-1,-1），（0，0）（1，1），積分區(qū)域D可劃分為和，其中： ：. 于是： （4）作出積分區(qū)域D如圖8-13所示，D關(guān)于軸對稱，對均為偶函數(shù)，故 圖8-13 圖8-14其中或?qū)懗?再用積分區(qū)域和被積函數(shù)具有關(guān)于變量的輪換對稱性，得 所以 （5）作出積分區(qū)域D如圖8-14所示，由積分出，故應(yīng)先對積分再對積分.積分區(qū)域D可表示為于是有 （6）積分區(qū)域D：用極坐標(biāo)表示是所以 （7）作積分區(qū)域D如圖8-15所示，D用極坐標(biāo)表示為：由知于是 圖8-15 圖8-16 （8）作出積分區(qū)域D如圖8-16所示，D用極坐標(biāo)可表示為于是 4 已知廣義二重積分收斂，求其值其中D是由曲線y=4x2與y=9x2在第一象限所圍成的區(qū)域解：作出積分區(qū)域D如圖8-17所示，設(shè)是由曲線及直線圍成的區(qū)域，則圖8-17顯然，當(dāng)時(shí)，有，因此有5 計(jì)算解：設(shè) 則有 而 ,利用極坐標(biāo)變換，可計(jì)算出：從而得 令得 又令與前面類似地討論可得令得所以 6 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所圍空間立體的體積解：曲面與曲面的交線是面上的圓，設(shè)它圍成的區(qū)域?yàn)镈，則D可用極坐標(biāo)表示為，由二重積分的幾何意義知所求立體的體積7 已知曲線y=lnx及過此曲線上點(diǎn)(e，1）的切線(1) 求由曲線y=lnx，直線和y=0所圍成的平面圖形D的面積；(2) 求以平面圖形D為底，以曲面z=ey為頂?shù)那斨w的體積解：平面圖形D可表示為 圖8-18(1) (2).第9章習(xí)題9-11 判定下列級數(shù)的收斂性：(1) （a0）； (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) 解：（1）該級數(shù)為等比級數(shù)，公比為,且,故當(dāng),即時(shí)，級數(shù)收斂，當(dāng)即時(shí)，級數(shù)發(fā)散. （2） 發(fā)散.（3）是調(diào)和級數(shù)去掉前3項(xiàng)得到的級數(shù)，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散.（4）而,是公比分別為的收斂的等比級數(shù)，所以由數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)知收斂，即原級數(shù)收斂.（5）于是 故,所以級數(shù)發(fā)散. （6） 不存在，從而級數(shù)發(fā)散.（7） 級數(shù)發(fā)散.（8） ，故級數(shù)發(fā)散.2 判別下列級數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）都收斂，且其和分別為1和，則收斂，且其和為1+=.（2） 故級數(shù)收斂，且其和為.（3）,而，故級數(shù)發(fā)散.（4）,而,故不存在，所以級數(shù)發(fā)散.3 設(shè) (Un0)加括號后收斂，證明亦收斂證：設(shè)加括號后級數(shù)收斂，其和為S.考慮原級數(shù)的部分和，并注意到，故存在,使又顯然對一切成立，于是，是單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列，因此，極限存在，即原級數(shù)亦收斂. 習(xí)題9-21 判定下列正項(xiàng)級數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ；(5) (a0); (6) (a, b0);(7) (a0); (8) ；(9) ； (10) ;(11) ; (12) ；(13) ； (14) ;(15) ; (16) 解：（1）因?yàn)槎諗?，由比較判別法知級數(shù)收斂. （2）因?yàn)?，故原級?shù)發(fā)散. （3）因?yàn)?，而發(fā)散，由比較判別法知，級數(shù)發(fā)散.（4）因?yàn)?而是收斂的級數(shù),由比較判別法知,級數(shù)收斂.（5）因?yàn)?而當(dāng)時(shí)，收斂，故收斂; 當(dāng)時(shí)，= 發(fā)散，故發(fā)散; 當(dāng)時(shí)，故發(fā)散;綜上所述，當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，收斂. （6）因?yàn)槎?dāng)時(shí), 收斂，故收斂; 當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故而由, ,故也發(fā)散; 當(dāng)時(shí)，故發(fā)散;綜上所述知，當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散;當(dāng)b1時(shí)，級數(shù)收斂. （7）因?yàn)?