2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)36 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法 理（含解析）新人教A版

課后限時集訓(xùn)(三十六)直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1用反證法證明命題：“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應(yīng)假設(shè) ()A三個內(nèi)角都不大于60°B三個內(nèi)角都大于60°C三個內(nèi)角至多有一個大于60°D三個內(nèi)角至多有兩個大于60°B至少有一個包含“一個、兩個和三個”，故其對立面三個內(nèi)角都大于60°，故選B.2(2019·西安模擬)若P，Q(a0)，則P，Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQ D由a的取值決定C假設(shè)PQ，則，即22a722a7，即，即a(a7)(a3)(a4)，即a27aa27a12，顯然不成立，故PQ.故選C.3(2019·哈爾濱模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1n(nN*，n2)”時，由nk(k2)時不等式成立，推證nk1時，左邊應(yīng)增加的項數(shù)是()A2k1 B2k1C2k D2k1Cnk1時，左邊1，增加了，共(2k11)(2k1)2k項，故選C.4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，若x1x20，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值 B恒等于零C恒為正值 D無法確定正負(fù)A由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)0，故選A.5設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立D由條件可知不等式的性質(zhì)只對大于等于號成立，所以A錯誤；若f(1)1成立，則得到f(2)4，與f(2)<4矛盾，所以B錯誤；當(dāng)f(3)9成立，無法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯誤；若f(4)16成立，則當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立，所以D正確二、填空題6下列條件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的條件的序號是_要使2，只需0成立，即a，b不為0且同號即可，故能使2成立7設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且對任意的自然數(shù)n都有：(Sn1)2anSn，通過計算S1，S2，S3，猜想Sn_.由(S11)2S，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.猜想Sn.8在不等邊三角形ABC中，a為最大邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足_a2>b2c2由余弦定理cos A<0，得b2c2a2<0，即a2>b2c2.三、解答題9若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三個不等式中等號不能同時成立··abc成立上式兩邊同時取常用對數(shù)，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想an，bn的通項公式，并證明你的結(jié)論(2)證明：.解(1)由條件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么當(dāng)nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)都成立(2).當(dāng)n2時，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)·n.故.B組能力提升1設(shè)x，y，z0，則三個數(shù)，()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2 D至少有一個不大于2C因為6，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，故選C.2已知函數(shù)f(x)x，a，b是正實數(shù)，Af，Bf()，Cf，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBAA，又f(x)x在R上是減函數(shù)ff()f，即ABC.3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n4時，f(n)_(用n表示)5(n1)(n2)由題意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以歸納出每增加一條直線，交點增加的個數(shù)為原有直線的條數(shù)，所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜測得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)4等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時，記bn2(log2an1)(nN*)證明：對任意的nN*，不等式···成立解(1)由題意，Snbnr，當(dāng)n2時，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)證明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為···.當(dāng)n1時，左式，右式，左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk時結(jié)論成立，即···，則當(dāng)nk1時，·····，要證當(dāng)nk1時結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式可得成立，故成立，所以當(dāng)nk1時，結(jié)論成立根據(jù)可知，nN*時，不等式···成立- 5 -