而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散. （8）因?yàn)槎諗?，故級?shù)收斂.（9）因?yàn)橛蛇_(dá)朗貝爾比值判別法知，級數(shù)發(fā)散.（10）因?yàn)?，由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級數(shù)發(fā)散. （11）因?yàn)?,由達(dá)朗貝爾比值判別法知原級數(shù)收斂.（12）因?yàn)?，由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級數(shù)收斂.（13）因?yàn)橛?知由達(dá)朗貝爾比值判別法知，級數(shù)收斂.（14）因?yàn)?，由柯西根值判別法知級數(shù)收斂.（15）因?yàn)槎鞘諗康牡缺燃墧?shù)，它的每項(xiàng)乘以常數(shù)后新得級數(shù)仍收斂，由比較判別法的極限形式知，級數(shù)收斂. （16）因?yàn)槎c（12）題類似地可證級數(shù)收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂.2 試在(0，+)內(nèi)討論x在什么區(qū)間取值時(shí)，下列級數(shù)收斂：(1) ; (2) 解：（1）因?yàn)橛蛇_(dá)朗貝爾比值判別法知，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，原級數(shù)收斂;而當(dāng)時(shí)，原級數(shù)變?yōu)檎{(diào)，它是發(fā)散的.綜上所述，當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂. （2）因?yàn)?由達(dá)朗貝爾比值判別法知，當(dāng)即時(shí)，原級數(shù)發(fā)散;當(dāng)即時(shí)，原級收斂.而當(dāng)即時(shí)，原級數(shù)變?yōu)椋芍l(fā)散，綜上所述，當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂.習(xí)題9-31 判定下列級數(shù)是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ;(3) ; () ;(5) ； (6) ;(7) ; (8) (0 x)解：（1）這是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù), , 由萊布尼茨判別法知.又，由,及發(fā)散，知級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)條件收斂.（2）因?yàn)?故 而收斂，故亦收斂，由比較判別法知收斂，所以級數(shù)絕對收斂.（3）因?yàn)槎墧?shù)收斂，由比較判別法知收斂，因此，級數(shù)絕對收斂.（4）因?yàn)槎諗?，由比較判別法的極限形式知，級數(shù)收斂，從而級數(shù)絕對收斂. （5）因?yàn)?而級數(shù)收斂的等比級數(shù);由比值判別法，易知級數(shù)收斂，因而收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂. （6）當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)，級數(shù)顯然無意義；當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時(shí)，此交錯(cuò)級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，故它是收斂的，但因發(fā)散，故原級數(shù)當(dāng)x不為負(fù)整數(shù)時(shí)僅為條件收斂. （7）因?yàn)橛杀戎蹬袆e法知收斂()，從而由比較判別法知收斂，所以級數(shù)，絕對收斂. （8）因?yàn)閱握{(diào)下降趨于零，且部分和有界，故由迪里黑里判別法知級數(shù)收斂.又,由于發(fā)散，因單調(diào)趨于零，且有界，故由迪里黑里判別法知收斂,從而發(fā)散,由比較判別法知,發(fā)散，所以，原級數(shù) 條件收斂.注：迪里黑里判別法，若級數(shù)滿足條件：（1）部分和是有界的;（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)地趨于零;則級數(shù)收斂.2 討論級數(shù)的收斂性(p0)解：當(dāng)時(shí)，由于收斂，故級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時(shí)，由于 ,由萊布尼茨判別法知交錯(cuò)級數(shù)收斂，然而，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故此時(shí)，級數(shù)條件收斂. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)條件收斂;當(dāng)p1時(shí)，原級數(shù)絕對收斂.3 設(shè)級數(shù)及都收斂，證明級數(shù)及也都收斂證：因?yàn)?而由已知及都收斂，故收斂，從而收斂，由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知也收斂，從而級數(shù)絕對收斂.又由及,以及收斂，利用數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)知，收劍，亦即收斂.習(xí)題9-41 指出下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：(1) (0!=1)； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因?yàn)椋允諗堪霃?，冪級?shù)的收斂區(qū)間為.（2）因?yàn)椋允諗堪霃?當(dāng)x=e時(shí)，級數(shù)，此時(shí)，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，且1,從而，于是級數(shù)當(dāng)x=e時(shí)，原級數(shù)發(fā)散. 類似地，可證當(dāng)x=-e時(shí)，原級數(shù)也發(fā)散(可證),綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為(-e,e).（3）因?yàn)?所以收斂半徑為r=2.當(dāng)時(shí)，級數(shù)是收斂的p一級數(shù)（p=21）;當(dāng)x=-2時(shí)，級數(shù)是交錯(cuò)級數(shù)，它滿足萊布尼茨判別法的條件，故它收斂.綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為-2,2.（4）此級數(shù)缺少偶次冪的項(xiàng)，不能直接運(yùn)用定理2求收斂半徑，改用達(dá)朗貝爾比值判別法求收斂區(qū)間.令，則.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原級數(shù)絕對收斂.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，級數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級數(shù)變?yōu)?當(dāng)時(shí)，級數(shù)變?yōu)?它們都是交錯(cuò)級數(shù)，且滿足萊布尼茨判別法的條件，故它們都收斂.綜上所述，級數(shù)的收斂區(qū)間為-1,1.（5）此級數(shù)為（x+2）的冪級數(shù).因?yàn)?所以收斂半徑，即時(shí)，也即時(shí)級數(shù)絕對收斂.當(dāng)即或時(shí)，原級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí)，級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e(cuò)級數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，級數(shù)變?yōu)檎{(diào)和級數(shù),它是發(fā)散的.綜上所述，原級數(shù)的收斂區(qū)間為-4,0).（6）此級數(shù)（x-1）的冪級數(shù)故收斂半徑.于是當(dāng)即時(shí)，原級數(shù)絕對收斂. 當(dāng)即或時(shí)，原級數(shù)發(fā)散. 當(dāng)時(shí)，原級數(shù)變?yōu)槭钦{(diào)和級數(shù)，發(fā)散. 當(dāng)時(shí)，原級數(shù)變?yōu)?，是收斂的交錯(cuò)級數(shù).綜上所述，原級數(shù)的收斂區(qū)間為.2 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）可求得所給冪級數(shù)的收斂半徑r=1.設(shè),則 又當(dāng)x=1時(shí)，原級數(shù)收斂，且在x=1處連續(xù). （2）所給級數(shù)的收斂半經(jīng)r=1，設(shè),當(dāng)時(shí)，有 于是又當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散.故 （3）可求所給級數(shù)的收斂半徑為1. 令 令,則 所以;所以且.當(dāng)時(shí)，級數(shù)為和,它們都收斂.且顯然有.故.（4）可求得所給級數(shù)的收斂半徑為r=1且時(shí)，級數(shù)發(fā)散，設(shè),則于是,即.所以 3 求下列級數(shù)的和：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解：（1）考察冪級數(shù)，可求得其收斂半徑 ，且當(dāng)時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)，因而，故當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）.設(shè)，則令,則.再令,則.故，從而有.于是 取，則.（2）考察冪級數(shù)，可求得收斂半徑r=1，設(shè)令,則.即 .于是 ，從而取則 （3）考察冪級數(shù)，可求得其級數(shù)半經(jīng)為r=1,因?yàn)?令，則.所以,于是 取，得. （4）考察冪級數(shù)，可求得其收斂半徑r=1. 設(shè) 則.又設(shè)則.從而,取，則習(xí)題9-51 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ; (4) ； (5)解：（1） （2） （3） （4） （5） 2 將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開成冪級數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) 在x0； (2) cosx在x0=;(3) 在x0=1; (4) 在x0解：（1）因?yàn)?而即).所以.收斂區(qū)間為：（-1，3）. （2） 收斂區(qū)間為. （3）由且得，故收斂區(qū)間為（-1，3）（4）因?yàn)?而 由得.故收斂區(qū)間為（0，6）.3 求下列各數(shù)的近似值，精確到10-4：(1) e； (2) I解：（1）令得取前項(xiàng)作為e的近似值，有.其誤差為 要求誤差不超過10-4,而, .故取，即取級數(shù)的前8項(xiàng)作近似值計(jì)算.（2）由公式 有因?yàn)?由交錯(cuò)級數(shù)的理論知，取前兩項(xiàng)作為近似值，可保證誤差所以.第十章習(xí)題10-11 指出下列各微分方程的階數(shù)：(1) x(y)2-2yy+x=0; (2) (y)3+5(y)4-y5+x6=0;(3) +2y+x2y=0; (4) (x2-y2)dx+(x2+y2)dy=0 解: (1) 因?yàn)榉匠讨形粗瘮?shù)y的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為1,故該方程為一階微分方程.(2) 二階.(3) 三階.(4) 一階.2 驗(yàn)證下列給定函數(shù)是其對應(yīng)微分方程的解：(1) y=(x+C)e-x, y+y=e-x;(2) xy=C1ex+C2e-x, xy+2y-xy=0;(3) x=cos2t+C1cos3t+C2sin3t， x+9x=5cos2t;(4) =1， xyy+x(y)2-yy=0 解: (1) 是微分方程的解.(2) 在方程兩邊對x求導(dǎo)有上方程兩邊對x求導(dǎo)有,即 即 所以所確定的函數(shù)是方程的解.(3) 所以 是微分方程的解. (4) 方程兩邊對x求導(dǎo)得 (1)式兩邊對x求導(dǎo)得 (2)式兩邊同乘以x得 (3)-(2)得 所以 是方程的解. 3 已知曲線的切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求這曲線所滿足的微分方程 解: 設(shè)是曲線上任一點(diǎn),則過該點(diǎn)的切線方程為,由已知時(shí),得 即 為所滿足得微分方程.4 求通解為y=Cex+x的微分方程，這里C為任意常數(shù) 解: 由得,而由已知得 故通解為的微分方程為.習(xí)題10-21求下列微分方程的通解或在給定的初始條件下的特解：(1) y； (2) xydx+dy=0;(3) (xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0;(4) sinxcos2ydx+cos2xdy=0;(5)；(6) yy+xey=0,y(1)=0;(7) y=e2x-y， 解: (1) 原方程分離變量得 ,兩邊積分得 即 ,即, ,記,有 , 而當(dāng) 即 時(shí),顯然是方程的解,上式取時(shí)包含了,故方程的解為 (c為任意常數(shù))(2) 分離變量得: ,兩邊積分得, ,可知 ,即 又 顯然是方程的解. 方程的通解為 (c為任意常數(shù)).(3) 分離變量得 , 兩邊積分得 ,即 從而 ,記 有 .(4) 分離變量得,兩邊積分得, 即 .(5) 原方程可化為:,兩邊積分得 由 得 , 所以原方程滿足初始條件的特解為 即 .(6) 分離變量得 , 兩邊積分得 由 得 , 故原方程滿足初始條件的特解為 . (7) 分離變量得 ,兩邊積分得 , 由 得 ,所以,原方程滿足初始條件的特解為 . 2 物體冷卻速度與該物質(zhì)和周圍介質(zhì)的溫差成正比，具有溫度為T0的物體放在保持常溫為a的室內(nèi)，求溫度T與時(shí)間t的關(guān)系. 解: 設(shè)t時(shí)刻物體的溫度為T,由題意有 (k為比例系數(shù))分離變量得 ,兩邊積分得, ,得, 由題意有時(shí),代入上式得, . (k為比例系數(shù)).3 求下列微分方程的通解或在給定條件下的特解：(1) xy-y-0；(2) y=+sin；(3) 3xy2dy(2y3-x3)dx;(4) x2y+xy=y2， y(1)=1；(5) xy=y(lny-lnx), y(1)=1;(6) (y-x+2)dx=(x+y+4)dy;(7) (x+y)dx+(3x+3y-4)dy=0 解: (1) 原方程可化為 , 令 則 , 代入原方程得: 即 兩邊積分得 即 將代入得 .(2) 令,則 代入原方程得: 即 兩邊積分得 ,則 ,將代入得.(3) 原方程可化為 , 令 ,則 , 代入上式得, 兩邊積分得 , 即 ,將 代入得 .(4) 原方程可化為 , 令 , 則 ,代入上式得 , 即 , 兩邊積分得 即 將代入得 ,由 得 , , 即 所以原方程滿足初始條件的特解為.(5) 原方程可化為 , 令 則 , 上方程可化為 即 兩邊積分得 即 亦即 將 代入得 由初始條件 得 故原方程滿足初始條件的特解為 .(6) 原方程可化為 解方程組 得 作變換 ,原方程化為 這是一個(gè)齊次方程,按齊次方程的解法: 令 , 方程可化為 兩邊積分可得,整理可得,將代入上式得將代入上式得(7)原方程可化為令,則,代入上方程得 即 即,積分得.將代入上式得,.4 求下列微分方程的通解或在給定初始條件下的特解：(1) y-y=sinx;(2) y-y=xnex；(3) (x-2y)dy+dx=0;(4) (1+xsiny)y-cosy=0；(5) y- =(x+1)ex, y(0)=1;(6) y+，y(0)=;(7) y-=-lnx, y(1)=1;(8) y+2xy=(xsinx)，y(0)=1;(9) y；(10) y 解: (1) 這是一階非齊次線性微分方程,(2) 這是一階非齊次線性微分方程,(3) 原方程可化為 ,這是一個(gè)關(guān)于的一階齊次線性微分方程,且 , 所以 (4) 原方程可化為 ,這是一個(gè)關(guān)于的一階非齊次線性微分方程,且 , 所以 (5) 這是一階非齊次線性微分方程且,所以 將初始條件 代入上式中得故,原方程滿足初始條件的特解是 . (6) 這是一階非齊次線性微分方程,且 ,所以 將初始條件代入上式得,所以原方程滿足初始條件的特解是. (7) 這是一階非齊次線性微分方程,且,所以 將初始條件 代入上式得 所以,原方程滿足初始條件的特解是 . (8) 這是一階非齊次線性微分方程,且,所以 將初始條件 代入上式得 ,故原方程滿足初始條件的特解是: . (9) 原方程可化為 ,這是 的伯努利方程,方程兩邊同除以,得 令 ,則上面方程化為 ,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為將代入上式得原方程的通解為 . (10) 原方程可化為 ,這是關(guān)于的的伯努利方程,令,上述方程可化為這是關(guān)于y的一階非齊次線性微分方程,且,其通解為: 將代入上式得原方程的通解為.5 設(shè)函數(shù)f(x)在1,)上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1,x=t(t1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)t2f(t)-f(1)試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y(2) =的特解 解: 依題意有 ,兩邊同時(shí)對t求導(dǎo)有: 即 亦即 故 所滿足的微分方程是 , 該方程可化為 ,這是齊次方程.可求得該齊次方程的通解為: 將初始條件 代入上式得 ,所以,該微分方程滿足條件的特解是 .*6 設(shè)某生物群體的出生率為常數(shù)a，由于擁擠及對食物的競爭的加劇等原因，死亡率與當(dāng)時(shí)群體中的個(gè)體量成正比(比例系數(shù)為b0)如果t=0時(shí)生物個(gè)體總數(shù)為x0，求時(shí)刻t時(shí)的生物個(gè)體的總數(shù)(注： 將生物群體中的個(gè)體量當(dāng)做時(shí)間t的連續(xù)可微變量看待)解: 設(shè)時(shí)刻t時(shí)的生物個(gè)體的總數(shù)為x,依題意得 即 解得 又 時(shí) ,代入上式得 ,故 .7 已知f(x)3x-3， 求f(x)解: 方程兩邊對x求導(dǎo)得 即 這是一階非齊次線性微分方程,其通解為 由已知 得 ,代入上式得 , 所以.8 已知某商品的成本CC(x)隨產(chǎn)量x的增加而增加，其增長率為C(x)，且產(chǎn)量為零時(shí)，固定成本C(0)C00求商品的生產(chǎn)成本函數(shù)C(x) 解: 由得,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為 由初始條件代入上式得 .所以商品的生產(chǎn)成本函數(shù).9 某公司對某種電器設(shè)備的使用費(fèi)用進(jìn)行考察，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，隨該電路使用時(shí)間x的延長，它的保養(yǎng)維修費(fèi)會加倍增長，因而平均單位時(shí)間的使用費(fèi)S也在增加，即S為x的函數(shù)S=S(x)，其變化率為，其中a,b均為正常數(shù)若當(dāng)x=x0時(shí)SS0，試問：使用時(shí)間為多少時(shí)，其平均單位時(shí)間的使用費(fèi)S最高? 解: 原方程 可化為 ,這是一階非齊次線性微分方程,且,其通解為,由已知時(shí),代入上式得,又由得,令得唯一駐點(diǎn),將代入得,由問題的實(shí)際意義知,最值存在,所以當(dāng)是時(shí)間時(shí),其平均單位時(shí)間的使用費(fèi)S最高.習(xí)題10-31 求下列微分方程的通解：(1) =xex； (2) y=；(3) (1+x2)y+2xy=0； (4) y-(y)2=0；(5) +1=0； (6) yy-(y)2+(y)3=0解:（1）對方程兩端連續(xù)積分三次得這就是所求的通解. （2）對方程兩端連續(xù)積分兩次得 這就是所求的通解.（3）令,則，于是原方程可化為 分離變量得，積分得 ,即.再積分得.（4）令，則，原方程可化為 ，即 兩邊積分得,即.亦即 再積分得 （5）令,則,原方程變?yōu)?即.兩邊積分得 即 .亦即即.積分得.從而 .這就是所求的通解.（6）令,則p,代入原方程得.即若p=0,則是方程的解.若，分離變量得.積分得 即 .于是: 即.積分得 .2求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1) =lnx，y(1)=0, y(1)=-, y(1)=-1;(2) x2y+xy=1, y(1)=0, y(1)=1;(3) y+=1, y(0)=0, y(0)=1解：（1）方程兩邊積分得：，由得，于是,上式兩邊再積分得 .由得，于是兩邊再積分得.由得.所以，原方程滿足初始條件的特解為.（2）令，則，原方程化為.即，這是一階非齊次線性方微分方程.,，其通解為即，由得，于是,從而 由得即 .（3）令，則，原方程可化為 ,由，即時(shí)，.顯然是上述方程的解，即，積分得,由得，所以，原方程滿足初始條件的特解為.3 已知某個(gè)二階非齊次線性微分方程有三個(gè)特解y1=x, y2=x+ex和y3=1+x+ex，求這個(gè)方程的通解解：因?yàn)槭悄扯A非齊次線性微分方程的三個(gè)特解，則,是某對應(yīng)的齊次微分方程的特解且常數(shù)，故和1是其對應(yīng)的二階齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，故對應(yīng)齊次線性方程的通解為又是這個(gè)二階非齊次線性微分方程的特解，故這個(gè)方程的通解是.4 求下列齊次線性方程的通解或在給定條件下的特解：(1) y-4y+4y=0; (2) y-y-2y=0;(3) y+5y+6y=0, y(0)=1, y(0)=6;(4) y-2y-10y=0, y()=0, y()=解：（1）特征方程為，它有兩個(gè)相等的特征根,所以，所求的通解為. （2）特征方程為,它有兩個(gè)不相等的實(shí)特征根故所求的通解為.（3）特征方程為，它有兩個(gè)不相等的實(shí)特征根,故所求的通解為.由得,又由及得，解方程組 得 所以，原方程滿足初始條件的特解為. （4）特征方程為,它有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，,故方程的通解為，由得,=0,故所求特解為:5 求下列非齊次線性微分方程的通解或給定初始條件下的特解：(1) y+3y-10y=144xe-2x;(2) y-6y+8y=8x2+4x-2;(3) y+y=cos3x, y()=4, y()=-1;(4) y-8y+16y=e4x, y(0)=0,y(0)=1解：（1）特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故對應(yīng)齊次方程的通解為因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母?，故可特解為則 , 代入原方程可解得 .所以.所求通解為（2）特征方程有兩個(gè)不同的特征根,故對應(yīng)齊次方程的通解為又因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母士稍O(shè)特解為則,，代入原方程可解得,故. 所求通解為.（3）特征方程為，它有兩個(gè)共復(fù)數(shù)根，故對應(yīng)齊次方程的通解為考察方程，因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母士稍O(shè)特解為則,代入方程,得,所以取的實(shí)部，即得到方程的特解.故原方程的通解為又 由初始條件得,故所求的特解為（4）特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，故對應(yīng)齊次方程的通解為:因?yàn)槭翘卣鞣匠痰闹馗?，故可設(shè)特解為將其代入方程得,故特解為所以原方程的特解為.又由及,得.所以，所求特解為.6 設(shè)對一切實(shí)數(shù)x,函數(shù)f(x)連續(xù)且滿足等式f(x)=x2+，且f(0)=2,求函數(shù)f(x)解：方程兩邊求導(dǎo)得，即，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,故對應(yīng)齊次方程的通解為.因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母士稍O(shè)特解為,代入原方程得，故特解為，所以方程的通解為.由已知得，又由題設(shè)得,及得.解方程得所以滿足題設(shè)條件特解為即 .7 設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y+ay+by=aex的一個(gè)特解為y=e2x+(1+x)ex,試確定常數(shù)a,b,a并求該微分方程的通解解：將已給的特解代入原方程，得比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)，有解得.于是原方程為.其特征方程為,特征根為,對齊次方程的通解為.又因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃试O(shè)特解為,代方程，可解得A=1,故特解為所以該微分方程的通解為.8 設(shè)函數(shù)j(x)可微，且滿足j(x)=ex+，求j(x)解：由得,又兩邊求導(dǎo)得,即，從而再求導(dǎo)得,即可求得對應(yīng)齊次方程的通解為,又因?yàn)椴皇翘卣鞣匠?的根，故可設(shè)特解為將其代方程中可求得,故方程的通解為.又由及得,所以，即.9 求方程y-y-2y=3e-x在x=0處與直線y=x相切的解解：特征方程有兩個(gè)實(shí)根,故對應(yīng)的齊次方程的通解為,又因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃?，故可方程的特解為代入原方程可解得A=-1，故原方程的通解為由已知在處與直線相切，則，又將分別代入（1），（2）式中得可解得所以，所求的解為.10 設(shè)函數(shù)y(x)的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)且y(0)=0,試由方程y(x)=1+確定此函數(shù)解：方程兩邊對x求導(dǎo)得,即它的特征方程有兩個(gè)相異的實(shí)根故方程（1）對應(yīng)的齊次方程的通解是又是特征方程的單根，故方程（1）的特解可設(shè)為將其代入方程（1），可解得，從而特解為，方程（1）的通解為由得,又由及(2),(3)式可得 解得 故方程（1）的滿足已知條件的特解為即由所給方程確定的函數(shù)為11 一質(zhì)點(diǎn)徐徐地沉入液體，當(dāng)沉入時(shí)，液體的反作用力與下沉的速度成正比例，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解：由題設(shè)條件與牛頓第二定律有 (k為比例系數(shù))即這是一個(gè)二階線性非齊次方程，它的特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，它對應(yīng)的齊次方程的通解又因特征方程的單根，故可設(shè)特解為，代入方程（1）可得，故方程（1）的通解為且，又開始沉入時(shí)即t=0時(shí)，將其代入上兩式可解得，.因而有習(xí)題10-41 某公司辦公用品的月平均成本C與公司雇員人數(shù)x有如下關(guān)系：C=C2e-x-2C且C(0)=1,求C(x)解:方程可變形為:,這是的伯努利方程,令,方程可化為:,這是一階非齊次線性微分方程且,其通解為:(為了與成本區(qū)別,這里的任意常數(shù)用表示),于是,由已知,可得:,從而,所以.2 設(shè)R=R(t)為小汽車的運(yùn)行成本，S=S(t)為小汽車的轉(zhuǎn)賣價(jià)值，它滿足下列方程：R=, S=-bS,其中a,b為正的已知常數(shù)，若R(0)=0,S(0)=S0(購買成本)，求R(t)與S(t)解:先解一階線性方程,求出,分離變量得:,積分得,由已知條件,可得,所以,將代入所給方程得:,積分得:,由已知條件得,所以.3 設(shè)D=D(t)為國民債務(wù)，Y=Y(t)為國民收入，它們滿足如下的關(guān)系：D=aY+b, Y=gY其中a,b,g為正已知常數(shù)(1) 若D(0)=D0,Y(0)=Y0,求D(t)和Y(t);